56平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（2）

1、5.6 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（2）成都七中 授課人：曹楊可課件制作：曹楊可一、知識(shí)復(fù)習(xí)一、知識(shí)復(fù)習(xí):1、數(shù)量積的定義：、數(shù)量積的定義：cos|baba其中：其中：, 0a0b特別地：特別地：00a是向量是向量a和和b的夾角，范圍是：的夾角，范圍是：0180注意： 平面向量的數(shù)量積與和向量、差向量本質(zhì)區(qū)別是什么？平面向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而和向量、差向量分別是一個(gè)向量。2、數(shù)量積的物理意義：、數(shù)量積的物理意義：sFsFWcos|數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積的幾何意義：abBAObaa|abacos|b等于等于的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度與與在在的方向上的投影的方向上的投影的乘積。的乘積

2、。sFcos|baba即即cos|bB13、數(shù)量積的主要性質(zhì)：、數(shù)量積的主要性質(zhì)： ba(2)(2)ab|,|baba|baba(3)(3)與與 同向同向ab與與反向反向22|aaaa2|aa 特別地特別地：即即，|cosbaba(4)(4)ba|ba|ba|ba|ba(5)(5)，即，即則，的夾角與是，的單位向量方向相同是與，都是非零向量，設(shè)eabebaae(1)(1)eacos|a0baabba)()()(bababacbcacba )(交換律：交換律：數(shù)乘的結(jié)合律：數(shù)乘的結(jié)合律：分配律：分配律：則，和實(shí)數(shù)、已知向量cba二、數(shù)量積的運(yùn)算律：二、數(shù)量積的運(yùn)算律：)()()(bababa數(shù)乘

3、的結(jié)合律：數(shù)乘的結(jié)合律：證明：.的夾角為與設(shè)ba，時(shí)）當(dāng)（01等式顯然成立等式顯然成立 .，時(shí)）當(dāng)（02的夾角都為與，與babacos|)(babacos|ba)(bacos|)(babacos|ba)(ba. )()()(bababa.，時(shí)）當(dāng)（03的夾角都為與，與baba.180)180cos(|)(babacos|ba)180cos(|)(babacos|ba. )()()(bababacos|ba)(bacos|ba)(ba綜上所述：綜上所述：)()()(bababacbcacba )(分配律：分配律：.OCAA1Bab12證明：.cOCbABaOAO，作，任取一點(diǎn)，如圖方向上的投影等

4、于在即cOBba)(即，方向上的投影的和在、cbacos|ba21cos|cos|ba21cos|cos|cos|bcacbacbcacbac)(.)(cbcacbaB1c想一想：想一想： 向量數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律向量數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律 .向量的數(shù)量積滿(mǎn)足結(jié)合律嗎？說(shuō)明：說(shuō)明：，共線(xiàn)的向量表示一個(gè)與ccba )(，共線(xiàn)的向量表示一個(gè)與而acba)( ，不一定共線(xiàn)與而ac)()(cbacba)()(cbacba即：即：成立嗎？成立嗎？1例求證：；2222)() 1 (bbaaba.)()()2(22bababa證明：)()()() 1 (2babababbabbaaa；222bbaa)()()2(

5、bababbabbaaa.22ba 2例，的夾角為與，已知604|6|baba. )3()2(baba求解：. )3()2(bababbbaaa622|6|bbaa22|6cos|bbaa224660cos466.723例當(dāng)且僅當(dāng)，不共線(xiàn)與且，已知)(4|3|baba？互相垂直與向量，為何值時(shí)bkabkak解：互相垂直與bkabka0)()(bkabka0222bka即，9322a16422b01692k43 k，時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng)43k.互相垂直與bkabka已已 知知 是非零向量，且是非零向量，且 與與 ba、ba3垂直，垂直，ba57ba4與與 垂直，垂直，ba27求求 的夾角。的夾角。ba與

6、）b5（7）b3由(aa0573）（）得：（baba）b2（7）b4由(aa又0274）（）得：（baba030801615722baba7baba22即：babacos60,夾角baba 2b2化簡(jiǎn)得：ba212122bb180,0又例例4 4：代入得代入得解：解：練習(xí)：練習(xí)：1、有四個(gè)式子：有四個(gè)式子：，其中正確的個(gè)數(shù)為（，其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）A A、4 4個(gè)個(gè)B B、3 3個(gè)個(gè)C C、2 2個(gè)個(gè)D D、1 1個(gè)個(gè)2、已知、都是單位向量，下列結(jié)論正確的是（已知、都是單位向量，下列結(jié)論正確的是（ ）A A、B B、C C、 D D、3、有下列四個(gè)關(guān)系式：有下列四個(gè)關(guān)系式：，其中正確的個(gè)數(shù)是

7、（），其中正確的個(gè)數(shù)是（）A A、1 1B B、2 2C C、3 3D D、4 400a00 a|babaab1ba22ba abab0ba000)()(cbacbaabba00 acbcabaDBA 4、已知，且與的夾角為，問(wèn)當(dāng)且僅當(dāng)已知，且與的夾角為，問(wèn)當(dāng)且僅當(dāng)為何值時(shí)，使？為何值時(shí)，使？5|a4|bab60k)2()(babak解：解：)2()(babak0)2()(babak即即02) 12(22bbakak故故04260cos45) 12(522kk1514k所以：所以：1514k時(shí)，時(shí)，)2()(babak當(dāng)當(dāng) 5、如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCD中，已知，中，已知，

8、， ， 求：求：（1） ；（；（2） ； （3）4|AB3|AD60DABBCADCDABDAABBACD解：解：因?yàn)橐驗(yàn)锳DBC且方向相同，且方向相同，所以所以AD與與BC夾角是夾角是0所以所以91330cos|BCADBCAD因?yàn)橐驗(yàn)锳BCD且方向相反，且方向相反，所以所以AB與與CD的夾角是的夾角是180所以所以16) 1(44180cos|CDABCDAB所以所以ABDA與與的夾角為的夾角為12060因?yàn)橐驗(yàn)锳B與與AD的夾角是的夾角是，所以所以6)21(34120cos|DAABDAAB（1）（2）（3）作業(yè)：作業(yè)： P121習(xí)題習(xí)題 5.6 1 8 .練習(xí)：練習(xí)：P121.606|8|. 2qpqpqp，求的夾角為與，已知解：cos|qpqp60cos68.24.2549|12|. 3的夾角與，求，設(shè)bababa解：|