解三角形常見的題目型

1、實用標準文案解三角形常見題型正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形類型的重要工具，其主要作用是將已知條件中的邊、角 關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系。題型之一：求解斜三角形中的基本元素指己知兩邊一角（或二角一邊或三邊），求其它三個元素問題，進而求出三角形的三線（高線、角平分線、 中線）及周長等基本問題.1.在A43C中，AB=3, AC=2, BC=V10 ,則而X?=（）3223A. 一一 B. 一一 C. -D.-【答案】D23322 . （1）在&WC中，已知A=32.0，3=81.8，67=42.9cm,解三角形；（2）在A4BC中，已知o=20cm, 0=28cm, A=40 ,解三

2、角形（角度精確到1 ,邊長精確到lcm13 .（1）在AABC 中，已知a=2j5, c=V6+V2 , 3=60,求 b 及 A：（2）在 AABC 中，已知。=134&加，=87.8c?，c=6.7cm ,解三角形4（2005年全國高考江蘇卷）AA8C中，A = -f BC=3,則MBC的周長為（）3A. 4V3sin B + +3 B. 4csin| 8 + 2 +33 JI 6 ；C. 6sin B + +3I 3jD. 6sin B + + 36分析：由正弦定理，求出及c,或整體求出b+c,則周長為3+c而得到結(jié)果.選（D）.5 （2005年全國高考湖北卷）在 ABC中，已知A8 =

3、 +6,cos8 = WG, AC邊上的中線8。=后，求 36sinA的值.分析：本題關(guān)鍵是利用余弦定理，求出AC及8C,再由正弦定理，即得sinA.解：設E為8c的中點，連接則。E/4B,且QE = _La8 = UB,設BE=x.23在A 8DE中利用余弦定理可得：BD2 = BE2 + ED2 -2BE EDcgsBED ,5 = x2 + - + 2x-x x,解得x=l, x =（舍去）.3363707 /91An故 BC=2, AC2 = AB1 + BC2 -2AB- BCcosB = E邛 AC =八.又 sin B = *，3362幅助 2丁. & V70故= sin A =

4、sin A V3014在AABC 中，已知 a=2, b=2及，C=15 ,求 A。答案：.BA,且0vAvl80, /.A = 30題型之二：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀.1 .（2005年北京春季高考題）在A45C中，已知2sinAcos8 = sinC,那么A48C一定是（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形解法 1：由 2sin AcosB = sin C = sin（A+B）=siiiAcosB+cosAsinB,即 sinAcosB-cosAsin3=0,得 sin（A8）=0,得 A=3.故選（B）.解法2：由題意，得

5、cos8=M1 = ,再由余弦定理，得cos，+一.2 sin A 2alac/.+ C-=, 即 = 得 4 = /?, 故選（B）.2ac 2a評注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷（如解法1）,統(tǒng)一化為邊，再判 斷（如解法2）.2 .在A3C 中，若 2cos3sinA = sinC,則ABC 的形狀一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等邊三角形答案：c 解析:2sinAcosB=sin （A+8） +sin （AB） XV2sinAcosB=sinC, /.sin （A8） =0, .9.A=B3 .在AABC中，若二=上上1,試判斷AA

6、BC的形狀. b tanB答案：故AABC為等腰三角形或直角三角形。4 .在aABC 中，acosA=bcosj3,判斷4ABC 的形狀。答案：4ABC為等腰三角形或直角三角形。 題型之三：解決與面積有關(guān)問題 主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來解題.1 .（2005年全國高考上海卷）在A48c中，若4 = 120, AB = 5, BC = 1,則AABC的而積S=.V2=(V2 + y/6) 42 .在 AA3C 中，sinA+cosA = , AC = 2, A3 = 3,求 tan A 的值和的面積 0 2答案：S sbc = 一 AC x AB sin A = x2x3x

7、3 . （07 浙江理 18）已知ZiABC的周長為 JJ + 1,且sinA + sin8 = JJsinC.（I）求邊A3的長：（II）若ABC的面積為1 sin C,求角C的度數(shù).6解：（I）由題意及正弦定理，得A8 + 8C + AC = JJ+1, BC + AC = 42AB,精彩文檔兩式相減，得AB = 1.(II)由ABC的而積，8C4CsinC = lsinC,得8C4C = ,由余弦定理，得cosC =AC2 + BC2 一 AB2 (AC + BC)2 一 2ACBC - AB22AC.BC2AC.BC所以C = 60.題型之四：三角形中求值問題1.（2005年全國高考天

8、津卷）在A48C中，NA、N8、NC所對的邊長分別為。、b、c設a、。滿足條件c 和上=+J5,求NA和tan8的值.b 2分析：本題給出一些條件式的求值問題，關(guān)鍵還是運用正、余弦定理.解：由余弦定理COS A =2bc因此，ZA = 60 2A BC中由已知條件，應用正弦定理1 += 2 bsin 120cosB -cosl200sin Bsin Bsin Bsin B1=hcot 8 + ,解得cot8 = 2,從而 tan B =.222AA8C的三個內(nèi)角為4、B、C,求當A為何值時，cos A+ 2 cos取得最大值，并求出這個最2解析：由 A+B+C= n ,得所以有 cos=sin

