湖南省五市十校2021屆高三上學(xué)期第二次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(含答案解析)

1、姓名 準(zhǔn)考證號(hào)（在此卷上答題無(wú)效）絕密啟用前湖南省五市十校2020年下學(xué)期高三年級(jí)第二次大聯(lián)考試題2020.12命題：寧鄉(xiāng)一中雷鋒學(xué)校東山學(xué)校本試卷共4頁(yè)。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1 .答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2 .回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改 動(dòng),用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)將答案寫在答題卡上，寫在本試卷 上無(wú)效。3 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求的。1 .

2、設(shè)復(fù)數(shù)之=彳+2貝外之| =A.OB. 1C.a/2D. 22 .已知 sin60,cos（£一入）0,則夕是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3 .設(shè)等差數(shù)列%的公差為原6“=2。，則2Vo”是“論”為遞減數(shù)列”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D,既不充分也不必要條件4 .陳鏡開（19352010）,新中國(guó)舉重運(yùn)動(dòng)員,1956年在上海舉行的“中蘇舉重友誼賽”中，他以133 公斤的成績(jī)，打破美國(guó)運(yùn)動(dòng)員C 溫奇保特的56公斤級(jí)挺舉世界紀(jì)錄，這是中國(guó)運(yùn)動(dòng)員創(chuàng)造的 第一個(gè)世界紀(jì)錄. 19561964年期間在上海、北京、莫斯科、萊比錫等國(guó)內(nèi)外的重大舉重

3、比賽 中，陳鏡開先后9次打破最輕量級(jí)和次輕量級(jí)挺舉世界紀(jì)錄.舉重比賽挺舉項(xiàng)目中，運(yùn)動(dòng)員對(duì)所 要重量有3次試舉次數(shù)，只要一次試舉成功即為完成本次所要重員的比賽才有資格進(jìn)入下輪 所要更大重量的比賽.結(jié)合平時(shí)訓(xùn)練數(shù)據(jù)，某運(yùn)動(dòng)員挺舉130公斤成功的概率為0. 6（每次試舉 之間互不影響），則在挺舉比賽中，他有資格進(jìn)入下輪比賽的概率是A. 0. 784B. 0. 84C. 0. 904D. 0. 9365 .已知直線/：/十?一 1 = 0,圓。：（1-1）2 +（了-2）2 = 8,則圓C上到直線/的距離為女的點(diǎn)共有 A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)6 .原油作為“工業(yè)血液”、“黑色黃金”，其

4、價(jià)格的波動(dòng)牽動(dòng)著整個(gè)化工產(chǎn)業(yè)甚至世界經(jīng)濟(jì).小李在某 段時(shí)間內(nèi)共加油兩次，這段時(shí)間燃油價(jià)格有升有降.現(xiàn)小李有兩種加油方案：第一種方案是每次 加油40升，第二種方案是每次加油200元,則下列說(shuō)法正確的是A.第一種方案更劃算B.第二種方案更劃算C.兩種方案一樣D.無(wú)法確定7 .如圖，在半徑為2的扇形AOB中，/八0B =苧，P是弧人B上的一 個(gè)三等分點(diǎn),M.N分別是線段0A ,08上的動(dòng)點(diǎn)則西？AN的最 大值為A.&B. 2C.4D.4V2A. 4B. 6C. 47rD.6兀8 .函數(shù)/（1）=占+ 23（5外在區(qū)間-29上的所有零點(diǎn)的和為 JLW【高三數(shù)學(xué)試題第5頁(yè)（共4頁(yè)）】二、多項(xiàng)選擇

5、題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要 求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得。分。9 .某校對(duì)120名考生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，分成50, 60）,160,70）,70,80）, 180,903 90,1001五組，得到如圖 所示頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法正確的是A. a=0. 008B.該校學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)落在60,70）內(nèi)的考生人數(shù)為24 C.該校學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)大于80D.估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)落在70.80）內(nèi)10 .已知實(shí)數(shù)7,3滿足log.U-log2（4”一（；）L則下列結(jié)論正確的是D. ln(y幻>

6、0A. >B. T3<yC. 2r <111 .已知函數(shù)/(i) = 2cosz(siru：cosK),則下列結(jié)論正確的是A.函數(shù)？ = "r）在區(qū)間（0.*）上為增函數(shù) oB.直線z=等是函數(shù)k/圖像的一條對(duì)稱軸OC.函數(shù)？=/（z）的圖像可由函數(shù)丁 = sin27的圖像向右平移著個(gè)單位得到 oD.函數(shù)3 =八H）的圖像關(guān)于點(diǎn)（專對(duì)稱 o12 .如圖,在長(zhǎng)方體AbCDAICd中，AD = DD1=1,A5=有,E、F、G分別是A8、6C、CQ 的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是A. B,C±D,EB. O】C平面GEFC.若點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)，且平面GEF,則

