圓中常見輔助線

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓中常見輔助線的做法一遇到弦時(shí)（解決有關(guān)弦的問題時(shí)）1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點(diǎn)的半徑。作用：利用垂徑定理； 利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系； 利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。例：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D二點(diǎn).求證：AC = BD證明:過O作OEAB于EO為圓心，OEABAE = BE CE = DEAC = BD練習(xí)：如圖，AB為O的弦，P是AB上的一點(diǎn)，AB = 10cm，PA = 4cm.求O的半徑.2.有等弧或證弧等時(shí)常連等弧所對的弦或作等弧

2、所對的圓心角.例：如圖，已知AB是O的直徑，M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，CMAB,DNAB,求證： 證明：（一）連結(jié)OC、ODM、N分別是AO、BO的中點(diǎn)OM = AO、ON = BOOA = OB OM = ONCMOA、DNOB、OC = ODRtCOMRtDONCOA = DOB（二）連結(jié)AC、OC、OD、BDM、N分別是AO、BO的中點(diǎn)AC = OC BD = ODOC = OD AC = BD 3. 有弦中點(diǎn)時(shí)常連弦心距例：如圖，已知M、N分別是O 的弦AB、CD的中點(diǎn),AB = CD，求證：AMN = CNM證明：連結(jié)OM、ONO為圓心，M、N分別是弦AB、CD的中點(diǎn)OMAB O

3、NCDAB = CD OM = ONOMN = ONMAMN = 90oOMN CNM = 90oONMAMN =CNM4. 證明弦相等或已知弦相等時(shí)常作弦心距.例：如圖，已知O1與O2為等圓，P為O1、O2的中點(diǎn)，過P的直線分別交O1、O2于A、C、D、B.求證：AC = BD證明：過O1作O1MAB于M,過O2作O2NAB于N，則O1MO2NO1P = O2P O1M = O2N AC = BD二.有弧中點(diǎn)（或證明是弧中點(diǎn)）時(shí)，常有以下幾種引輔助線的方法：連結(jié)過弧中點(diǎn)的半徑連結(jié)等弧所對的弦連結(jié)等弧所對的圓心角例：如圖，已知D、E分別為半徑OA、OB的中點(diǎn)，C為弧AB的中點(diǎn)，求證：CD =

4、CE證明：連結(jié)OCC為弧AB的中點(diǎn) AOC =BOCD、E分別為OA、OB的中點(diǎn)，且AO = BOOD = OE = AO = BO又OC = OC ODCOEC CD = CE3. 有直徑時(shí)常作直徑所對的圓周角，再利用直徑所對的圓周角為直角證題.例：如圖，AB為O的直徑，AC為弦，P為AC延長線上一點(diǎn)，且AC = PC,PB的延長線交O于D，求證：AC = DC證明：連結(jié)ADAB為O的直徑 ADP = 90o AC = PC AC = CD =AP例（2005年自貢市）如圖2，P是O的弦CB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)A在O上，且。求證：PA是O的切線。 證明：作O的直徑AD，連BD，則 即 即PA為O

5、的切線。四遇到90度的圓周角時(shí)常常連結(jié)兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)。 作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。練習(xí)：如圖，在RtABC中，BCA = 90o ,以BC為直徑的O交AB于E，D為AC中點(diǎn)，連結(jié)BD交O于F.求證：五.有等弧時(shí)常作輔助線有以下幾種：作等弧所對的弦作等弧所對的圓心角作等弧所對的圓周角練習(xí)：1.如圖，O的直徑AB垂直于弦CD，交點(diǎn)為E，F(xiàn)為DC延長線上一點(diǎn)，連結(jié)AF交O于M.求證：AMD =FMC(提示：連結(jié)BM)2.如圖，ABC內(nèi)接于O，D、E在BC邊上，且BD = CE，1 =2，求證：AB = AC（提示如圖）六.有弦中點(diǎn)時(shí)，常構(gòu)造三角形中位線.例：已知，如圖，在O中，

6、ABCD，OEBC于E，求證：OE =AD證明：作直徑CF，連結(jié)DF、BFCF為O的直徑CDFD又CDABABDF AD = BFOEBC O為圓心 CO = FOCE = BE OE =BFOE =AD七.圓上有四點(diǎn)時(shí)，常構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形.例：如圖，ABC內(nèi)接于O，直線AD平分FAC，交O于E，交BC的延長線于D，求證：ABAC = ADAE證明：連結(jié)BE1 =3 2 =13 =2四邊形ACBE為圓內(nèi)接四邊形ACD =EABEADCABAC = ADAE八.兩圓相交時(shí)，常連結(jié)兩圓的公共弦例：如圖，O1與O2相交于A、B，過A的直線分別交O1、O2于C、D，過B的直線分別交O1、O2于E、F.

