考研數(shù)學(xué)二公式高數(shù)線(xiàn)代(費(fèi)了好大的勁)技巧歸納

1、實(shí)用文檔標(biāo)準(zhǔn)高等數(shù)學(xué)公式一、常用的等價(jià)無(wú)窮小當(dāng)x 一 0時(shí)x sinx tan x arcsin x arctan x ln (1 + x) ex -1ax-1x In aa(1+x) -1 a x (a為任意實(shí)數(shù)，不一定是整數(shù) )1-cosx 1x2增加x-sin x lx36對(duì)應(yīng)arcsin x -x 1x36tan x -x lx33對(duì)應(yīng)x - arctan x 1x33+= X打! (« +1)? K'產(chǎn)2situ X+T (-1)*+ £?(.t3! 02n + l)!141JC- J X CO£X= 1 4 2! 4!6!+ + 14-o(x&

2、#39;' !2nljy#>l+0( jf*1).-1 + ,t+ X- + -+yr +。劣r. nj ni -11ci + xr = i + j泣i +尸 .2r二、利用泰勒公式sin x x23!ex = 1 + x + o (x2) 2!導(dǎo)數(shù)公式:cosx= 1o (x2)In (1 + x) = x(tgx)sec2 x(ctgx)csc2 x(secx)secx tgx(cscx) cscx ctgx (ax)axlnaZl 、1(log a x) xlna基本積分表：tgxdx In cosx C ctgxdx In sinx C secxdx In secx tg

3、x Ccscxdx In cscx ctgx Cdx 1, x 八-2 - arctg 一 Ca x a adx 1 Jx a 八-2 丁1nCx a 2a |x a|dx 1 , a x 仆 -2 In Ca x 2a a xdx. xarcsin- Ca2 x2a(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)dx2- cos xdx2sin xsecxcscxa xdx1. 1 x21Tx212x11 x22.sec xdxcsc2 xdxtgxdxsecxctgxdxshxdxchxdxdx2xtgx Cctgxcscx Cx a1n achxshx一 1n(

4、 x , x2 a2)Ca22In sinnxdx cosn xdxooIn三角函數(shù)的有理式積分：- 2usin x 2,1 u.x2 a2dxx2 a2dx_22a x dxx 22-x a2x 22x a2x 22a x22a-1n(xx2a2) C22a 三 2 小 1n x vx a C22 axarcsin - C2ad 21 u, xcosx 2, u tg ,1 u2dx2du1 u2兩個(gè)重要極限:一些初等函數(shù):雙曲正弦：shx雙曲余弦：chx雙曲正切：thx2shx exchx ex esinx /lim 1x 0 xlim(1 -)x e 2.718281828459045a

5、rshx ln(x x2 1)archxln(xx2 1)1 . 1 xarthxIn2 1 x三角函數(shù)公式:,誘導(dǎo)公式：和差角公式:sin()sincoscossincos()coscossinsintg()Mtg_1 tgtgctg()ctg_ctg1ctgctg和差化積公式:sinsin2 sincos22sinsin2 cossin22cos cos 2 coscos22cos cos 2 sinsin22工7數(shù)角 Asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90°- acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ct

6、g a-tg a180。- asin a-cos a-tg a-ctg a180。+ a-sin a-cos atg actg a270。- a-cos a-sin actg atg a270 0+ a-cos asin a-ctg a-tg a360。- a-sin acos a-tg a-ctg a360 0+ asin acos atg actg a倍角公式:sin 2cos2ctg2tg22sin cos 2cos2 1 ctg212ctg 2tg1 tg21 2sin22 cos2 sin3sin3 3sin 4sin3cos3 4cos 3costg33tg tg31 3tg2半角

7、公式:'1 cos sin J2V21 cos 1 cos tg _2，1 cos sinsin1 cos1 cos cos.2'2'1 cos 1 cos sin ctg J2 V1 cos sin 1 cos.正弦定理：2Rsin A sin B sinC22, 2余弦定理：cab 2ab cosC反三角函數(shù)性質(zhì)arcsinx arccosx2arctgxarcctgx高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲( Leibniz )公式：n (n)小k(n k) (k)(UV) CnU V k 0(n) (n i) n(n 1) (n 2)n(n 1) (n ku v nu v u v