7、線段AP長(zhǎng)度的最小值為四D.若點(diǎn)Q在平面AGCD內(nèi)，且RQ_LB】C,則線段PQ長(zhǎng) 度的最小值為笈三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分。13 . 一個(gè)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積為.14 .（2，3）5的展開式中士的系數(shù)為jC15.已知R分別是雙曲線C：=1（>。">0）的左，右焦點(diǎn)，是雙曲線C的右支上一點(diǎn)。是PBFz的內(nèi)心，且Sgy2s。內(nèi)Sw/z = 1 ： 2，3,貝1J C的離心率為16 .“城泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)出其他聲音時(shí)9聲波傳入泉洞內(nèi)的儲(chǔ)水 池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形成涌泉.

8、聲音越大，涌起的泉水越高.已知聽 到的聲強(qiáng)機(jī)與標(biāo)準(zhǔn)聲調(diào)小。（如約為10一12,單位：w/m2）之比的常川對(duì)數(shù)稱作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí). 記作L（貝爾）,即L=lg也，取貝爾的10倍作為響度的常用單位,簡(jiǎn)稱為分貝.已知某處“喊 m O泉”的聲音響度3,（分貝）與噴出的泉水高度1（米）滿足關(guān)系式、=2z,現(xiàn)知A同學(xué)大喝一聲激 起的涌泉最高高度為50米,若A同學(xué)大喝一聲的聲強(qiáng)大約相當(dāng)于10個(gè)B同學(xué)同時(shí)大喝一聲 的聲強(qiáng)，則B同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為 米.四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17 . （10 分）在2a伍uZAosC；/+,2-=4S,這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)

9、充在下面問(wèn)題中，然后解 答補(bǔ)充完整的題目.在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。田小設(shè)ABC的面積為S,已知.求tanB的值;（2）若 S=10,a = 5,求的值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答.按第一個(gè)解答計(jì)分.18 .（12 分）已知等比數(shù)列4的各項(xiàng)均為正數(shù)，%=2/，對(duì)是4做與2a3的等差中項(xiàng).（1）求數(shù)列儲(chǔ)力的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)公=7_）求數(shù)列W的前項(xiàng)和T.（%+| 1 ） 1 ）19 . （12 分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L底面ABCD,底面ABCD是矩形，AP = AB-1,PD與底面 ABCD所成角的正切值為*F是PB的中點(diǎn)，E是線段BC上的動(dòng)點(diǎn).（2）若二而角P

10、-DE-A的余弦值為求BE的長(zhǎng).DC（1）證明：AF_L平面PBC；20 . （12 分）某公司有1400名員工.其中男員工900名，用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取28名員工進(jìn)行5G手 機(jī)購(gòu)買意向調(diào)查，將計(jì)劃在今年購(gòu)買5G手機(jī)的員工稱為“追光族”，計(jì)劃在明年及明年以后購(gòu) 買5G手機(jī)的員工稱為"觀望者''，調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)抽取的這28名員工中屬于“追光族''的女員工 有2人，男員工有10人.（1）完成下面2X2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為該公司員工屬于“追光族”與“性別” 有關(guān)；屬于“追光族”屬于“觀望者”合計(jì)女員工男員工合計(jì)28（2）在抽取的屬于“追光族

11、八的員工中任選4人，記選出的4人中男員工有X人，女員工彳i y人, 求隨機(jī)變量s=xy的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：K* =7-）一/ /其中 71=u+c+乩十。）（c十十c）（。十4）（HA。）0- 150. 100. 050-0250.0100. 0050- 0012. 0722. 7063. 8415.0246. 6357. 87910. 82821 .（12 分）已知橢圓工1+m=1（心>6>0）的右焦點(diǎn)為F（叵0），順次連接橢圓E的四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為西的菱形.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn).A.b是橢圓E上兩點(diǎn)，且A6的中點(diǎn)在線段OM（不含端點(diǎn)0、 o JM）

12、上，求AOB面積S的取值范圍.22 .（12 分）已知函數(shù)八/）=（1皿-1）（分-D（a>0）,設(shè)曲線* = /（外在點(diǎn)（e J（e）處的切線方程為?=）（1）求g（M）的解析式；（2）證明：對(duì)定義域內(nèi)任意7,都有/（x）>g（x）；（3）當(dāng)a=l時(shí)，關(guān)于x的方程/（幻=加有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,c，證明：14一 W 1<?（ 1H） + e-Le-1高三數(shù)學(xué)參考答案選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)題號(hào)123456789101112答案CBCDCBCABDABCABABD6.B解析：設(shè)小李這兩次加油的油價(jià)分別為X元/升、J元/升，則方案一：兩次加油平均價(jià)格為40