7、求證：CEDF證明：連結(jié)AB四邊形為圓內(nèi)接四邊形ABF =C 同理可證：ABE =DABF ABE = 180oCD = 180oCEDF九.在證明直線和圓相切時(shí)，常有以下兩種引輔助線方法：當(dāng)已知直線經(jīng)過圓上的一點(diǎn)，那么連結(jié)這點(diǎn)和圓心，得到輔助半徑，再證明所作半徑與這條直線垂直即可.如果不知直線與圓是否有交點(diǎn)時(shí)，那么過圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長度等于半徑的長即可.例1：如圖，P為O外一點(diǎn)，以O(shè)P為直徑作圓交O于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)PA、PB.求證：PA、PB為O的切線證明：連結(jié)OA PO為直徑PAO = 90o OAPAOA為O的半徑PA為O的切線同理：PB也為O的切線例2：如圖，同心圓

8、O，大圓的弦AB = CD，且AB是小圓的切線，切點(diǎn)為E，求證：CD是小圓的切線證明：連結(jié)OE，過O作OFCD于FOE為半徑，AB為小圓的切線OEABOFCD, AB = CDOF = OECD為小圓的切線練習(xí)：如圖，等腰ABC，以腰AB為直徑作O交底邊BC于P，PEAC于E,求證：PE是O的切線十.當(dāng)已知條件中有切線時(shí)，常作過切點(diǎn)的半徑，利用切線的性質(zhì)定理證題.例：如圖，在RtABC中，C = 90o，AC = 12，BC = 9，D是AB上一點(diǎn)，以BD為直徑的O切AC于E，求AD長.解：連結(jié)OE，則OEACBCAC OEBC在RtABC中，AB = OE = OB = BD = 2OB =

9、 AD = ABDB = 15= 答：AD的長為.練習(xí)：如圖，O的半徑OAOB，點(diǎn)P在OB的延長線上，連結(jié)AP交O于D，過D作O的切線CE交OP于C，求證：PC = CD十一 遇到兩相交切線時(shí)（切線長）常常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)。 作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到： 角、線段的等量關(guān)系；垂直關(guān)系；全等、相似三角形。十二遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。 作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得： 內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線； 內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。在處理內(nèi)心的問題時(shí)，常需連結(jié)頂點(diǎn)與內(nèi)心，以便利用內(nèi)切圓的圓心是三角形內(nèi)

10、角平分線交點(diǎn)這一性質(zhì)。十三遇到三角形的外接圓時(shí)，連結(jié)外心和各頂點(diǎn) 作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。十四遇到兩圓外離時(shí)（解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線的問題）常常作出過切點(diǎn)的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線。 作用：利用切線的性質(zhì)； 利用解直角三角形的有關(guān)知識。十五遇到兩圓相交時(shí) 兩個(gè)相交圓不離公共弦常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點(diǎn)和圓心等。 作用： 利用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識； 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)； 利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)；垂徑定理。1. 作相交兩圓的公共弦 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或公共圓周角，溝通兩圓的角的關(guān)系。 例1. 如圖1，O1和O2相交于A、B兩點(diǎn)，過A、B

11、分別作直線CD、EF，且CD/EF，與兩圓相交于C、D、E、F。求證：CEDF。圖1 分析：CE和DF分別是O1和O2的兩條弦，難以直接證明它們相等，但通過連結(jié)AB，則可得圓內(nèi)接四邊形ABEC和ABFD，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，則易證明。 證明：連結(jié)AB 因?yàn)?又 所以 即CE/DF 又CD/EF 所以四邊形CEFD為平行四邊形 即CEDF 2.作兩相交圓的連心線 利用過交點(diǎn)的半徑、公共弦、圓心距構(gòu)造直角三角形，解決有關(guān)的計(jì)算問題。 例2. O1和O2相交于A、B兩點(diǎn)，兩圓的半徑分別為和，公共弦長為12。求的度數(shù)。圖2 分析：公共弦AB可位于圓心O1、O2同側(cè)或異側(cè)，要求的度數(shù)，可利用角的和或

12、差來求解。 解：當(dāng)AB位于O1、O2異側(cè)時(shí)，如圖2。 連結(jié)O1、O2，交AB于C，則。分別在和中，利用銳角三角函數(shù)可求得 故 當(dāng)AB位于O1、O2同側(cè)時(shí)，如圖3圖3 則 綜上可知或例2：已知，O1與O2交于A、B，O1的弦AC切O2于A，過B作直線交兩圓于D、E。求證：DCAE。 分析:由口訣“兩個(gè)相交圓不離公共弦”,連結(jié)AB,可得D=CAB, 由切線知CAB=E,即D=E即得證。練習(xí)：如圖O1和O2都經(jīng)過A、B兩點(diǎn)。經(jīng)過點(diǎn)A的直線CD與 O1交于點(diǎn)C，與 O2交于點(diǎn)D；經(jīng)過點(diǎn)B的直線EF于 O1交于點(diǎn)E，與 O2交于點(diǎn)F。求證：CEDF.CDEMNGABO2O1F圖 8例、如圖8，在梯形AB