8、2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f(b) f(a) f ( )(b a)柯西中值定理： fb-膽 -f-(- F(b) F(a) F ()當(dāng)F(x) x時(shí)，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。1) (n k) (k)u vuv(n)曲率:弧微分公式：ds v11 丫,*,其中丫 tg平均曲率：K .:從M點(diǎn)到M點(diǎn)，切線(xiàn)斜率的傾角變 化量；s： MM弧長(zhǎng)。M點(diǎn)的曲率：K lim II ys 01 s| ds Qi y 2)3直線(xiàn)：K 0;1半徑為a的圓：K 1定積分的近似計(jì)算:矩形法：f(x) L/(y。Vlyn 1)梯形法：f(x) Lg(yo yn) VlVn 1an 2aVn

9、 2) 4(yi y3yn 1 )b - b a拋物線(xiàn)法：f(x) (yo yn) 2( y2 y,03n定積分應(yīng)用相關(guān)公式:功：W F s水壓力：F p A引力：Fkmm2,k為引力系數(shù) r_ 1 b函數(shù)的平均值：y f(x)dxb a a均方根：1 bb-2f (t)dt aa多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分： dz dx dy x y全微分的近似計(jì)算：z dz 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法： z fu(t),v(t) dz dt uz fu(x, y),v(x, y)x當(dāng) u u(x,y), v v(x,y)時(shí)，du dx dy dv x y隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)F(x,y) 0,5dx隱函數(shù) F(

10、x,y,z) 0,-x, u u udu dx dy dz x y zfx(x,y) x fy(x, y) yuz v tv tz uz v u xv xvvdx dyxy2三，粵-(邑)+-(36Fydx x Fyy Fy dxFxzFyFz 'yFzF FJ (F,G)% 飛(u,v)G Gu vFuGuFvGvu1(F,G)v1(F,G)xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v工(F,G)yJ(y,v)yJ(u,y)隱函數(shù)方程組：F(x,y,u,v) 0G(x, y,u,v) 0微分法在幾何上的應(yīng)用：方向?qū)?shù)與梯度：多元函數(shù)的極值及其求法:設(shè)fx(xo, yo)fy(xo,y

11、o) 0,令：fxx(xo,yo) A,fxy(xo,yo) B, fyy(xo,yo) CAC B2則：AC B22AC B2A o,(x0,yo)為極大值 oA o,(xo,yo)為極小值 o時(shí)，無(wú)極值o日t,不確定重積分及其應(yīng)用:f (x, y)dxdyDf(r cosD,r sin )rdrd2 2曲面z f(x,y)的面積A1 一 一 dxdyd , x y平面薄片的重心:x (x, y)dx Mx _DM (x,y)dDy (x, y)dD(x,y)dD平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于x軸Ixy2 (x,y)d , 對(duì)于y軸IyD平面薄片(位于 xoy平面)對(duì)殍由上質(zhì)點(diǎn)M(0,0,a),(

12、a 0)的引力：F2,、，x (x, y)dDFx,Fy,Fz,其中:(x,y)xdD / 2(xFyD / 2(x(x, y)ydFzfaD / 2(x(x,y)xd322 2y a )微分方程的相關(guān)概念:一階微分方程：y f(x, y) 或 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化 為g(y)dy f(x)dx的形式，解法:g(y)dy f(x)dx 得：G(y) F(x) C稱(chēng)為隱式通解。齊次方程：一階微分方程可以寫(xiě)成包f(x,y) dx、幾 ydydudu,、 dx設(shè) u ,則u x , u (u),xdxdxdxx即得齊次方程通解。(x,y)

13、,即寫(xiě)成¥的函數(shù)，解法:du(u)x-分離變量，積分后將上代替u, ux一階線(xiàn)性微分方程:1、一階線(xiàn)性微分方程：dy P(x)y Q(x)dx/當(dāng)Q(x) 0時(shí),為齊次方程，y Ce ""dx'/Q(x) 0時(shí)，為非齊次方程，y ( Q(x)e "x'dxdxP(x) dxC)e2、貝努力方程： P(x)y Q(x)yn,(n 0,1) dx全微分方程:如果P(x, y)dx Q(x, y)dy 0中左端是某函數(shù)的全微 分方程，即:u _ u 一du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy 0,其中：一 P(x, y) Q(x

