點(diǎn)到直線的距離教(學(xué))案

1、點(diǎn)到直線的距離人教版高二第二冊(cè)(上)第七章第三節(jié)第4課時(shí)y山西省陽泉市蔭營中學(xué)王萍教學(xué)目標(biāo):(1)讓學(xué)生理解點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)，掌握點(diǎn)到直線距離公式及其應(yīng)用，會(huì)用點(diǎn)到直線距離求兩平行線間的距離；(2)培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、分析、歸納等數(shù)學(xué)能力，數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化(或化歸)、學(xué)思想、特殊與一般的方法以及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與能力；(3)引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)看問題，了解和感受探索問題的方式方法，在探索 問題的過程中獲得成功的體驗(yàn).教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)到直線距離公式及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)方法.教學(xué)方法：問題解決法、討論法.教學(xué)工具：計(jì)算機(jī)多媒體、實(shí)物投影儀.教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情景提出問題

2、多媒體顯示實(shí)際的例子：某電信局計(jì)劃年底解決本地區(qū)最后一個(gè)小 區(qū)P的電話通信問題.離它最近的只有一條線 路通過，要完成這項(xiàng)任務(wù)，至少需要多長的電經(jīng)過測(cè)量，若按照部門內(nèi)部設(shè)計(jì)好的坐標(biāo)圖(即以電信局為原點(diǎn))，得知這個(gè)小區(qū)的坐標(biāo)為P ( 1,5),離它最近線路其方程為2x+y+10=0 .這個(gè)實(shí)際問題要解決，要轉(zhuǎn)化成什么樣的數(shù)學(xué)問題？學(xué)生得出就是求點(diǎn)到直線的距離. 教師提出這堂課我們就來學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線的 距離，并板書寫課題：點(diǎn)到直線的距離.、自主探索推導(dǎo)公式多媒體顯示：已知點(diǎn)P(x0, y0),直線l: Ax+By+C=0 ,求點(diǎn)P到直線l的距離.怎樣求點(diǎn)到直線距離呢？學(xué)生思考，做垂線找垂足 Q,求線段

3、PQ的長度.怎樣用點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程求和表示點(diǎn)到直線距離呢?教師提示在解決問題時(shí)先可以考慮特殊情況，再考慮一般情況.學(xué)生提出平行于 x軸和y軸的特殊情況.學(xué)生解決.板書:當(dāng)A =0時(shí),1:By+C = 0, PQ =y。yQ=y +C y0BBy0 CAx。CA、，一 一一一C當(dāng) B =0時(shí)，l : Ax + C = 0, PQ = x0 xQ = x0 十一= 11A當(dāng)AB# 0時(shí),如何求PQ ?學(xué)生思考回答下列想法：思路一：過P作PQ _L l于Q點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直 線PQ方程，由PQ與l聯(lián)立方程組解得Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后 利用兩點(diǎn)距離公式求得.教師評(píng)價(jià)：此方法思路自然.教師繼續(xù)提出問題：求線

4、段長度可以構(gòu)造圖形嗎？（2）什么圖形？如何構(gòu)造？（3）第三個(gè)頂點(diǎn)在什么位置？（4）特殊情況與一般情況有聯(lián)系嗎？學(xué)生探討得到：構(gòu)造三角形，把線段放在直角三角形中.第三個(gè)頂點(diǎn)在什么位置？可能在直線l與x軸的交點(diǎn)M或與y軸交點(diǎn)N,或過P點(diǎn)做x,y軸的平行線與直線l的交點(diǎn)R、S.教師根據(jù)學(xué)生提出的方案，收集思路.思路二：在直角PQU,或直角4PQN中，求邊長與 角（角與直線到直線角有關(guān)），用余弦值.思路三：在直角4PaR,或直角4PQS中，求邊長與角（角與直線傾斜角有關(guān)，但分 情況），用余弦值.思路四：在直角HRS中，求線段PR、PS、RS,利用等面積法（不涉及角和分情 況），求得線段PQ長.學(xué)生分組