13、CD中，以兩腰AD、BC分別為直徑的兩個(gè)圓相交于M、N兩點(diǎn)，過M、N的直線與梯形上、下底交于E、F。求證： MNAB。分析：因?yàn)镸N是公共弦，若作輔助線O1O2，必有MNO1O2，再由O1O2是梯形的中位線，得O1O2/AB，從而易證MNAB。證明 連結(jié)O1O2交EF于G = MNO1O2。 DO1=O1A，CO2=O2B = O1O2是梯形ABCD的中位線 = O1O2/AB =EFA=EGO1=Rt = MNAB說明，由兩圓相交連心線垂直于公共弦想到作連心線。16 遇到兩圓相切時(shí) 兩個(gè)相切圓不離公切線常常作連心線、公切線。 作用：利用連心線性質(zhì)； 弦切角性質(zhì)； 切線性質(zhì)等。例3. 如圖4，

14、O1和O2外切于點(diǎn)P，A是O1上的一點(diǎn)，直線AC切O2于C，交O1于B，直線AP交O2于D。求證PC平分。圖4 分析：要證PC平分，即證 而的邊分布在兩個(gè)圓中，難以直接證明。 若過P作兩圓的公切線PT，與AC交于T 易知 由弦切角定理，得 又是的一個(gè)外角 所以 又 從而有 即PC平分例3:已知, O1和O2外切于A,直線BC切O1于B,切 O2于C。 求證：ABAC(人教版課本P87例4） 分析1：口訣“兩個(gè)相切圓不離公切線”,過A作兩圓的公切線,則1=2, 3=4,又1+2+3+4=180,則2+3=90即ABAC。分析2： 口訣“兩圓三圓連心線”，連結(jié)O1O2、O1B、O2C,則點(diǎn)A在O1

15、O2上,易知O1BO2C,顯然1+2=90,故ABAC1.相切兩圓常添公切線作輔助線.例2 如圖2,已知O1、O2外切于點(diǎn)P，A是O1上一點(diǎn)，直線AC切O2于點(diǎn)C，交O1一點(diǎn)B，直線AP交O2于點(diǎn)D .(1)求證:PC平分BPD;(2)將“O1與O2外切于點(diǎn)P”改為“O1、O2內(nèi)切于點(diǎn)P”，其它條件不變，中的結(jié)論是否仍然成立？畫出圖形并證明你的結(jié)論(武漢市中考題）.ADQO2O1CB圖2ADPO1CB圖3MP 證明:(1)過P點(diǎn)作兩圓公切線PQ QPC=PCQ,QPB=A, CPD=A+QCP，CPD=CPB, 即PC平分BPD(2)上述結(jié)論仍然成立.如圖3,過點(diǎn)P作兩圓公切線PM,則MPB=

16、A.BPC=MPCMPB=BCPA=CPA, PC平分BPD.說明:作公切線的“公”字聯(lián)系了小圓弦切角與大圓弦切角.2、遇到三個(gè)圓兩兩外切時(shí) 兩圓三圓連心線常常作每兩個(gè)圓的連心線。 作用：可利用連心線性質(zhì)。3.兩圓三圓時(shí)常作連心線作為輔助線例3 如圖4,施工工地水平地面上有三根外徑都是1米的水泥管,兩兩外切堆放在一起,則最高點(diǎn)到地面距離是_(遼寧省中考題).解:連O1O2、O2O3、O3O1，過O1作AO1O2O3交O1于A，交O2O3于B圖4AO1O2O3BO1、O2、O3是等圓, O1O2O3是等邊三角形. 說明:三圓兩兩相切時(shí)作連心線后注意挑選直角三角形解題.十七遇到四邊形對角互補(bǔ)或兩個(gè)

17、三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時(shí)常常添加輔助圓。 作用：以便利用圓的性質(zhì)。 過小圓圓心作大圓半徑的垂線 有關(guān)公切線問題常過小圓的圓心作大圓半徑的垂線，構(gòu)造直角三角形。 例5. 如圖6，O1與O2外切于點(diǎn)O，兩外公切線PCD和PBA切O1、O2于點(diǎn)C、D、B、A，且其夾角為，求兩圓的半徑。圖6 分析：如圖6，連結(jié)O1O2、O1A、O2B，過點(diǎn)O2作，構(gòu)造，下面很容易求出結(jié)果。十八相交兩圓中至少有一個(gè)圓經(jīng)過另一個(gè)圓的圓心，遇到這類問題，常用的輔助線是連結(jié)過交點(diǎn)的半徑PAQBO2O1.圖 10例10 如圖10，O1與O2相交于A、B兩點(diǎn)，且O2在O1上，點(diǎn)P在O1上，點(diǎn)Q在O2上，若APB=40，求AQB的度數(shù)。分析 連結(jié)O2A、O2B，在O1中利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求得AO2B=140，在O2中，AQB=1/2AO2B=70。切點(diǎn)三角形是直角三角形的應(yīng)用.例4 如圖5,O1與O2外切于點(diǎn)C, O1與O2連心線與公切線交于P,外公切線與兩圓切點(diǎn)分別為A、B,且A=4,BC=5.PAQBO1O2C12圖5(1)求線段AB長；(2)證明：PC2=PAPB.(2002年杭州市中考題)解：(1)過C作兩圓公切線CQ,交AB于QQA=QC=QB=AB ACB=90AC=4