14、, y) xyu(x,y) C應(yīng)該是該全微分方程的 通解。二階微分方程：d2y dx2即以Q(x)y "叫；)0時(shí)為齊次0時(shí)為非齊次二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程及其解法：(*) y py qy 0,其中p,q為常數(shù)；求解步驟：1、寫(xiě)出特征方程：()r2 pr q 0,其中r2, r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是(*)式中y , y , y的系數(shù);2、求出()式的兩個(gè)根r1,r23、根據(jù)不2的不同情況，按下表寫(xiě) 出(*)式的通解:r曾r2的形式(*)式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根(p2 4q 0)r1xrxy Ge1C2e2兩個(gè)相等實(shí)根(p2 4q 0)y (c1 c2x)er1x2一對(duì)共軻復(fù)根(p 4q

15、 0)r1i , r2ip,4q p22,2y e x(c1 cos x C2 sin x)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程y py qy f(x), p,q為常數(shù)f(x) exPm(x)型，為常數(shù)；f(x) exP(x)cos x Pn(x)sin x型1、行列式1. n行列式共有n2個(gè)元素，展開(kāi)后有n!項(xiàng)，可分解為2n行列式;2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、Aj和aj的大小無(wú)關(guān)；、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代數(shù)余子式為0;、某行(列)的元素乘以該行(列)元素的代數(shù)余子式為|A ;3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mij ( 1)i jAijAj( 1)i jMj4. 設(shè)n行列式D :n(n

16、 1)將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為D1，則D1 ( 1)十D ;n(n 1)將D順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°,所得行列式為 D2，則D2 ( 1尸D ;將D主對(duì)角線(xiàn)翻轉(zhuǎn)后(轉(zhuǎn)置)，所得行列式為D3,則D3 D ;將D主副角線(xiàn)翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為D4 ,則D4 D ;5. 行列式的重要公式：、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積；n(n 1)、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積(1尸 ；、上、下三角行列式(:主對(duì)角元素的乘積;n(n 1)、I，I和I，I:副對(duì)角元素的乘積(1)k.、拉普拉斯展開(kāi)式:a|b、(Dmgn A B、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積;、特征值;6.k ,其中

17、Sk為k階主子式;7.證明A 0的方法:D、Al 1A ；1.、反證法；、構(gòu)造齊次方程組 Ax 0,證明其有非零解;、利用秩，證明r（A） n ;、證明0是其特征值；2、矩陣A是n階可逆矩陣：A| 0 （是非奇異矩陣）；r（A） n （是滿(mǎn)秩矩陣）A的行（列）向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)；齊次方程組Ax 0有非零解；b Rn, Ax b總有唯一解；A與E等價(jià)；A可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；A的特征值全不為 0;AT A是正定矩陣；A的行（列）向量組是 Rn的一組基;A是Rn中某兩組基的過(guò)渡矩陣；2.對(duì)于n階矩陣A :AAA E無(wú)條件恒成立;3.1 *1(A ) (A )(A1)T(AT) 1* T(A )

18、T *(A )(AB )T BTAT*(AB)(AB)4.5.矩陣是表格，推導(dǎo)符號(hào)為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和;關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論,A其中均 A、B可逆:I、 AA2OAsAJA L |As| ;A11A21As1BO1 ；（主對(duì)角分塊）n對(duì)于n階行列式| A，恒有：| E A n （ 1）kSkk 1B 1.O ；(副對(duì)角分塊)、一 1.AC A 1O B OA 1CB 1B1'(拉普拉斯)A 1B 1CA 1BO1 '(拉普拉斯)3、矩陣的初等變換與線(xiàn)性方程組1. 一個(gè)m n矩陣A ,總可經(jīng)過(guò)初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：Er O等價(jià)類(lèi)：所有與A

