44三角函數(shù)的圖象與性質1

1、4.4 三角函數(shù)的圖象與性質【考點集結號】1三角函數(shù)的圖象；2三角函數(shù)的性質；3正弦型函數(shù)性質；4五點作圖法【易錯點精析】一、忽視“五點”的位置O2yx例1 已知函數(shù)y=Asin（xj）（A0，|j|）的部分圖象如圖所示，試確定該函數(shù)的解析式錯解由圖象可知A=2又=，所以T=，即=所以=2，故有 y=2sin（2xj）又因為函數(shù)圖象經過點（，0），所以有sin（j）=0，則j=k（kZ）因為|j|，所以得j=或j=故所求的函數(shù)解析式為y=2sin（2x）或y=2sin（2x）剖析事實上，函數(shù)y=2sin（2x）的圖象并不經過點（，2） ，故y=2sin（2x）不符合題意原因是錯解只考慮了函數(shù)值

2、的對應而忽視了函數(shù)圖象的合理性我們知道形如y=Asin（xj）的函數(shù)圖象均可以用“五點法”畫出，而“五點法”中我們令xj分別取0，2，從圖可看出對應的應該是，錯解中令j=k（kZ）就擴大了j的取值范圍正解1將點（，2）代入y=2sin（2xj）中，則有sin（j）=1，所以j=2k（kZ）又因為|j|，所以j=故y=2sin（2x）即為所求正解2（，0）為五點作圖的第三點，則由sin（j）=0，得j=（2k1），j=2k（kZ） 又因為|j|，所以j=故y=2sin（2x）即為所求 二、忽視變換對象例2 把函數(shù)y=sin（3x）的圖象向右平移個單位，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，求所

3、得函數(shù)的解析式錯解將原函數(shù)圖象向右平移個單位，得y=sin（3x）=sin（3x），再將橫坐標縮短為原來的，得到y(tǒng)=sin（·3x）=sin（x）剖析以上解法沒有準確抓住變換對象而致錯不論左右平移還是橫坐標的伸縮，變換的對象只是“x”，即以什么代換“x”此題中，向右平移個單位，依據(jù)“左右”的原則，應以（x）代換x，表達式中其他部分不變；而橫坐標的伸長或縮短，對應于周期的變大或縮小，此例中橫坐標縮短為原來的，意味著周期變?yōu)樵瓉淼?，故應?x代換，而表達式其他部分不變正解將原函數(shù)圖象向右平移個單位，得y=sin3（x）=sin（3x），再將圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，得到y(tǒng)=sin3

4、（2x）=sin（6x）三、忽視復合函數(shù)單調性例3 求函數(shù)y=2sin（2x）的單調遞增區(qū)間錯解由2k2x2k，解得：kxk（kZ）所以函數(shù)y=2sin（2x）的單調遞增區(qū)間為：k，k（kZ）剖析由u=2x是減函數(shù)，y=2sinu是2k，2k（kZ）上的增函數(shù)可知k，k（kZ）是原函數(shù)的單調遞減區(qū)間，而非單調遞減區(qū)間正解1由u=2x是減函數(shù)，且使原函數(shù)在待求區(qū)間遞增，需使函數(shù)y=2sinu遞減，于是u2k，2k（kZ）于是令2k2x2k，解得kxk（kZ），故k，k（kZ）是原函數(shù)的單調遞增區(qū)間正解2由y=2sin（2x）=2sin（2x），得y=2sin（2x）由2k2x2k，解得：kxk（

5、kZ）故所求函數(shù)的單調遞增區(qū)間為k，k（kZ）四、忽視定義域的變化例4 求函數(shù)y=的周期錯解因為y=tan2x，所以T=剖析解法遵循常規(guī)思路，先化簡后求周期，但結果是錯的，不是y=的周期因為當x=0時，y=有意義，所以由周期函數(shù)定義應有f（0）=f（0）成立，然而f（0）根本無意義，故不是其周期究其原因，是從變到“tanx”不是等價變形前者定義域是xR|xk且x，kZ，而后者定義域是xR| x，kZ顯然在變形過程中定義域擴大了，兩式不等價，故周期不一定相同正解由于函數(shù)y=的定義域為xR|xk且x，kZ，故分別作出函數(shù)y=與y=tan2x的圖象，如圖1，圖2所示可以看出，所求函數(shù)周期應為Oxy圖