5、練習(xí)，教師巡視，根據(jù)學(xué)生情況演示探索過程.B（思路一）解：直線 PQ : y y。= （x x。）（x # x。），即 Bx Ay = Bx。 Ay。A2B Xo - ABy。-ACBx _ Ay = Bx0 一 Ay0，xQAx + By+C =。xQ -X。=22B x。-ABy。- AC - Ax。2- B x。-A Ax0 By0 CA2 B22_T2ABAxo By。 CByQ - y。= 丁 x - x。- -bA-x。yQ - y。2_2AB. A2 B2 Ax。 By。CAXo By。C（思路四）解：設(shè) P（x0,y。），Q（xQ,yQ 入A2B2R（XR, y0 ）,S（X。

6、, yS ）Axr By。 C=0 , xrs©。, L&FRP=Xo -xrAx。 By。 CPS=y。-ysAx。 By。 C由PQRS = PR PSPQ =PR PSRS而RS=Jrp+|ps,A2 B2Ax。By。C ,1 2A BPQAxo By。CAB, A2 B2Axo By。C.A2 B2說明：如果學(xué)生沒有想到思路二、三，教師提示做課后思考作業(yè)題目.教師提問：上式是由條件下 當(dāng)AB#0時(shí)得出，對(duì)當(dāng)A = 0,或B=0寸成立嗎?點(diǎn)P在直線l上成立嗎？公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是什么？用公式時(shí)直線方程是什么形式？由此推導(dǎo)出點(diǎn)P(x0, y0)到直線l: Ax+By+C=0距離

7、公式：AX0 By0 c.，d=J_,丫適用于任意點(diǎn)、任意直線.,A2 B2教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考，不構(gòu)造三角形可以求嗎？(在前面學(xué)習(xí)的向量知識(shí)中，有 向量的模.由于在證明兩直線垂直時(shí)已經(jīng)用到向量知識(shí)，且也提出過直線的惱向量的概 念.)能否用向量知識(shí)求解呢？思路五：已知直線i的法向量n,則pq = r, PQ- = I九I n ,如何選取法向量？直線的方向向量A、. . . 一 . B '.1,- 則法向量為1,B 或(A,B ),或其它.由師生< B)A AJ一起分析得出取n =(A,B ).教師板演：PQ = (xq - X0, yQ -y0 ),九n = OA) Xq -X0

8、 = A = Xq = X。 AAX0 By° CA 2-2A BVq-V0=?bTyQ=y0+'0B ,由于點(diǎn)q在直線上，所以滿足直線方程A(X0 +兒A) +B(yO +KB) +C =0,解得二人=二 PQ =九 nAxo By。 C| . 222. A BA2 B22Ax。 By。CA B2教師評(píng)析：向量是新教材內(nèi)容，是一種很好的數(shù)學(xué)工具，和解析幾何結(jié)合應(yīng)用是現(xiàn)在新 教材知識(shí)的交匯點(diǎn).而且上述方法在今后解析幾何與向量結(jié)合的題目中，用坐標(biāo)聯(lián)系轉(zhuǎn)化是常用方法.三、變式訓(xùn)練學(xué)會(huì)應(yīng)用練習(xí)：1 .解決課堂提出的實(shí)際問題.(學(xué)生口答)2 .求點(diǎn)Po(1,2)到下列直線的距離： 3

9、x=2 5y=3 2x + y=10 y= 4x+1練習(xí)選擇：平行坐標(biāo)軸的特殊直線，直線方程的非一般形式.練習(xí)目的：熟悉公式結(jié)構(gòu)，記憶并簡單應(yīng)用公式.教師強(qiáng)調(diào)：直線方程的一般形式.例題：3.求平行線2x-7y + 8=0和2x 7y 6=0的距離.教師提問：如何求兩平行線間的距離？距離如何轉(zhuǎn)化？學(xué)生回答：選其中一條直線上的點(diǎn)到另一條直線的距離.師生共同分析：點(diǎn)所在直線的任意性、點(diǎn)的任意性.幾何畫板演示點(diǎn)和直線變化，選取點(diǎn)和直線.學(xué)生自己練習(xí)，教師巡視.教師提問幾個(gè)學(xué)生回答自己選取的點(diǎn)和直線以及結(jié)果.然后選擇一種取任意點(diǎn)的方法進(jìn)行板書.解：在直線 2x 7y 6=0 上任取點(diǎn) P(xo, yo)

