橢圓題型歸納大全

1、文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.橢圓典型題型歸納題型一.定義及其應(yīng)用例1.已知一個(gè)動(dòng)圓與圓 C:（x 4）2 y2100相內(nèi)切，且過點(diǎn)A（4,0）,求這個(gè)動(dòng)圓圓心 M的軌跡方程；例2.方程3j(x 1)2 (y 1)2x J2y 2所表示的曲線是 練習(xí)：1 .方程限3)2y2J(x3)2y26對應(yīng)的圖形是()A.直線B.線段C.橢圓D.圓2 .方程J(x3)2y2J(x3)2y210對應(yīng)的圖形是()A.直線B.線段C.橢圓D.圓2 y253 .方程Jx2 (y 3)27x2 (y 3)2 10成立的充要條件是()2222222“xy,xy,xy,xA.1B.1C.

2、1D.一2516259162594.如果方程Jx2 (y m)2F（ym）2 m 1表示橢圓，則 m的取值范圍是 5 .過橢圓9x2 4y2 1的一個(gè)焦點(diǎn)Fi的直線與橢圓相交于 A, B兩點(diǎn)，則A, B兩點(diǎn)與橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2構(gòu)成的 ABF2的周長等于 ；6 .設(shè)圓（x 1）2 y2 25的圓心為C, A（1,0）是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任意一點(diǎn)，線段AQ的垂直平分線與 CQ的連線交于點(diǎn) M ,則點(diǎn)M的軌跡方程為 ;題型二.橢圓的方程（一）由方程研究曲線22例1.方程乙 L 1的曲線是到定點(diǎn) 和 的距離之和等于 的16 25點(diǎn)的軌跡；（二）分情況求橢圓的方程例2.已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且

3、長軸是短軸的3倍，并且過點(diǎn)P（3,0）,求橢圓的方程；p（V6,i）、P2（瓜亞）,（三）用待定系數(shù)法求方程 例3.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)求橢圓的方程；例4.求經(jīng)過點(diǎn)(2, 3)且與橢圓9x2 4y2 36有共同焦點(diǎn)的橢圓方程;2222xyx y2汪：一般地，與橢圓二1共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)其方程為-4一1(k b2)；a ba k b k(四)定義法求軌跡方程；例5.在 ABC中，A,B,C所對的三邊分別為 a,b,c,且B( 1,0),C(1,0),求滿足b a c且b,a,c成等差數(shù)列時(shí)頂點(diǎn) A的軌跡；(五)相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程；2例6.已知x軸上一定點(diǎn) A(1,0)

4、, Q為橢圓 y2 1上任一點(diǎn)，求 AQ的中點(diǎn)M的軌跡4方程；(六)直接法求軌跡方程；22例7.設(shè)動(dòng)直線l垂直于x軸，且與橢圓x 2y 4交于A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上滿足PAgPB 1的點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程；(七)列方程組求方程例8.中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為 F (0, J50)的橢圓被直線y 3x 2截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，1， ，、為1 ,求此橢圓的方程；2題型三.焦點(diǎn)三角形問題x2 y25例1.已知橢圓 y- 1上一點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-，橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F2、F1 ,16 253求 PF1、PF2 及 cos F1PF2；2x例1.已知P是橢圓-y a題型四.橢圓的幾何性質(zhì)yj小一，

5、5八一人小一，1上的點(diǎn)，的縱坐標(biāo)為 一，E、F2分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),b3橢圓的半焦距為c,則PF1gPF2的最大值與最小值之差為 22x y例2.橢圓二 一 1 (a b 0)的四個(gè)頂點(diǎn)為 A,B,C,D,若四邊形 ABCD的內(nèi)切圓恰 a b好過焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為 ；例3.若橢圓y1的離心率為1,則k k 1422 X例4.若P為橢圓x2 a2y2- 1(a b 0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1、52為其兩個(gè)焦點(diǎn)，且 PF1F2150,bPF2F175,則橢圓的離心率為題型五.求范圍22例1.方程與 一。 1表示準(zhǔn)線平行于X軸的橢圓，求實(shí)數(shù) m的取值范圍；m (m 1)題型六.橢圓的第二定義的應(yīng)用例1.

