構(gòu)造函數(shù)法證明導(dǎo)數(shù)不等式的八種方法

1、建筑構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合 中的一個難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。2、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。以下介紹構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法：一、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)【例1】已知函數(shù)f(x) ln(x 1) x,求證：當(dāng)x 1時，恒有,11 ln(x 1) xx 1分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)1 g(x) ln(x 1) 1,從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明。

2、x 1_ - -1x【解】f (x)1x 1 x 1當(dāng)1 x 0時，f (x) 0,即f(x)在x ( 1,0)上為增函數(shù)當(dāng)x 0時，f (x) 0,即f(x)在x (0,)上為減函數(shù)故函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,0),單調(diào)遞減區(qū)間(0,)于是函數(shù)f(x)在(1,)上的最大值為f (x)max f(0) 0 ,因此，當(dāng)x 1時，f (x) f (0) 0,即 ln(x 1) x 0 ln(x 1) x (右面得證), _ .1_11x現(xiàn)證左面，令 g(x) ln(x 1) 1, 則g (x) 2 2x 1x 1 (x 1) (x 1)當(dāng) x ( 1,0)時,g (x) 0;當(dāng)x (0,

3、)時,g (x) 0 ,即g(x)在x ( 1,0)上為減函數(shù)，在x (0,)上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(1,)上的最小值為g (x) min g(0) 0, 一一 一1 一當(dāng) x 1 時，g(x) g(0) 0,即 ln(x 1) 1 0x 11 一， ，1 ln(x 1) 1 ,綜上可知，當(dāng) x1 時，有 1 ln(x 1) xx 1x 1【警示啟迪】如果 f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大(小)值，則有 f(x) f(a)(或f (x) f(a), 那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證.2、作差法構(gòu)造函數(shù)證明1 2 23【例2】已知函數(shù)f(x) -x ln x.求證：在

4、區(qū)間(1,)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x) x的23圖象的下方；分析：函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方 不等式f(x) g(x)問題，12.2312.23,、 、一即一x ln x - x ,只需證明在區(qū)間(1,)上，恒有一x ln x - x 成立，設(shè)2323，1F(x) g(x) f (x) , x (1,),考慮到 F(1) 06要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋寒?dāng)x 1時，F(xiàn)(x) F(1),這只要證明：g(x)在區(qū)間(1,)是增函數(shù)即可。2cle【解】設(shè) F(x) g(x) f(x),即 F(x) 2x3 1x2 ln x,32221 (x 1)( 2x x 1)F (x) 2x

5、 x -=-xx1 時，F(xiàn) (x) = (x 1)(2x一x-J) x 1從而F(x)在(1,)上為增函數(shù)，F(xiàn)(x) F(1) - 06，當(dāng) x 1 時 g(x) f (x) 0,即 f(x) g(x),2 3故在區(qū)間(1,)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x) -x的圖象的下方。3【警示啟迪】本題首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個函數(shù)(可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)) 并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。讀者也可 以設(shè)F(x) f (x) g(x)做一做，深刻體會其中的思想方法。3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明111【例3】(2007年，山東卷)證明：對任意的正

6、整數(shù)n,不等式ln( 1) 都成立.23n n n1 八，分析：本題是山東卷的第(II )問，從所證結(jié)構(gòu)出發(fā)，只需令 一 x ,則問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng) x 0時, n恒有 ln( x 1) x2x3成立，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù) h(x) x3 x2ln(x 1),求導(dǎo)即可達(dá)到證明。第7頁共6頁【解】令 h(x) x3 x2 ln(x 1),3x22x323x (x 1)在 x(0,所以函數(shù)h(x)在(0,)上單調(diào)遞增,x (0,)時，恒有 h(x) h(0)0,即 x3 x2 ln(x 1) 0, ln(x 1) x2 x3一 一一，1一，111對任意正整數(shù)n,取x (0,),則有l(wèi)n(1)-2-3nn nn【