19、等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱(chēng)為一個(gè)等價(jià)類(lèi)；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡(jiǎn)單的矩陣；對(duì)于同型矩陣A、B ,若r(A) r(B) A : B ;2. 行最簡(jiǎn)形矩陣：、只能通過(guò)初等行變換獲得；、每行首個(gè)非。元素必須為1;、每行首個(gè)非。元素所在列的其他元素必須為0;3. 初等行變換的應(yīng)用：(初等列變換類(lèi)似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換)r、若(A,E) ： (E , X),則 A可逆，且 X A 1 ;c、對(duì)矩陣(A, B)做初等行變化，當(dāng)A變?yōu)镋時(shí)，B就變成A1B,即：(A,B) (E,A1B);r、求解線(xiàn)形方程組： 對(duì)于n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程Ax b ,如果(A,b)： (E,x),則A可逆，且 x A 1b ;4.

20、初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列 矩陣；，左乘矩陣A,i乘A的各行元素；右乘，乘A的各列元n素；111、對(duì)調(diào)兩行或兩列，符號(hào)E(i,j),且E(i, j) 1 E(i,j),例如：11111、倍乘某行或某列，符號(hào)E(i(k),且E(i(k) 1 E(i(1),例如 k(k10)；、倍加某行或某列，符 號(hào) E(ij(k),且 E(ij(k)E(ij( k)，如11 k111 k1 (k 0);15. 矩陣秩的基本性質(zhì)：、0 r(Am n) min(m,n)；、r(AT) r(A);、若 A : B ,則 r(A) r(B);、若

21、P、Q可逆，則r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ);(可逆矩陣不影響矩陣的秩 )、max(r(A),r(B) r(A,B) r(A) r(B) ; (X)、r(A B) r(A) r(B) ; (X)、r(AB) min(r(A), r(B) ; «)、如果A是m n矩陣，B是n s矩陣，且AB 0 ,則：(X)I、B的列向量全部是齊次方程組 AX 0解(轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論)；n、r(A) r(B) n、若A、B均為n階方陣，則r(AB) r(A) r(B) n;6. 三種特殊矩陣的方哥：、秩為1的矩陣：一定可以分解為 列矩陣(向量) 行矩陣(向量)的形式，再采用 結(jié)合律；1

22、 a c、型如0 1 b的矩陣：利用二項(xiàng)展開(kāi)式;0 0 1(a b)nm m nCna bm 00 n 1 n 1. 1m n m mn 1 1 n 1 n nCnaCna b LCn a b L Cn a b Cnb注：I、 (a b)n展開(kāi)后有n 1項(xiàng);m n(n 1)L L (n m 1) n!0 nCn CnCn11g2瞅 gmm!(n m)!出、組合的性質(zhì)：Cnm Cn m、利用特征值和相似對(duì)角化：mmCn 1CnCm1nCnr 2nr 0rCnrnC： 11 ;r (A) nr(A) n 1 ； r (A) n 17. 伴隨矩陣：n、伴隨矩陣的秩：r(A*)10、伴隨矩陣的特征值:

23、1A (AXX,A* A A 1 A*X LAX);8.9.10.11.關(guān)于A(yíng)矩陣秩的描述:、r（A）、r（A）、r（A）線(xiàn)性方程組:D、A中有A中有A中有階子式不為0, n 1階子式全部為0;（兩句話(huà)） 階子式全部為0;n階子式不為0;其中A為m nm與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組矩陣，則：Ax b有m個(gè)方程;n與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組Ax b為n元方程;線(xiàn)性方程組Ax b的求解：、對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換（、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；由n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的方程組構(gòu)成D、a11x1a12x2a21x1a22 x2L L L L LLamxiLa2nxbb

24、2L只能使用初等行變換n元線(xiàn)性方程:am1x1am2x2anm xbnana21Ma12a22MLL OLa1na2nMamnn個(gè)未知數(shù)）a2 Lx1x2Mxna1x1a2 x2anxn、有解的充要條件:1.2.x1x2Mxmb2MbmAx b （向量方程,（全部按列分塊，其中b1b2 )；Mbnn矩陣，m個(gè)方程,r(A)（線(xiàn)性表出）r（A, ） n （ n為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線(xiàn)性相關(guān)性m個(gè)n維列向量所組成的向量組A :m構(gòu)成n m矩陣Am個(gè)n維行向量所組成的向量組 B ： 1T含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng);、向量組的線(xiàn)性相關(guān)、無(wú)關(guān)、向量的線(xiàn)性表出、向量組的相互線(xiàn)性表