13、"402也之歷:方案二：兩次加油平均價(jià)格為茄言而=為工向.802+x + yx y故無(wú)論油價(jià)如何起伏，方案二比方案一更劃算.7 .C解析：ZAOB = - 9尸是菰力8上的一個(gè)三等分點(diǎn)，故NPOB =工，ZPOA = 9424PM-PN = (pd + OM)(Pd + ON) = pd2 + POON + PO- OM + OM . ON= 4 + 0+2«|OM|cos+|OM|5y|cos = 4-|5A7|«(2+|O7V|)<4故當(dāng)|麗|二°時(shí)，麗麗取最大值4.8 .A 解析:令/(x) = 0 ,得_L = _2 cos(- x)，函數(shù)

14、f(x)的零點(diǎn)就是函數(shù)”_匚與函數(shù)y = 2 cos(-x) x-12x-12圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).又函數(shù)y = E的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，函數(shù)Ly = -2cos(衛(wèi)幻的周期為4,其圖象也關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，畫出兩函數(shù)圖象如圖： ° / 7V772FC共有4個(gè)交點(diǎn)，這4個(gè)點(diǎn)兩兩關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，故其橫坐標(biāo)的和為4.9 . BD 解析：對(duì)于力，由頻率分布直方圖性質(zhì)得：(。+ 0。2 + 0.035 + 0.025 + 卜10:1,解得 =0.01, 故4錯(cuò)誤；對(duì)于8,由頻率分布直方圖得成績(jī)落在60,70)的概率為0.2, 0.2x120 = 24,故5正確；對(duì)于C,由頻率分布直

15、方圖得：50,70)的頻率為(0.01 + 0.02)x10 = 0.3, 70,80)的頻率為0.035x10 = 0.35,成績(jī)的中位數(shù)位于70,80)內(nèi)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于o,估計(jì)成績(jī)的平均數(shù)為：x =55x0.01x10 + 65x0.02x10+75x0.035x10+85x0.025x10+95x0.01x10= 75.5 工成績(jī)的平均數(shù)落在70,80)內(nèi)，故。正確.故選：BD.10 . ABC 解析：由 logj x- log3 y < ()x - (y)v 變形得 log； x - ()x < log3 y - ()v，令函數(shù)/(x) = log3/ (l)3已知函數(shù)在

16、定義域上單調(diào)遞增，所以0<x<y,則A正確；b正 3x y確；x-y<0,所以2k>'<1, C正確；y-x>0, In(y-x)的符號(hào)無(wú)法判斷，D錯(cuò).故選：ABC.11 . AB 解析：/(x) = 2sinxcosx-2cos2x = sin2x-l-cos2x = >/sin(2x-f-1 ,對(duì)于 A選項(xiàng)，當(dāng) xw(0時(shí)，2乂一表(-%0),函數(shù)尸/(力為增困數(shù)，A正確：令2工-緊會(huì)如 hZ,得X = % 粵，keZ,當(dāng)左二0時(shí)，工二苧，所以直線工=學(xué)是函數(shù)N = /(x)圖象的一條對(duì)稱軸，B正 o 28o確；函數(shù)尸Sin2x的圖象向右平

17、移？個(gè)單位得到函數(shù)尸sin 21-")=sin(2x-?圖象，C錯(cuò)誤：函數(shù) 產(chǎn)聞關(guān)于住對(duì)稱，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：AB.12 .ABD 解析：連結(jié) AC, D# , BQ； 工 BC, B£ 上 4BaC 上面 4BCQ又； RE u 面ABCQ,:. 8C_LQE 故力選項(xiàng)是正確的；又； EF / / AC, 4DJ/GE, .面 面 GM ,又DCu面力D。/面GEF,8選項(xiàng)是正確的.若在平面4BC。內(nèi)，且Of 面GE產(chǎn)， 則尸的軌跡是直線4C,此時(shí)RP的最小值為烏尸-L4C時(shí)。在。/。中，AD=C，RC=2, AC = 2 , - D.P LAC:. D、p = AD、-

18、 sin ND、AC = 石=立:.C 選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.：8。，面 42ABCR，且A。_L BC ,.點(diǎn)0的軌跡是直線ABDQ的最小值是。_L 48時(shí)，即。與/重合，此時(shí)，D】A = C，：.。選擇項(xiàng)是正確的，故選：ABD.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.214.81015. 316. 4515.3解析：設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則ao2p : 6P:s必心=；|尸耳|IWIrf耳61尸=|尸居|：|P用：|哂|=1:2:3,12242故|%卜卓片瑪卜1M |=（|耳瑪|=&一又|PKHPg）=2a,即故e = 3 16.45解析：設(shè)8同學(xué)的聲強(qiáng)為小，噴出泉水高度為X,則

