連續(xù)系統(tǒng)的s域分析-文檔資料

1、第五章第五章 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的s s域分析域分析 頻域分析頻域分析以以虛指數(shù)信號虛指數(shù)信號ejt為基本信號，任意信號可為基本信號，任意信號可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應的求解分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應的求解得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：（1）有些重要信號不存在傅里葉變換，如）有些重要信號不存在傅里葉變換，如e2t(t);（2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。 在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復頻在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復頻域來解決這些問題。域來解

2、決這些問題。 本章引入本章引入復頻率復頻率 s = +j,以復指數(shù)函數(shù)以復指數(shù)函數(shù)est為基本信為基本信號，任意信號可分解為不同復頻率的復指數(shù)分量之和。號，任意信號可分解為不同復頻率的復指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是復頻率復頻率 s ，故稱為，故稱為s域分域分析析。所采用的數(shù)學工具為拉普拉斯變換。所采用的數(shù)學工具為拉普拉斯變換。5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 從傅里葉變換到拉普拉斯變換從傅里葉變換到拉普拉斯變換 收斂域收斂域 ( (單邊單邊) )拉普拉斯變換拉普拉斯變換 常見函數(shù)的拉普拉斯變換常見函數(shù)的拉普拉斯變換 單邊拉氏變換與傅里葉變換的關系單邊拉

3、氏變換與傅里葉變換的關系一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子為此，可用一衰減因子e- t( 為實常數(shù)）乘信號為實常數(shù)）乘信號f(t) ，適，適當選取當選取 的值，使乘積信號的值，使乘積信號f(t) e- t當當t時信號幅度趨時信號幅度趨近于近于0 ，從而使，從而使f(t) e- t的傅里葉變換存在。的傅里葉變換存在。 相應的傅里葉逆變換相應的傅里葉逆變換 為為f(t) e- t= de)(21tjbjFF Fb b( ( +j+j )=)= f(t) e-

4、 t= ttfttftjtjtde)(dee)()(de)(21)()(tjbjFtf令令s = + j ,d =ds/j，有，有定義tetfsFstbd)()(jjde)(j21)(ssFtfstb雙邊拉普拉斯變換對Fb(s)稱為稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)象函數(shù)），），f(t)稱為稱為Fb(s) 的雙邊拉氏逆變換（或的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)原函數(shù)）。）。 二、收斂域二、收斂域 只有選擇適當?shù)闹挥羞x擇適當?shù)?值才能使積分收斂，信號值才能使積分收斂，信號f(t)的雙邊的雙邊拉普拉斯變換存在。拉普拉斯變換存在。 使使 f(t)拉氏變換存在拉氏變換存在 的取值范圍稱為的

5、取值范圍稱為Fb(s)的收斂域的收斂域。 下面舉例說明下面舉例說明Fb(s)收斂域的問題。收斂域的問題。例例1 因果信號因果信號f1(t)= e t (t) ，求拉氏變換。，求拉氏變換。解解 eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(01ttttssttbsstsF，無界，不定Re,1ss可見，對于因果信號，僅當可見，對于因果信號，僅當Res= 時，其拉氏變換存時，其拉氏變換存在。在。 收斂域如圖所示。收斂域如圖所示。j0收斂域收斂域收斂邊界收斂邊界例例2 反因果信號反因果信號f2(t)= e t (-t) ，求拉，求拉氏氏變換。變換。解解 eelim1 )(1)(edee)(j)(0)

6、(02ttttssttbsstsF，不定無界)(1.Re,ss可見，對于反因果信號，僅當可見，對于反因果信號，僅當Res= 時，其收斂域時，其收斂域為為 Res 22131)()(22sssFtfRes= 32131)()(33sssFtf 3 2可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同?？梢?，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必雙邊拉氏變換必須標出收斂域。須標出收斂域。通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設其初始時刻為通常遇到的信號都有初始時刻，不妨設其初始時刻為坐標原點。這樣，坐標原點。這樣，t ，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。 三、單邊拉氏變換三、單

7、邊拉氏變換0defde)()(ttfsFst)(de)(j21)(jjdeftssFtfst簡記為簡記為F(s)= f(t) f(t)=-1F(s) 或或 f(t) F(s)四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換1、 (t) 1， -2、 (t)或或1 1/s ， 03、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)e-s0t 01ss -Res0cos 0t = (ej 0t+ e e-j-j 0t )/2 202sssin 0t = (ej 0t e e-j-j 0t )/2j 2020s5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì) 線性性質(zhì)線性性質(zhì) 尺度變換尺度變換 時移特性時移特性 復頻移特性復頻移特性

8、 時域微分時域微分 時域積分時域積分 卷積定理卷積定理 s s域微分域微分 s s域積分域積分 初值定理初值定理 終值定理終值定理一、線性性質(zhì)一、線性性質(zhì)若若f1(t)F1(s) Res 1 , f2(t)F2(s) Res 2則則 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1, 2) 例例1 1f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 二、尺度變換二、尺度變換若若f(t) F(s) , Res 0，且有實數(shù)，且有實數(shù)a0 ，則則f(at) )(1asFa 0de)()(tatfatfLst，則，則令令at 0de)()(afatfLas 0de

