解三角形專題復(fù)習(xí)師

1、 解 三 角 形知識(shí)點(diǎn)梳理 （一）正弦定理：（其中R表示三角形的外接圓半徑）適用情況：（1）已知兩角和一邊，求其他邊或其他角； （2）已知兩邊和對(duì)角，求其他邊或其他角。 變形： ， ， = （二）余弦定理：=（求邊），cosB=（求角）適用情況：（1）已知三邊，求角；（2）已知兩邊和一角，求其他邊或其他角。（三）三角形的面積：； ；（其中，r為內(nèi)切圓半徑）（四）三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，（五）ABC射影定理：，（六）三角邊角關(guān)系：（1）在中，； ； （2）邊關(guān)系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，ab < c，bc < a，ca &g

2、t; b；（3）大邊對(duì)大角：考點(diǎn)剖析（一）考查正弦定理與余弦定理的混合使用例1、在ABC中，已知,且=2, ,求的長.例1、解：由正弦定理，得 又由余弦定理，得 入，得例2、如圖所示，在等邊三角形中，為三角形的中心，過的直線交于，交于，求的最大值和最小值例2、【解】由于為正三角形的中心，設(shè)，則，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，故當(dāng)時(shí)取得最大值，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)取得最小值變式1、在ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別為，已知，（）求的大??；（）求的值變式1、解（）在ABC中，由余弦定理得 （）在ABC中，由正弦定理得 變式2、在中，為銳角，角所對(duì)的邊分別為，且（I）求的值； （II）若，求

3、的值。 變式2、解（I）為銳角， （II）由（I）知， 由得，即又 （二）考查正弦定理與余弦定理在向量與面積上的運(yùn)用例3、如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點(diǎn)，OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC。問：點(diǎn)B在什么位置時(shí)，四邊形OACB面積最大？例3、解：設(shè)，在AOB中，由余弦定理得： 于是，四邊形OACB的面積為 S=SAOB+ SABC 因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，四邊形OACB面積最大例4、在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，（1）求角C的大小； （2）求ABC的面積例4、解：（1）由 4cos2C4cosC解得 0°C180°,C

4、=60° C60°（2）由余弦定理得C2a2b22ab cos C 即 7a2b2ab 又ab5 a2b22ab25 由得ab6 SABC 變式3、已知向量，且，其中是ABC的內(nèi)角，分別是角的對(duì)邊.(1) 求角的大?。唬?）求的取值范圍.變式3、解：（1）由得由余弦定理得 (2) = 即.（三）考查三角形形狀的判斷例5、在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c, b=acosC,且ABC的最大邊長為12，最小角的正弦值為。（1） 判斷ABC的形狀；（2） 求ABC的面積。例5、解：（1） b=acosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）B=,sin

5、B=sin(A+C),從而（#）式變?yōu)閟in(A+C)= sinAcosC，cosAsinC=0,又A，CcosA=0，A=，ABC是直角三角形。（2）ABC的最大邊長為12，由（1）知斜邊=12，又ABC最小角的正弦值為，RtABC的最短直角邊為12=4，另一條直角邊為SABC=16變式4、在ABC中，若.(1)判斷ABC的形狀； (2)在上述ABC中，若角C的對(duì)邊，求該三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍。變式4、解：（1）由 可得 即C90° ABC是以C為直角頂點(diǎn)得直角三角形 （2）內(nèi)切圓半徑 內(nèi)切圓半徑的取值范圍是例7、在ABC中，已知，試判斷ABC的形狀。所以，ABC為等邊三角形。變式8、在ABC中，cos2，(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則ABC的形狀為 A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形，a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC為直角三角形答案：B變式9、ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，試判斷ABC的形狀。變式9、解:等腰直角三角形;（四）考查應(yīng)用：求角度、求距離、求高度例6、在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處（）海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的