6、方程2而 1)2 (y 1)2x y 2所表示的曲線是 1 ,例2.求經(jīng)過點(diǎn)M (1,2),以y軸為準(zhǔn)線，離心率為 一的橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡萬程；2x2 y2_5例3.橢圓 1上有一點(diǎn)P ,它到左準(zhǔn)線的距離等于一，那么P到右焦點(diǎn)的距離為259222例4.已知橢圓 土21,能否在此橢圓位于y軸左側(cè)的部分上找到一點(diǎn)M ,使它到43左準(zhǔn)線的距離為它到兩焦點(diǎn)F1,F2距離的等比中項(xiàng)，若能找到，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能找到，請說明理由。 22例5.已知橢圓 匕 1內(nèi)有一點(diǎn)A(1,1), F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P是 95,.3橢圓上一點(diǎn).求 PA - PF2的最小值及對應(yīng)的點(diǎn) P的坐標(biāo).2題型

7、七.求離心率x2 y2 _* 例1.橢圓下、 1 (a b 0)的左焦點(diǎn)為F,( c,0) , A( a,0) , B(0,b)是兩個(gè)頂點(diǎn)，a b如果F1到直線AB的距離為b 言，則橢圓的離心率22例2.若P為橢圓xy 4 1(a b 0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，且PF1F2a bPF2F1 2 ,則橢圓的離心率為 例3. 、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，PF1 PQ,且PF1 PQ ,則橢圓的離心率為 題型八.橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用例2.方程x2 sin21上的點(diǎn)P到直線32y cos1( 0x 2y 7 0的距離最大時(shí)，點(diǎn) P的坐標(biāo))表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求

8、的取值范圍;題型九.直線與橢圓的關(guān)系(1)直線與橢圓的位置關(guān)系例1.當(dāng)m為何值時(shí)，直線l :y x m與橢圓9x2 16y2 144相切、相交、相離?例 2.曲線 2x2 y2 2a2 ( a0)與連結(jié)A( 1,1), B(2,3)的線段沒有公共點(diǎn)，求 a的取值范圍。例3.過點(diǎn)P(於,0)作直線l與橢圓3x2 4y2 12相交于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求OAB面積的最大值及此時(shí)直線傾斜角的正切值。分析：若直接用點(diǎn)斜式設(shè)l的方程為y 0 k(x J3),則要求l的斜率一定要存在， 但在這里l的斜率有可能不存在， 因此要討論斜率不存在的情形，為了避免討論，我們可以設(shè)直線l的方程為x my 忑3

9、 ,這樣就包含了斜率不存在時(shí)的情形了，從而簡化了運(yùn)算。解:設(shè) A(x, y) B(x2, y2) , l ： x mymy 3代入橢圓方程得：3(m2y22. 3my3)4y212 0,即(3m24)y26 V3my 3 0 , y1y26.3m3m2 4，yy233m2 43_3m2 1,6。2令直線的傾角為OAB面積的最大值為 J3,此時(shí)直線傾斜角的正切值為4.求直線xcos y sin 2和橢圓x2 3y2 6有公共點(diǎn)時(shí)， 的取值范圍(0(二)弦長問題例1.已知橢圓x2 2y2 12 , A是x軸正方向上的一定點(diǎn)，若過點(diǎn) A,斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為13,求點(diǎn)A的坐標(biāo)。 3分析：

10、若直線ykx b與圓錐曲線f(x, y) 0 相交于兩點(diǎn) P(xi,y1)、Q(X2,y2),則弦PQ的長度的計(jì)算公式為| PQ |1k2 | x1x2 | . 1而 |x x2 | %；01 x2)2 4x1x2 ,因此只要把直線y kx b的方程代入圓錐曲線f(x, y) 0方程，消去y (或x),結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求出弦長。解：設(shè)A(x0,0) ( % 0),則直線l的方程為y x x0，設(shè)直線l與橢圓相交于 P(x1,y1)、0,y x x0一 口22Q(x2,y2),由22 ，可得 3x 4x0x 2x0 122x。2 123x2 2y2 124xO x1 x2 , x1 x24 .1433出一7 |x1 x2 | ,即14 0), / AOP的平分線交PA