9、ya 乙 乙乙乙乙cosA+2cos:B+CAA A A 13=cosA+2siny =1 _ 2sin2y + 2sin-p=-2(siny - )2+ZB丸 1當 sin-y =；，叩A=-?-吐cosA+2cos取得最大值為米J乙乙在銳角ABC中，角A B, C所對的邊分別為a, h c ,已知sin 4 = , （ 1 ）求3-/B3 + Ctan-A-+ sii?彳的值：（2）若。=2, S3ABe =叵，求的值。2J21解析：（1）因為銳角4ABC中，A+B+C=tt, sin A = -所以cosA=-，則、B+C larr)B+C.2 A Sin+s,n 7=Btc cos-2

10、 . ,A l-cos(B+C)八 1+cosA 1 7+ si!T= I -(1-cosA) =+ =一2 1+cos (B+C) 21 cos A 3 3實用標準文案則 bc = 3o(2)因為S又S ARr=-bcsin A = -bc,a Adv a Adv 2233將 a=2, cosA=-, c=二代入余弦定理：&2=3+12bccos A 中， 3b得 b4-6b2+9=0 解得 b= 。點評：知道三角形邊外的元素如中線長、而積、周長等時，靈活逆用公式求得結(jié)果即可。714 .在A3C中，內(nèi)角A B, C對邊的邊長分別是a, b, c,已知c = 2, C =-.3(I)若ABC的

11、面積等于JJ,求“ b：(II)若sinC + sin(8-A) = 2sin2A ,求ABC的面積.本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)公式等基礎知識，考查綜合應用三角函數(shù)有關(guān)知識的能力.滿 分12分.解：(I)由余弦定理及已知條件得，a2+b2-ab = 4,又因為ZkABC的面積等于JJ，所以必sinC =得C必=4. 4分2 2 2 a聯(lián)立方程組+ -= 解得。=2, b = 2. 6分ah = 4,(II )由題意得sin(8 +A) + sin(8- A) = 4sin4cos A ,HP sin Bcos A = 2sin Acos A , 8 分. 4cL 71 n n4/

12、 . 2y/3當 cos 4 = 0 時，A = , B = . a =, b =,2633當cosAwO時，得sin8 = 2sinA,由正弦定理得 = 2a,聯(lián)立方程組產(chǎn)+一 = 4,解得=空，b =b = 2(b33所以ABC的面積 S = Labsin C = 12分23題型之五：正余弦定理解三角形的實際應用利用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解 三角形的知識，例析如下：圖1(-.)測量問題1.如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點, 望對岸標記物 C,測得NCAB=30。，NCBA=75。，AB=120cm, 求河的寬度。

13、分析：求河的寬度，就是求AABC在AB邊上的高，而 在河的一邊，已測出AB長、NCAB、ZCBA,這個三角形 可確定。解析:由正弦定理得ACsin /CBAABsin ZACBAAC=AB=120m,又,: S 4.r =-AB- AC sin AC AB = -ABCD,解得 CD=60m。 s 22點評：雖然此題計算簡單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題工（二.）遇險問題2某艦艇測得燈塔在它的東15。北的方向，此艦艇以30海里/小時的速度向正東前進，30分鐘后又測得燈 塔在它的東30。北。若此燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險?（1）準確理解題意，分清已知與所

14、求，尤其解析：如圖艦艇在A點處觀測到燈塔S在東15。北的 方向上；艦艇航行半小時后到達B點，測得S在東30。北 的方向上。在AABC中，可知AB=3OxO.5=15, ZABS=150, ZASB=15,由正弦定理得 BS=AB=15,過 點S作SCJ_直線AB,垂足為C,則SC=15Cn300=Z5這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周圍10 海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險。點評：有關(guān)斜三角形的實際問題，其解題的一般步驟是： 要理解應用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語：（2）畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出：（3）分析與所研究問 題有關(guān)的一個或幾個三角形，通過合理運用正弦定理和余弦定理求

15、解 （三,）追擊問題圖33 如圖3,甲船在A處，乙船在A處的南偏東45。方向，距A有9n mile并以20n mile/li的速度沿南 偏西15。方向航行，若甲船以28n mile/li的速度航 行，應沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？ 解析：設用th,甲船能追上乙船，且在C處相遇。在ZABC 中，AC=28t, BC=20t, AB=9,設 NABC=a, ZBAC=po.a=180c-45-15o=120c 根據(jù)余弦定理AC2 = AB2 + BC2 - 2AB - BCcos a ， (28r)2 =81 + (20/)2-2x9x20rx(-1), 128r2-60/-27 = 0,

16、 (4t39-3) (32t+9) =0,解得 t=二，t=一(舍) 43233:.AC=28x =21 n mile, BC=20x = 15 n mile。4415x LBsin a 。入J3根據(jù)正弦定理，得sin/7 = =- = - 1 XVa=120,為銳角，p=arcsmAC 21145 小 v5/314147tV 一,4573/. arcsin14甲船沿南偏東三一arcsint叵的方向用上h可以追上乙船。 4144點評：航海問題常涉及到解三角形的知識，本題中的NABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行 精彩文檔的距離，由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時間I有關(guān)。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關(guān) 于t的一元二次方程，解出t的值。4