25、示AxAxAX0有、m構(gòu)成m n矩陣BT1T2 ;MTm無(wú)非零解；（齊次線(xiàn)性方程組）b是否有解；（線(xiàn)性方程組）B是否有解；（矩陣方程）3 .矩陣Am n與Bl n行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組Ax 0和Bx 0同解;（Pioi 例 14）4 .r(ATA) r(A) ; ( P101 例 15)5.n維向量線(xiàn)性相關(guān)的幾何意義:、線(xiàn)性相關(guān)、,線(xiàn)性相關(guān)、,線(xiàn)性相關(guān)0 ；,坐標(biāo)成比例或共線(xiàn)（平行）；,共面；6. 線(xiàn)性相關(guān)與無(wú)關(guān)的兩套定理：若1, 2,L , s線(xiàn)性相關(guān)，則若1, 2,L , s線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則1, 2,L , s, s 1必線(xiàn)性相關(guān);1, 2,L , s1必線(xiàn)性無(wú)關(guān)；（向量的個(gè)

26、數(shù)加加減減，二者為對(duì)偶）若r維向量組A的每個(gè)向量上添上n r個(gè)分量，構(gòu)成n維向量組B :若A線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則B也線(xiàn)性無(wú)關(guān)；反之若 B線(xiàn)性相關(guān)，則 A也線(xiàn)性相關(guān)；（向量組的 維數(shù)加加減減）簡(jiǎn)言之：無(wú)關(guān)組延長(zhǎng)后仍無(wú)關(guān)，反之，不確定；7 .向量組A （個(gè)數(shù)為r）能由向量組B （個(gè)數(shù)為s）線(xiàn)性表示，且A線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則r s（ 版P74定理7）；向量組A能由向量組B線(xiàn)性表示，則r（A） r（B） ; （ P86定理3）向量組A能由向量組B線(xiàn)性表示AX B有解；r（A） r（A,B）（包定理 2）向量組A能由向量組B等價(jià) r（A） r（B） r（A, B） （P85定理2推論）8 .方陣A可逆 存在有限個(gè)初等矩

27、陣 P,P2,L,P,使A P1P2L P ; r、矩陣行等價(jià)：AB PA B （左乘，P可逆） Ax 0與Bx 0同解c、矩陣列等價(jià)： AB AQ B （右乘，Q可逆）；、矩陣等價(jià)： A B PAQ B （P、Q可逆）；9 .對(duì)于矢I陣Am n與Bl n ：、若A與B行等價(jià)，則A與B的行秩相等；、若A與B行等價(jià)，則Ax 0與Bx 0同解，且A與B的任何對(duì)應(yīng)的列向量組具有 相同的線(xiàn)性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣A的行秩等于列秩；10 .若 Am sBsn Cm n ,則：、C的列向量組能由A的列向量組線(xiàn)性表示，B為系數(shù)矩陣；、C的行向量組能由B的行向量組線(xiàn)性表示，AT為系數(shù)矩

28、陣；（轉(zhuǎn)置）11 .齊次方程組Bx 0的解一定是ABx 0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無(wú)需證明；、ABx 0只有零解Bx 0只有零解；、Bx 0 有非零解ABx 0一定存在非零解；12 .設(shè)向量組Bn r : D，b2,L由 可由向量組 An s :a1,a2,L , as線(xiàn)性表示為：(P110題19結(jié)論)(bi,b2,L ,br) (a1,a2,L ,as)K (B AK )其中K為s r,且A線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則B組線(xiàn)性無(wú)關(guān)r(K) r；(B與K的列向量組具有相同線(xiàn)性相關(guān)性)(必要性：Q r r(B) r(AK) r(K),r(K) r, r(K) r ;充分性：反證法)注：當(dāng)r s時(shí)，K為方陣，可當(dāng)作定理使用；13 .、對(duì)矩陣Am