《現(xiàn)代氣候統(tǒng)計診斷與預(yù)測技術(shù)》課件：第八章兩氣候變量場相關(guān)模態(tài)

1、第八章第八章 兩氣候變量場相關(guān)模態(tài)的兩氣候變量場相關(guān)模態(tài)的分離分離奇異值分解奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD）o 在氣候變化研究中，存在大量在氣候變化研究中，存在大量兩個變量場之兩個變量場之間的相關(guān)問題間的相關(guān)問題，即研究兩個場之間相關(guān)系數(shù)，即研究兩個場之間相關(guān)系數(shù)的空間結(jié)構(gòu)和它們各自對相關(guān)場的貢獻(xiàn)，提的空間結(jié)構(gòu)和它們各自對相關(guān)場的貢獻(xiàn)，提取兩個氣象場的耦合信號。取兩個氣象場的耦合信號。o 目前，分離兩場相關(guān)模態(tài)的方法中應(yīng)用最廣目前，分離兩場相關(guān)模態(tài)的方法中應(yīng)用最廣泛的是泛的是。o 其他方法？其他方法？方法概述方法概述o 設(shè)有兩個變量場，一個變量場

2、由設(shè)有兩個變量場，一個變量場由p個空間點(diǎn)構(gòu)成，個空間點(diǎn)構(gòu)成，樣本量（時間長度）為樣本量（時間長度）為n，稱作，稱作左場左場，記為，記為X；另；另一個變量場由一個變量場由q個空間點(diǎn)構(gòu)成，樣本量（時間長度）個空間點(diǎn)構(gòu)成，樣本量（時間長度）也為也為n，稱作，稱作右場右場，記為，記為Y。o 對對X、Y均均作標(biāo)準(zhǔn)化處理作標(biāo)準(zhǔn)化處理。pnppnnpxxxxxxxxxxxx21222211121121Xqnqqnnqyyyyyyyyyyyy21222211121121Y其交叉協(xié)方差矩陣為：其交叉協(xié)方差矩陣為：o 寫成分量形式為：寫成分量形式為：o 對其作奇異值分解，可得到對其作奇異值分解，可得到o 寫成分量

3、形式：寫成分量形式：o 這里有這里有m個向量個向量l，相互正交，每個向量包含，相互正交，每個向量包含p個元個元素，稱為素，稱為；有；有m個向量個向量r，也相互正交，也相互正交，每個向量包含每個向量包含q個元素，稱為個元素，稱為。TXYXYSn1 qjpitytxnsntjiij, 2 , 1;, 2 , 111TRLS000m1min,mk k kkmp qTSl ro 每個向量每個向量l與與r一一對應(yīng)，并對應(yīng)一個相應(yīng)的一一對應(yīng)，并對應(yīng)一個相應(yīng)的 。o 由奇異值分解原理可知，由奇異值分解原理可知，L是矩陣是矩陣SST的特的特征向量；征向量；R是矩陣是矩陣STS的特征向量，的特征向量，o SST

4、和和STS有相同的特征值，為有相同的特征值，為 12， 22， m2，其中，其中 1 2 m。111211112121222212221212,mmmmpppmqqqml llr rrlllr rrlllr rrLRo如何求出如何求出L、R和和 ？o 以矩陣以矩陣A為例，其特征值和特征向量的求解：為例，其特征值和特征向量的求解：n 計算計算| I-A|，其中，其中I為單位矩陣，其對角元素為為單位矩陣，其對角元素為1，其它元素均為其它元素均為0；n 求出求出| I-A|=0在給定數(shù)域上的全部特征值；在給定數(shù)域上的全部特征值；n 對于每個特征值對于每個特征值 ，求出相應(yīng)的特征方程組的解。，求出相應(yīng)

5、的特征方程組的解。o 分別由左、右場構(gòu)造兩組新變量場分別由左、右場構(gòu)造兩組新變量場11121111211212222122221212pnpnpppnmmmmpl llxxxlllxxxxxxlllTaaAL Xa11121111211212222122221212qnqnqqqnmmmmqr rryyyr rryyyyyyrrr TbbBR Ybo 由于由于L、R為正交化矩陣，故為正交化矩陣，故LLT=I，RRT=I，則有則有o 故故SVD也相當(dāng)于將左、右場分別進(jìn)行也相當(dāng)于將左、右場分別進(jìn)行EOF分解。分解。o 通常稱（通常稱（lk，rk）為一對）為一對（pattern）；）；ak、bk分別

6、為左、右場分別為左、右場，每一對變量型和相應(yīng)的展開系數(shù)確定了一種每一對變量型和相應(yīng)的展開系數(shù)確定了一種（mode）。）。1212mmaaXLAl lla1212mmbbYRBr rrb方差貢獻(xiàn)方差貢獻(xiàn)o 第第k對奇異向量對奇異向量為：為：o 前前k對奇異向量對奇異向量為：為：miikkSCF122miikiikCSCF1212模態(tài)相關(guān)系數(shù)模態(tài)相關(guān)系數(shù)o 一旦由一旦由SVD得到時間系數(shù)矩陣得到時間系數(shù)矩陣A、B，就可，就可以定義每對奇異向量的時間系數(shù)以定義每對奇異向量的時間系數(shù)A和和B之間之間的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)o 稱為稱為，它反映每對奇異向量，它反映每對奇異向量之間相互關(guān)系的密切程度，之間相互

