第華羅庚杯賽決賽初一組試題及答案

1、總分第二十一屆華羅慶金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題（初一組）（時(shí)間:2016 年 3 月 12 日 10:0011:30）一、填空題（每小題10分，共80分）1 .已知n個(gè)數(shù)x1，X2,，Xn,每個(gè)數(shù)只能取0, 1, -1中的一個(gè).若X1 +X2 十十 Xn =2016,貝u X12015 +X2015 +x2015 的值為.號(hào)證賽參二二二二名姓 二二二二二二校學(xué)2 .某停車場(chǎng)白天和夜間兩個(gè)不同時(shí)段的停車費(fèi)用的單價(jià)不同.張明 2月份白天 的停車時(shí)間比夜間要多40% , 3月份白天的停車時(shí)間比夜間要少 40% .若3月 份的總停車時(shí)間比2月份多20%，但停車費(fèi)用卻少了 20%,那么該停車場(chǎng)白 天時(shí)段

2、與夜間時(shí)段停車費(fèi)用的單價(jià)之比是 .題答勿請(qǐng)內(nèi)線封密3 .在9M 9的格子紙上，1父1小方格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).如右圖， 三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn).若一個(gè)格點(diǎn)P使得三角 形PAB與三角形PAC的面積相等，就稱P點(diǎn)為“好點(diǎn)”.那 么在這張格子紙上共有 個(gè)“好點(diǎn)”.4 . 設(shè)正整數(shù)x, y滿足Xy -9x 9y =20,貝U X2+y2 =5 .甲、乙兩隊(duì)修建一條水渠.甲先完成工程的三分之一，乙后完成工程的三分之二，兩隊(duì)所用的天數(shù)為 A；甲先完成工程的三分之二，乙后完成工程的三分 之一，兩隊(duì)所用天數(shù)為B；甲、乙兩隊(duì)同時(shí)工作完成的天數(shù)為C.已知A比B多5, A是C的2倍多4.那么甲單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需

3、要 天.6 .已知 x +y + z = 5 ,2+1+1=5 , xyz =1,貝U x2 + y2 + z2=. x y z7 .關(guān)于x, y的方程組1-x y 二a2|x| -y = 1只有唯一的一組解，那么a的取值為.8 .右圖是一個(gè)骰子的展開(kāi)圖，每個(gè)面是一個(gè)單位正方形.用四個(gè)骰子粘成 一個(gè)2父2父1的長(zhǎng)方體放到桌面上，要求每 兩個(gè)粘在一起的 面上的“點(diǎn)數(shù)”相同.長(zhǎng)方體放到桌面上 的六個(gè)面分別記為 上、下、左、右、前、后六個(gè)面，兩個(gè) 長(zhǎng)方體不同是指對(duì)應(yīng) 六個(gè)面的“點(diǎn)”的拼圖不同.不考慮長(zhǎng)方體的旋轉(zhuǎn)，共 可以粘出.種不同的長(zhǎng)方體、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫(xiě)出簡(jiǎn)要過(guò)程）9

4、.在恰有三條邊相等的四邊形中，有兩條等長(zhǎng)的邊所夾的內(nèi)角為直角.若從該直角頂點(diǎn)引出的對(duì)角線恰好把這個(gè)四邊形分成兩個(gè)等腰三角形 所對(duì)的角的度數(shù).,求該直角10 .圍著一張可以轉(zhuǎn)動(dòng)的圓桌，均勻地放著8把椅子，在桌子上對(duì)著椅子放有8 個(gè)人的名片.這8個(gè)人入座后，將圓桌順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，第一次轉(zhuǎn)45、從第二 次開(kāi)始，每次轉(zhuǎn)動(dòng)比上一次多轉(zhuǎn) 45°.每轉(zhuǎn)動(dòng)一次，當(dāng)某人對(duì)著自己的名片 時(shí)，取走自己的名片.如果入座時(shí)誰(shuí)都沒(méi)有對(duì)著自己的名片，那么桌子至少 轉(zhuǎn)多少度才能保證所有入座可能的情況下8個(gè)人都拿到了自己的名片？11 .兩張8父12的長(zhǎng)方形紙片重疊地放置，有一個(gè)頂點(diǎn)重合，尺寸如 右圖所示.問(wèn)圖中陰影部分的

5、面積是多少？1212 .證明：對(duì)任何非零自然數(shù)n,n33n221+ 2 n - 1 ,都是整數(shù)，并用3除余2。三、解答下列各題（每小題15分，共30分,要求寫(xiě)出詳細(xì)過(guò)程）13 .如右圖,ABCD是正方形，F(xiàn)是其兩條對(duì)角線的交點(diǎn),EBC邊上，BE： EC =1： 2, DE與對(duì)角線AC的交點(diǎn)為G, 角形DFG的面積等于2.求正方形ABCD的面積.14 .排成一行的學(xué)生，從左到右1至3報(bào)數(shù)，最后一個(gè)人報(bào)在2.從右到左1至m報(bào)數(shù)，最后一個(gè)人報(bào)1,這里m與3互質(zhì).現(xiàn)凡報(bào)過(guò)1的學(xué)生出列，其余原 地不動(dòng)，共留下62名，其中只有21對(duì)學(xué)生原來(lái)相鄰.問(wèn)原來(lái)有多少名學(xué)生？ m的值是多少？第二十一屆華羅庚金杯少年