9、)(1faas asFa1證明：證明：)(1asFa三、時移特性三、時移特性若若f(t) F(s) , Res 0, 且有實常數(shù)且有實常數(shù)t00 ,則則f(t-t0) (t-t0)e-st0F(s) , Res 0 與尺度變換相結合與尺度變換相結合f(at-t0) (at-t0)asFasat0e1例例1:求如圖信號的單邊拉氏變換。求如圖信號的單邊拉氏變換。011f1(t)t01-11tf2(t)解：解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1)F1(s)=)e1 (1ss例例2:已知已知f1(t) F1(s),求求f2(t) F2(s)解：解： f2(t) =

10、 f1(0.5t) f10.5(t-2)011f1(t)t0241tf2(t)-1f1(0.5t) 2F1(2s)f10.5(t-2) 2F1(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)四、復頻移（四、復頻移（s域平移）特性域平移）特性若若f(t) F(s) , Res 0 , 且有復常數(shù)且有復常數(shù)sa= a+j a,則則f(t)esat F(s-sa) , Res 0+ a 例例1:已知因果信號已知因果信號f(t)的象函數(shù)的象函數(shù)F(s)= 12ss求求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。的象函數(shù)。 解：解：e-tf(3t-2) )1(322e9) 1(1sss五、時域的微分特性（微

11、分定理）五、時域的微分特性（微分定理）若若f(t) F(s) , Res 0, 則則f(t) sF(s) f(0-) )0()0()( )0(0d)(d22 fsfsFsffsFsttfL 10)(1)0()(d)(dnrrrnnnfssFsttfL推廣：推廣：證明：證明： )(0 deede000ssFfttsftfttfststst六、時域積分特性（積分定理）六、時域積分特性（積分定理） ，則則若若)()(sFtfL sfssFfLt)0()(d)(1證明：證明： fffttddd0001f 00dedtfstt tsttstttfsfs000de1de tstttfs0de1sf01 s

12、sF )(1d)(0sFsxxfnnt例例1: t2 (t)? )(d)(0ttxxtttttxxxxx0220)(2d)(d)(322)(stt七、卷積定理七、卷積定理時域卷積定理時域卷積定理 若因果函數(shù)若因果函數(shù) f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2則則 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 復頻域（復頻域（s域）卷積定理域）卷積定理 jcjcsFFtftfd)()(j21)()(2121八、八、s域微分和積分域微分和積分若若f(t) F(s) , Res 0, 則則 ssFtftd)(d)()(nnnssFtftd)(d)()(例例1

13、：t2e-2t (t) ? e-2t (t) 1/(s+2) t2e-2t (t) 322)2(2)21(ddssssdFttf)()(例例2：?)(sinttt11)(sin2sttsstttss1arctanarctan2arctand11)(sin2九、初值定理和終值定理九、初值定理和終值定理初值定理和終值定理常用于由初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f(），），而不必求出原函數(shù)而不必求出原函數(shù)f(t)初值定理初值定理設函數(shù)設函數(shù)f(t)不含不含 (t)及其各階導數(shù)及其各階導數(shù)則則 )(lim)(lim)0(0ssFtffst終值定理終值定理 若若f(t)當當t

14、 時存在，并且時存在，并且 f(t) F(s) , Res 0, 00，則，則 )(lim)(0ssFfs舉例例例1：222)(2ssssF2222lim)(lim)0(22sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換直接利用定義式求反變換直接利用定義式求反變換-復變函數(shù)積分，比較困難。復變函數(shù)積分，比較困難。通常的方法通常的方法 :（1）查表）查表 （2）利用性質(zhì)）利用性質(zhì) （3） 部分分式展開部分分式展開 -結合結合 若象函數(shù)若象函數(shù)F(s)是是s的有理分式，可寫為的有理分式，可寫為 01110111.)(asasasbsbs

15、bsbsFnnnmmmm若若mn （假分式）（假分式）,可用多項式除法將象函數(shù)可用多項式除法將象函數(shù)F(s)分分解為有理多項式解為有理多項式P(s)與有理真分式之和。與有理真分式之和。 )()()()(0sAsBsPsF6116332261161531258)(23223234ssssssssssssssF由于由于L- 11= (t)， L -1sn= (n)(t)，故多項式，故多項式P(s)的拉的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構成。普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構成。 下面主要討論有理真分式的情形。下面主要討論有理真分式的情形。一、零、極點的概念一、零、極點的概念若若F(s)是是s的實系數(shù)有理真分式（的實系數(shù)有理真分式（m 0 ttfFtde)()(jj要討論其關系，要討論其關系，f(t)必須為因果信號。必須為因果信號。 根據(jù)