7、關(guān)系的密切程度，反映的是典型變反映的是典型變量場總體相關(guān)狀況量場總體相關(guān)狀況。 12211,nkktkknnkkttat btratbta b異性相關(guān)系數(shù)異性相關(guān)系數(shù)o 左場左場X與右奇異向量的時間系數(shù)與右奇異向量的時間系數(shù)B之間的相關(guān)之間的相關(guān)系數(shù)為：系數(shù)為：o 右場右場Y與左奇異向量的時間系數(shù)與左奇異向量的時間系數(shù)A之間的相關(guān)之間的相關(guān)系數(shù)為：系數(shù)為： 1222111,1nktk kknnnkktttX t btrXtbtbtnlX b 1222111,1nktk kknnnkktttY t atrYtatatnrY a異性相關(guān)系數(shù)異性相關(guān)系數(shù)o 上兩式計算的相關(guān)系數(shù)分布型分別表示右上兩式

8、計算的相關(guān)系數(shù)分布型分別表示右（左）場的時間系數(shù)所反映的左（右）場時（左）場的時間系數(shù)所反映的左（右）場時間變化程度大小的分布，間變化程度大小的分布，顯著相關(guān)區(qū)則是兩顯著相關(guān)區(qū)則是兩變量相互作用的關(guān)鍵區(qū)變量相互作用的關(guān)鍵區(qū)，通常將上述相關(guān)系，通常將上述相關(guān)系數(shù)稱為數(shù)稱為。同性相關(guān)系數(shù)同性相關(guān)系數(shù)o 左左(右右)場時間系數(shù)與左場時間系數(shù)與左(右右)場的相關(guān)系數(shù)稱為場的相關(guān)系數(shù)稱為，其分布，其分布反映時間系數(shù)序列表示自反映時間系數(shù)序列表示自身氣象場時間變化程度大小的地理分布身氣象場時間變化程度大小的地理分布，在一，在一定程度上代表了左、右場的遙相關(guān)型。定程度上代表了左、右場的遙相關(guān)型。 12221

9、11,1nktk kknnnkktttX t atrXtatatnlX a 1222111,1nktk kknnnkktttY t btrYtbtbtnrY b顯著性檢驗顯著性檢驗o 采用采用Monte Carlo技術(shù)檢驗技術(shù)檢驗SVD的顯著性。的顯著性。o 利用模態(tài)方差貢獻(xiàn)進(jìn)行檢驗，首先計算模態(tài)方利用模態(tài)方差貢獻(xiàn)進(jìn)行檢驗，首先計算模態(tài)方差貢獻(xiàn)：差貢獻(xiàn)：o 根據(jù)左場空間點(diǎn)數(shù)根據(jù)左場空間點(diǎn)數(shù)p、右場空間點(diǎn)數(shù)、右場空間點(diǎn)數(shù)q及其樣本及其樣本量量n，利用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器生成隨機(jī)序列的兩個，利用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器生成隨機(jī)序列的兩個資料矩陣，進(jìn)行資料矩陣，進(jìn)行100次次模擬模擬SVD計算。每次模計算。每次模擬后均

10、用奇異值擬后均用奇異值 k計算方差貢獻(xiàn)：計算方差貢獻(xiàn)：miikkSCF122o 將將Ukr排序，排序，Uk1 Uk2Uk100（k=1,2,m）o 如果如果SCFkUk95，則認(rèn)為第，則認(rèn)為第k對對SVD模態(tài)在模態(tài)在95%置信度水平上是顯著的。置信度水平上是顯著的。o 注：也可只對其中一個場進(jìn)行隨機(jī)生成。注：也可只對其中一個場進(jìn)行隨機(jī)生成。100, 2 , 1, 2 , 11rmkUmirirkrk結(jié)果分析結(jié)果分析o 從奇異向量的方差貢獻(xiàn)及累積方差貢獻(xiàn)了解從奇異向量的方差貢獻(xiàn)及累積方差貢獻(xiàn)了解某一對顯著某一對顯著SVD模態(tài)及前幾對顯著模態(tài)及前幾對顯著SVD模模態(tài)所占的態(tài)所占的方差比例方差比例。

11、o 由奇異向量時間系數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)了解由奇異向量時間系數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)了解兩兩變量場的顯著空間分布型總體的相關(guān)程度變量場的顯著空間分布型總體的相關(guān)程度。o 分析分析異性相關(guān)系數(shù)場異性相關(guān)系數(shù)場，尋找一個場對另一個，尋找一個場對另一個場相互影響的關(guān)鍵區(qū)。場相互影響的關(guān)鍵區(qū)。結(jié)果分析結(jié)果分析IIo 由于成對奇異向量是由兩變量的交叉協(xié)方差由于成對奇異向量是由兩變量的交叉協(xié)方差陣求出的，其中一個場的奇異向量對應(yīng)的時陣求出的，其中一個場的奇異向量對應(yīng)的時間系數(shù)包容了另一個場的信息，因此成對奇間系數(shù)包容了另一個場的信息，因此成對奇異向量的時間系數(shù)與該場的異向量的時間系數(shù)與該場的同性相關(guān)分布代同性相關(guān)分布代表了兩場耦合相關(guān)的空間結(jié)構(gòu)表了兩場耦合相關(guān)的空間結(jié)構(gòu)。SVD應(yīng)用中的一些問題應(yīng)用中的一些問題o 資料的選?。涸假Y料、距平資料和標(biāo)準(zhǔn)化資料的選?。涸假Y料、距平資料和標(biāo)準(zhǔn)化距平？距平？o SVD與與EOF的異同？的異同？參考文獻(xiàn)：參考文獻(xiàn)：o Singular Value Decomposit