6、211Oxy圖111考點精練組一、選擇題 1函數(shù)y=sin（3x）的最小正周期是（ ）A B C4 D 2函數(shù)y=sin（x）在（ ）A，上是增函數(shù) B0，上是減函數(shù)C，0上是減函數(shù) D，上是減函數(shù) 3將函數(shù)y=sin4x的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)=sin（4xj）的圖象，則j的一個值等于（）A BC D 4在下列函數(shù)中，同時滿足條件在（0，）上遞增；以2為周期；是奇函數(shù)的是（ ）AytanxBycosxCytanxDytanx 5函數(shù)y=2cos（2x）圖象（ ）A關于原點對稱 B關于點（，0）對稱C關于y軸對稱 D關于直線x=對稱 6用五點法作y=2sin2x的圖象時，首先應描出的五點的

7、橫坐標可以是（ ）A0，2B0，圖O121xy2C0，2，3，4D0， 7如圖所示，所對應的函數(shù)解析式是（ ）Ay=|sinx| By=sin|x|Cy=sin|x| Dy=|sinx| 8將函數(shù)f（x）=cos（2x）的圖象向左平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標壓縮到原來的， 那么所得到的圖象的解析表達式為（ ）Ay=cosx By=cos（4x）Cy=cos（4x ） Dy=cos（x） 9函數(shù)f（x）=2sin|x|的部分圖象是（ ）Byx2OyxAO2Cyx2ODyx210函數(shù)f（x）=cos2xsinx在區(qū)間，上的最小值是（）ABC1D二、填空題：11函數(shù)y=cos（2x），當x=

8、時， y取到最小值12函數(shù)y=lg（2sinx1）的定義域是_ _13已知f（x）=axnsinx3 ，f（3）=6， 則f（3）= 14函數(shù)f（x）=tan（x）的單調遞增區(qū)間是 15若f（x）是偶函數(shù)，當x0時，f（x）=x2xtanx，則當x0時，f（x）= 組一、選擇題： 1下列函數(shù)中，最小正周期為的是（）Ay=sin（2x）By=tan（2x）Cy=cos（2x）Dy=tan（4x） 2已知函數(shù)y=tanx在（，）內是減函數(shù)，則（ ）A01 B10 C1 D1 3下列命題中正確的是（）Ay=tanx為增函數(shù)By=sinx在第一象限內為增函數(shù)Cy=cosx在（0，）（2，3）上為減函數(shù)

9、Dy=sinxcosx在（0，）上是增函數(shù) 4y=2sin（2x）單調增區(qū)間為（）Ak，kBk，kCk，kDk，k其中kZxxxxOOOOyyyyABCD 5函數(shù)y =xcosx的部分圖象是（） 6f（x）=Asin（xj）（A0，0）在x=1處取最大值，則（）Af（x1）一定是奇函數(shù)Bf（x1）一定是偶函數(shù)Cf（x1）一定是奇函數(shù)Df（x1）一定是偶函數(shù) 7已知f（x）=sin（xj）cos（xj）為奇函數(shù)，則j的一個取值（）A0 BC D 8f（x）=sinxcosx的圖象中相鄰的兩條對稱軸間距離為（）A3 BCD 9函數(shù)y=tan（2x）的一個對稱中心是（）A（，0）B（，0）C（，0）

10、D（，0） 10使y=sinx（0）在區(qū)間0，1至少出現(xiàn)2次最大值，則的最小值為（）A BC D二、填空題：11把函數(shù)y = cos（x）的圖象向左平移m個單位（m0）， 所得圖象關于y軸對稱， 則m的最小值是_12函數(shù)y = 2sin（4x）的圖象與x軸的交點中， 離原點最近的一點的坐標是_ _13y=sin2xacos2x的圖象關于x=對稱，則a等于_14存在（0，）使sincos=；存在區(qū)間（a，b）使y=cosx為減函數(shù)而sinx0；y=tanx在其定義域內為增函數(shù)；y=cos2xsin（x）既有最大、最小值，又是偶函數(shù)；y=sin|2x|最小正周期為以上命題錯誤的為_15函數(shù)y=的定

11、義域是 三、解答與證明：16求函數(shù)y=sinxcosx的周期和值域，并作出在x，2上的簡圖17已知正切函數(shù)y=Atan（xj）（A0，0，|j|）的圖像與x軸相交的兩相鄰點的坐標為（，0）和（，0），且過（0，3）求它的表達式18函數(shù)y=3cos（）的周期為，求正整數(shù)k的值；求函數(shù)的最大值，以及此時的取值集合19已知函數(shù)y=2sin（2x），求其對稱軸方程；求其單調增區(qū)間20已知函數(shù)f（x）=sin（xj）（j0，0j）是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點M（，0）對稱，且在區(qū)間0，上是單調函數(shù)求j和的值21設函數(shù)f（x）=sin（2xj）（j0），y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=，求j；求函數(shù)y=f（x）的單調增區(qū)間；畫出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間0，上的圖象 參考答案4.4 三角函數(shù)的圖象與性質組15DBCBD610 BCCCD11k（kZ）；12(2