19、4同學(xué)的聲強(qiáng)為10機(jī)，噴出泉水高度為 50, 101g= 2x=>lg/n-lg/n0 = 0.2x, 101g = 2x50 = l + lgm-lg/o =10 ,加。相減得1 = 10-0.2% = 0.2% = 9 = x = 45.故答案為45.四、解答題（本大題共6小題，共70分）17 .解析：(1)選擇條件.2q-JL = 26cosC， 2sin4-JIsinC = 2sin5cosc5分2sin8cosC+2cos8sinC-&sinC= 2sin8cosc，得cos® =弓，tan5 = 1選擇條件由題意得2ccos4 = 2acsin5 ,得由8

20、= 嗎 cos 8(2)由 tan3 = 1 得sin8 =5 = 10 > a = 5 ,1 S = acsin 5 = x 5cx4 = 10,解得 c = 4&. 2510分6 = /a2 + c2 - 2ac cos B = J25 + 32-2x 5x 4/2x= >/718 .解析:(1)設(shè)等比數(shù)列公比為q ,依題有。 >0應(yīng)>0, 2aA = 4a2 + 2a3>即= 2/q + %q2,即 q2 _q _ 2 = G , ：. q = 2,q = 7 (舍)又。3 = 2a； , HR a1x 4 = 2x q；,=2 .an = T6 分

21、(2) b =2=1w-(2M,-l)(2rt-l)-2A,-r2-lt = a+4+“=zfn 1 2 rt 2-1 2-112分19.解析：(1) Q44，平面,48C0, 8Cu平面為8c。，BC,L PA又BC上AB,ABI AP=A,46,力尸u平面48,8C JL平面?48 ,又力尸u平面P.4B ,AF ± BC.又24 = 48 = 1,b是PB的中點(diǎn)，:AFXPB,又 QPBcBC=B,PB,BCu 平面PBC ,工 AFlPBC5 分(2)以HO,48,4P分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.與底面48c。所成角的正切值為AP = , ：.AD =

22、 3,則 P(0,0,l), 5(0,1,0),。(3,0,0).設(shè) 8E = x(0 W x S 3),則 E(x,l,0) ,7 分f Tu、>>>. pn =0。設(shè)平面PDE的法向量為m = (xo，yo，z0)，由_，得：加= (1,3-占3),niPE = 09分而平面的一個(gè)法向量為乃二 (0,0,1),依題意得:nvAP 3V14T T 14mAP即13.=必1,得k = i或x = 5 (舍),故8E = 1.J10+(3-x)21412分20.解析：(1)由題意得，2x2列聯(lián)表如下:屬于“追光族”屬于“觀望者”合計(jì)女員工2810男員工10818合計(jì)121628

23、2分K? = 2女（2,8/叫=誓2 3,32 < 3.841 ,故沒(méi)有95%的把握認(rèn)為該公司員工屬于“追光族”與 12x 16x 10x18135“性別”有關(guān)；5分（2）由（1）知在樣本里屬于“追光族”的員工有12人.其中男員工10人，女員工2人.C4co 210 14所以4可能的取值有0,2,4.P（g = 4） = P（X = 4且丫 = 0）=借之=赤=公；產(chǎn)6=2）=尸（X = 3且丫 = 1）=照=袈=*產(chǎn)6=0）=尸（丫=2且丫 = 2）=等=蕓二9分所以4的分布列為:所以4的期望EC） = 0x024pn1633143383L+2x%4xW =11333312分21 .解

24、析：（1）依題意：02+/=6"2一/=2 = 4X2 勘2 一 ，橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為二十匕=1： =242（2）設(shè) Z（x，m）,B（X2，%），則 48 的中點(diǎn)玉+W必+%在線段OM上，且向河=2,則乂+8=2（玉+），又正+正=1 42芝+瓦=142,兩式相減得：:口關(guān)七心2）+仇+二22.） = 06易知：再 + *2 H °，乂 + >2 H °，=-，玉一/ 4設(shè)直線4?的方程為y = _Lx+m 聯(lián)立十廣=i得：9x2-8/nx+16w2-32 = 0. 4428m二為+與=歹，>萩2 =16m2-32，由 = 64w2 -4x 9x(1

25、6m2 -32)> 0 => 川 < 3再十 / 4m /八2、 小3、 八 3 = (0,-)=>wg (0,-) /. 0<m<-.AS =，1 + 也(* + )2 - g = 二"do_A8 = %'I ° 分 :.SMOB = 11J J = - V72-32W2 = i 718zn2-8m4.12分又m e (0, |) /. S%ob 6(0，& ,22、解析：(1) V/'(x) = alnx- A/'(e) = a-, xe又 /(e) = o， g a) = (a)a-e).3 分e令戶(x) = /(x) - g(x) = /(x)