6、數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題參考答案（初一組）一、填空題（每小題10分，共80分）題號(hào)12345678答案201625:16122003015-1288二、解答下列各題（每小題10分，共40分，要求寫(xiě)出簡(jiǎn)要過(guò)程）9.【答案】135。，45?！窘獯稹吭谇∮腥龡l邊相等的四邊形中，三條相等的邊相鄰，不妨設(shè)為AB = BC = AD .若直角頂點(diǎn)引出的對(duì)角線恰好把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形,則有兩種情況.圖9-2圖9-1（1）如圖9所示，直角頂點(diǎn)4引出的對(duì)角線.4C分成的兩個(gè)等腰三角形中，AB = BC、AD = AC .在等腰三角形且8。中：因?yàn)?鋁= 3C = .4C：所以三角形H3C為等邊三角形.進(jìn) 而ZB

7、CA =/.CAB =60°, ZDAC =30°.在等腰三角形神中中：ZJCD = 1（180°-ZZ）JC）= 75oI所以 N5CD =135。.（2）如圖9-2所示，直角頂點(diǎn)4引出的對(duì)角線4c分成的兩個(gè)等腰三角形中，AB = BC、AC = CD .取40的中點(diǎn)及連接CE：貝IJCE_4P.所以刈CH.過(guò)3作* J,CE于£則四邊形.43隹為矩形.所以BF =-AD=-BC.22在直角三角形BC尸中：因?yàn)?c = 25尸，所以N5CE=30。.因?yàn)?”=5C ,所以 Z.BCA = ZACE .得Z.BCA = NACE =15°.最終

8、，4BCD =45°.10.【答案】1260*【解答】按照題目的設(shè)定，第一次轉(zhuǎn)45。，從第二次開(kāi)始，每次轉(zhuǎn)動(dòng)比上一次多轉(zhuǎn)45。，所以從第1次到第上次共轉(zhuǎn)了-Arx(jt4-l)x45°.除以8的余數(shù).要想保證每個(gè)人都拿到自己的名片，則需要每個(gè)人至少與桌子上的卡片位置對(duì) 上一次.從某個(gè)人名片開(kāi)始順時(shí)針記每張名片時(shí)應(yīng)的椅子位置為第0J, 2= 3, 4, 53 6/號(hào).第k次轉(zhuǎn)動(dòng)后.0位置的名片對(duì)應(yīng)的椅子位置的號(hào)數(shù)為k123456789沁(4+1)136101521283645觸(加1)除以8的余麴1362754454x(4+1)x452=ifcx(fc + l)452可以看出

9、.前7次旋轉(zhuǎn)：第。號(hào)名片所處的位置各不相同：并且都不在0卡片的 起始位置,因此由抽屜原則：?？ㄆ闹魅艘欢梢阅玫阶约旱目ㄆ?由對(duì)稱性, 旋轉(zhuǎn)七次.所有的人都拿到了卡片.當(dāng)旋轉(zhuǎn)次數(shù)小于7時(shí).第。號(hào)名片在第4號(hào)位置上沒(méi)有停留過(guò).如果第。號(hào) 的名片上的人正好坐在第4號(hào)位置上，則這個(gè)人就拿不到自己的名片.所以旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為28 x45 = 1260 .11.【答案】54【解答】如右圖將重疊部分標(biāo)上字母：連接,4U由于 .10 = 12, CD = 8-7 = 1,所以A4co 的面積=6, AC2 = 1+12 = 145.又N3=8,所以BC2= JC2-82 =145-64 = 81. BC=9.

10、因此M8C 的面積 2x8x9 = 36.2所以四邊形ABCD的面積=6 - 36 = 42 .因此陰影部分面積8x12 -42 =54.12.【證明】首先，有«3+-w2 +-n-l=-(2n3 +3n2 +)-1 2221 , 1 z 、=+3w+1)-1 = -w(2w(«+1)+m+1|-12 2= w(A2+l)(2w+l)-l.因?yàn)?1)是偶數(shù)，所以1是整數(shù).又-m(m+1)(2m+1)-1 = j"/"+DQ"+.) -1= /"Q'+LQ'+Q -3+2, 288而2威力?+1)(2+ 2)是三個(gè)相繼的

11、整數(shù)的乘積：是3的倍數(shù)，是3和8的公倍數(shù).所以，/-1被3除余2.三、解答下列各題(每小題15分，共30分，要求寫(xiě)出詳細(xì)過(guò)程)13.【答案】40【解答】設(shè)正方形288的面積是q連接EF,見(jiàn)右圖，則三角形BCF的面積=三角形DFC的面積=, 4三角形BE產(chǎn)的面積三角形EC尸的面積=幺 0三角形的面積=2 O三角形FED面積=三角形BED的面積-三角形BEF的面積=.由共邊定是,a aAECF的面積_皿C的面積=CF 7_4 A£G一的面積一 ADFG的面積一才巴12得到：a = 40 .14.【答案】125,4【解答】設(shè)原來(lái)有N人，原來(lái)的隊(duì)伍從左到右編號(hào)，1, 2,，N,則第一次報(bào)1 的有寸+ 1人，他們的編號(hào)是，V-2 3k+1, 3=0,12,-+1；第二次報(bào)1的有上1+ 1人，他們的編號(hào)是 mV-1wZ + L Z = 0sls2,-,-+1.m兩次都報(bào)1的人滿足條件:3/c+1 = m2 +1.因?yàn)镚M = 1,所以，=3乙r = o2千甘兩次都報(bào)1的人的編號(hào)是共計(jì)有若卜隊(duì).首先讓第一次報(bào)1的人出列，出列寧+1人，留下的人成2人相鄰一組共有三組和最右邊一個(gè)一人組；讓第二次報(bào)1而第一次不報(bào)1的人出現(xiàn)出來(lái)N-1 , + 1-N-13mN-13m隊(duì)）.另一方面，第二次出列的除了最