7、警示啟迪】 我們知道，當(dāng)F(x)在a,b上單調(diào)遞增，則xa時,有F (x)F(a).如果 f(a) =(a),要證明當(dāng)x a時，f (x)(x),那么，只要令F(x)= f (x)-(x),就可以利用F(x)的單調(diào)增性來推導(dǎo).也就是說，在F(x)可導(dǎo)的前提下，只要證明F(x)0即可.4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y= f (x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式 x f (x) f (x)恒成立，且常數(shù) a, b滿足ab,求 證：.a f (a) b f (b)【解】由已知 x f (x)+f(x)0，構(gòu)造函數(shù) F (x) xf (x),則F (x)x f (x) + f (x) 0,從而F

8、 (x)在R上為增函數(shù)。a bF(a) F(b)即 a f (a)b f (b)【警示啟迪】由條件移項(xiàng)后xf (x) f (x),容易想到是一個積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù) F(x) xf(x),求導(dǎo)即可完成證明。 若題目中的條件改為 xf (x) f(x),則移項(xiàng)后xf (x) f(x),要想到 是一個商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時解題多注意總結(jié)。5、主元法構(gòu)造函數(shù)例.(全國)已知函數(shù) f (x) ln(1 x) x,g(x) xln x(1)求函數(shù)f(x)的最大值；a b、(2)設(shè) 0 a b,證明：0 g(a) g(b) 2g() (b a)ln 2.2分析：對于(II )絕大部分的學(xué)生都會望而生畏

9、.學(xué)生的盲點(diǎn)也主要就在對所給函數(shù)用不上.如果能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系，想一想大小關(guān)系又與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，由此就可過渡到根 據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，以期 達(dá)到證明不等式的目的.證明如下：證明：對 g(x) x ln x 求導(dǎo)，則 g(x) ln x 1.，.a b在g(a) g(b) 2g()中以b為王變兀構(gòu)造函數(shù)，2設(shè) F(x) g(a) g(x) 2g(ayx)，則 F(x) g(x) 2g(ayx) In x In ayx .、，.一 ，、一 當(dāng)0 x a時，F(xiàn) (x) 0,因此F(x)在(0,a)內(nèi)為減函數(shù)

10、. 當(dāng)x a時，F(xiàn) (x) 0,因此F(x)在(a,)上為增函數(shù).從而當(dāng)x a時，F(xiàn)(x)有極小值F(a).因?yàn)?F(a) 0,b a,所以 F(b) 0,即 g(a) g(b) 2g(-ab) 0. 2又設(shè) G(x) F(x) (x a)ln2.則g(x) ln x ln a 2 x ln 2 ln x ln(a x).當(dāng)x 0時，G (x) 0 .因此G(x)在(0,)上為減函數(shù) 因?yàn)?G 0,b a,所以 G(b) 0,即 g(a) g(b) 2g(ab) (b a)ln 2 .26、構(gòu)造二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)證明導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性例.已知函數(shù)f (x) aex 1 x22若f(x)在R上為增函數(shù)，求a

11、的取值范圍；(2)若 a=1,求證:x 0 時,f(x)1+x解：(1)f (x) = aex x , f (x)在R上為增函數(shù)，f (x) 0對*611恒成立，即a x e 對x C R恒成立記 g(x)=xe x，貝 Ug (x) = cxxc =(1-x)e x ,當(dāng) xl 時，g (x)VO,當(dāng) xVl 時，g (x)0.知g (x)在(-8,1)上為增函數(shù)，在(1,+ oo)上為減函數(shù)，1- g(x)在 x=1 時，取得最大值，即 g(x)max=g(1)=1/e,. . a 1/e,即a的取值范圍是1/e, +8)x 12(2)記 F(X)=f(x)-(1+x) = ex x2 1