10、,則 2 xo 7 yo6=0,點(diǎn) P(xo, yo)到直線2x 7y + 8=0的距離是d =即- 7y0+8 .22(-7)26+8| _ 14/53.53 一 53教師評(píng)述：本例題選取課本例題，但解法較多.除了選擇直線上的點(diǎn)，還可以選取原點(diǎn),求它到兩條直線的距離，然后作和.或者選取直線外的點(diǎn)P,求它到兩條直線的距離,然后作差.弓I中思考：Ax+By+C1 =0與Ax + By+C2 =0兩平行線間距離公式.四、學(xué)生小結(jié)教師點(diǎn)評(píng)知識(shí)：點(diǎn)到直線的距離的公式推導(dǎo)以及應(yīng)用.、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般的方法. 數(shù)學(xué)思想方法：類比、轉(zhuǎn)化（或化歸）1y五、課外練習(xí)-5鞏固提高4 總結(jié)寫出點(diǎn)到直線距離公式的

11、多種方法.教學(xué)設(shè)計(jì)說明：一、教材分析我主要從三方面：教材的地位和作用、教學(xué)目標(biāo)分析、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)來說明的.教 學(xué)目標(biāo)包括：知識(shí)、能力、德育等方面的內(nèi)容.我確定教學(xué)目標(biāo)的依據(jù)有教學(xué)大綱、考 試大綱的要求、新教材的特點(diǎn)、所教學(xué)生的實(shí)際情況.二、教學(xué)方法和教學(xué)用具1、教學(xué)方法的選擇(1)指導(dǎo)思想：“以生為本”的理念，在課堂中充分體現(xiàn)“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體(2)教學(xué)方法：問題解決法、討論法.2、教學(xué)用具的選用采用了計(jì)算機(jī)多媒體和實(shí)物投影儀教具，不僅將數(shù)學(xué)問題形象、直觀顯示，便于學(xué) 生思考，而且迅速展示學(xué)生不同解題方案，部分純計(jì)算的解題過程，提高課堂效率.三、教學(xué)過程這節(jié)課在：創(chuàng)設(shè)情景 提出問題一一

12、自主探索 推導(dǎo)公式一一變式訓(xùn)練 學(xué)會(huì)應(yīng)用一 一學(xué)生小結(jié)教師點(diǎn)評(píng)一一課外練習(xí) 鞏固提高”五個(gè)環(huán)節(jié)中，始終以學(xué)生為本.教師主 導(dǎo)，學(xué)生自主探究，將問題解決.首先多媒體顯示實(shí)例，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣和求知欲望，從而引出數(shù)學(xué)問題.通 過一系列問題引導(dǎo)學(xué)生通過圖形觀察，進(jìn)而思考、分析、歸納總結(jié)選擇較好的方法具體 實(shí)施.學(xué)生分組練習(xí)，落實(shí)計(jì)算能力，培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)能力.關(guān)于思路五，在課本中沒有 出現(xiàn)這樣的證法，我在課堂上選取這樣的證法.主要是考慮到：向量是新教材內(nèi)容，是 一種很好的數(shù)學(xué)工具，和解析幾何結(jié)合應(yīng)用是現(xiàn)在新教材知識(shí)的交匯點(diǎn).而且上述方法 在今后解析幾何與向量結(jié)合的題目中，用坐標(biāo)聯(lián)系轉(zhuǎn)化是常用方法，這樣思路五的給出 不僅符合新教材的要求，也為今后的學(xué)習(xí)方法奠定了基礎(chǔ).我選擇練習(xí)目的：熟悉公式結(jié)構(gòu)，記憶并簡單應(yīng)用公式，主要通過學(xué)生口答完成.我強(qiáng)調(diào)注意在公式中直線方程的一般式.例題的選取來自課本，但是課本只有一種特殊點(diǎn)的 解法.我把本例題