12、 x(x 0)2則 F (x)=e x-1-x,令 h(x)= F (x)=e x-1-x,則 h (x)=e x-1當(dāng) x0 時，h (x)0, h(x)在(0,+ 8)上為增函數(shù),又 h(x)在 x=0 處連續(xù)，h(x)h(0)=0即F (x)0 , F(x)在(0,+ oo)上為增函數(shù)，又F(x)在x=0處連續(xù)， F(x)F(0)=0,即 f(x)1+x .小結(jié)：當(dāng)函數(shù)取最大(或最小)值時不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把不等式的恒成立問題 可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題.不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn) 化為mf(x)(或m f(x)恒成立，于是 m大于

13、f(x)的最大值(或 m小于f(x)的最小值)，從而把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.因此，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問題的一 種重要方法.7.對數(shù)法構(gòu)造函數(shù)(選用于哥指數(shù)函數(shù)不等式)1 11 x例：證明當(dāng)x 0時,(1 x) x e 2證明 對不等式兩邊取對數(shù)得(與皿1 EI化筒為 2(1+x) 0 (x 0)1 * *由定理之知在小g)上嚴(yán)格單調(diào)增加.從而r(o)=o (xo)又由在。+ + )上連續(xù)，且(G 。得隈黑)在o,上嚴(yán)珞單調(diào)增加,所以“工)f(0) =0(x0),即2i +- 2(1 +x)la(l 0t2x + x3 2(1 4i)ln(l +工)故(l+j

14、+ji 吟(i0)8.構(gòu)造形似函數(shù)例：證明當(dāng)b a e,證明ab ba分析此髭目具有薜指遹數(shù)形式,對不拿式兩邊分別取時數(shù)得舊用而，整理為1世 1nb,在此恭批上根據(jù)形似”構(gòu)造輔助函數(shù)f(K)工!尿,再根據(jù)函數(shù)的睢調(diào)性證明之.證明 不等式兩邊取對數(shù)得bl皿Aihib.可化為占的=1命. a b令f(K)眼然口外在(七,)內(nèi)連續(xù)井可導(dǎo).f(i) = - Xinx + - -1 - Jnx) e)XX , K由定理用r(x)在+b 內(nèi)為嚴(yán)格單調(diào)遞減.由 b8ef(a f( b.所以L】na% alnb.a b故 J Ab”例：已知mn n都是正整數(shù)，且1 m n,證明：(1 m)n (1 n)m證明

15、康不等式/價(jià)心“*句”+-),令nth二1土當(dāng)心2,則/ n) =: _ 山- M + 切 f(n).即(】十iH) r (1+打/成立.【思維挑戰(zhàn)】1、(2007年，安徽卷)設(shè) a 0, f(x) x 1 ln2 x 2aln x求證：當(dāng)x 1時，恒有x In 2x 2aln x 1,5 a2 3a2 In a, 22、(2007年，安徽卷)已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x) -x2 2ax, g(x) 3a2 In x b,其中 a0，且 b 2求證：f (x) g(x)x3、已知函數(shù)f(x) ln(1 x) ,求證：對任意的正數(shù) a、b,1 xb恒有 ln a ln b 1.a4、(20

16、07年，陜西卷)f(x)是定義在0, +00)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足 xf (x)f(x)& 0,對任意正數(shù)a、b,若a b,則必有(A) af ( b) bf (a)(B) bf (a) af ( b)(C) af (a) f【答案咨詢】(b)(D) bf ( b) w f (a)1、提示：f (x)1, a 0時，不難證明2ln xf (x) f(x)0,即 f (x)在(0, f (1) 0 , 當(dāng) x)內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)1時，恒有x ln2、提示：設(shè)F(x)1g(x) f(x) 2x2ax 3a 21nx(X a)(x 3a)(x 0)x故F(x)在(0,a)上為減函數(shù)，在值是 F(a) f(a) g(a) 0,(a,故當(dāng)x3、提示：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,) , f (x)x1時，2alnx 1b 則 F (x) xa 時，F(xiàn) (x)上為增函數(shù)，于是函數(shù)0時，有f (x) g(x)1(1 x)22a0,F(x)(1 x)23a2在(0,)上的最小 g(x)(1,0)上為減函數(shù)當(dāng) 1 x 0 時，f (x) 0,即 f(x)在 x當(dāng)