二次函數與一元二次方程的關系(2)

1、二次函數與一元二次方程教學設計 教材分析： 本節(jié)是初中九年級 數學 下冊第二章第八節(jié)的第一課時， 這一章是初中數 學代數中的重點內容。 先讓學生認識二次函數是描述現(xiàn)實世界變量之間關系的重 要數學模型， 進而認識它的圖像是拋物線以及拋物線的開口方向、 對稱軸、頂點 等特征。在研究圖像的過程中也穿插了實際應用問題， 把圖像直觀與實際意義相 聯(lián)系，讓學生更深刻的理解二次函數的性質， 進而將前面學過的一元二次方程與 二次函數緊密地聯(lián)系在一起， 建立了方程與函數的數學模型， 可以將前面的知識 和剛學過的函數知識緊密的聯(lián)系起來， 起到承前啟后的作用， 讓學生更深刻地去 體會方程與函數之間的關系。 因此，

2、本節(jié)在本章中占有很重要的地位， 也是考察 學生的思維以及綜合應用數學的能力， 更讓學生明白數學知識前后是緊密相連的 而不是割裂的。 一教學目標 1知識目標 1) 經歷探索二次函數與一元二次方程的關系的過程， 體會方程與函數之間 的聯(lián)系。 2) 理解二次函數與橫軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關系。 3) 理解一元二次方程的根就是二次函數與 ( 為實數)的交點的橫坐標。 設計意圖 依據課標要求理解函數與方程之間的關系，同時體現(xiàn)課標精神 師生互動，探究總結，注重知識的形成過程，從而加深對知識的理解。這個 目標的實現(xiàn)與完成主要在課堂練習 1 中體現(xiàn)。 2能力目標 1) 經歷探索二次函數與一

3、元二次方程的關系的過程， 培養(yǎng)學生有效的合作 探究能力以及與同伴交流的能力。 2) 滲透數形結合的數學思想方法，培養(yǎng)觀察能力和分析問題的能力。 3情感態(tài)度價值觀目標 1) 滲透由特殊到一般的辯證唯物主義觀點。 2) 在探索二次函數與一元二次方程的關系的過程，讓學生體會數學之間的 緊密聯(lián)系， 感受數學知識之間的內在聯(lián)系， 體會他在生活中的作用， 培養(yǎng)他們勇 于探索創(chuàng)新及實事求是的科學學習精神。 二教學重點 1. 理解二次函數的圖像和橫軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間 的關系。 2.理解方程何時有兩個不相等的實數根，兩個相等的實數根和沒有實數根。 設計意圖 本節(jié)課目的明確，由課題可知重點是

4、學習二者之間的關系，據此 制定此重點。 三教學難點 探索二次函數與一元二次方程之間的關系。 設計意圖 探究對于初中九年級學生來說，由于他們的認知水平以及對知識 的綜合應用能力有限，因此成為難點。 四教法設計 分組探究引導學生歸納教師總結 (議一議)這一環(huán)節(jié)中用到分組探究法， (3)小問中教師引導學生歸納，最 后教師總結。 復習一元二次方程與二次函數這一部分學生歸納， 教師總結方法再 次運用。 五學法指導 學生在學習本節(jié)時應積極參與課堂， 積極與同伴交流， 在交流與探究的過程 中掌握所學知識， 學生應該認真復習一元二次方程與二次函數知識， 為本節(jié)課的 探究打下基礎。在探究過程中學生應提高探究效率

5、，少說一些與主題無關的話， 不會的問題能聽取同伴的講解。 六教具使用 三角尺， 多媒體課件。 本節(jié)涉及到圖像用多媒體課件展示可以做到直觀， 印 象深，幫助學生很好的理解。 七課時安排 1 課時（ 40 分鐘） 八教學程序設計 創(chuàng)設情境， 導入新課師生合作， 探究新知啟發(fā)引導， 歸納總結 反饋應用，鞏固提高注重實效，回顧小結過程 九教學過程及步驟 1創(chuàng)設問題情境，導入新課（ 5 分鐘） （多媒體課件展示 ） 師：我們知道，豎直上拋物體的高度 與運動時間 的關系可以用公式 表示， 其中 是拋出時的高度， 是拋出時的速度，一個小球從地面被以 的速度豎直向 上拋起（用多媒體演示）小球的高度 與運動時間

6、 的關系如下圖： 那么： 與 的關系式是什么？ 小球經過多少秒后落地？你有幾種求解方法？與同伴進行交流。 師：請同學們思考一下回答。 生 1：由題知 其中 、 ，代入可得： 。 師：很好！這位同學思路很清楚而且運算能力也很強，回答很準確。 師：前面大家剛學過二次函數的圖像和性質， 請大家來說一說 的開口方向， 對稱軸，頂點坐標分別是什么？ 生：它的開口方向向下因為 ，對稱軸為 ，頂點坐標為 師：這位同學回答很棒，看來前面的知識掌握不錯。 師：小球經過多少秒后落地？你有幾種求解方法 生 2：由圖像知 時小球落地。 師：還有別的方法嗎？ 生 3：小球落地時 ，把 代入 中解出 ， 是小球沒拋出時的

7、時間， 故舍去。 所以 。 師：你回答太棒了大家給他鼓掌 師： 與 軸交點的橫坐標為 0 和 8，方程 的根為 ，二者有什么關系？對于 其他的函數與方程有類似的關系嗎？那么我們一起去探索。 設計意圖 通過上拋問題情境使學生初步感受二次函數與一元二次方程之 間的關系，順利導入新課。 2師生合作，探究新知 師：同學們， 我們要探索二次函數與一元二次方程的關系， 首先讓我們一起 來回顧一下二次函數與一元二次方程的有關知識。 師：哪位同學來說一下二次函數的定義和性質？ 生：形如 （ ）的函數叫做二次函數， 開口向上。 開口向下，當 時就得 到 與 軸的交點。 師：回答很棒，哪位同學說一下一元二次方程的

8、解法有幾種？ 生：有四種，分別是直接開平方法，配方法，公式法，分解因式法。 師：很好！下面我們將他們對比總結如下： ? 復習舊知識（ 5 分鐘） 二次函數（ ） 開口 對稱軸，頂點 與 軸交點橫坐標 與 軸交點縱坐標 二者聯(lián)系 開口向上 開口向下 頂點：（ ） 令 則 的根 令 得（ 0， ） 給函數付于一個 值，函數九變成了一格一元二次方程 一元二次方程（ ） 方法 1 方法 2 方法 3 方法 4 舉例 設計意圖 再現(xiàn)所學知識，前后對比復習，加深學生印象，為下面的探索 奠定基礎。（多媒體展示出來） ? 探究新知識（ 15 分鐘） 用多媒體課件展示課本中的議一議 ，同時思考下面三個問題： 1

9、） 每個圖像與 軸有幾個交點？ 2） 一元二次方程 ， 有幾個根，驗證一下 有根嗎？ 3） 二次函數 的圖像與 軸交點的坐標與一元二次方程 的根有什么關 系？ 學生四人一組討論完成下面的表格。 與 軸有 2 個交點 （0，0），（-2，0） 與 軸有 1 個交 （1，0） 與 軸無交點 有 2 個實數根 0， -2 有 1 個實數根 1 無實數解 學生 1 回答問題 1，填入上表；學生 2 回答問題 2，填入上表。 師：同學們觀察二次函數 的圖像與 軸交點的橫坐標與方程 的根由什么關 系？ 生：相同。 師：再觀察二次函數 和 的圖像與 軸交點的橫坐標與對應的方程有入上關 系嗎？ 生：有，和上面

10、的關系一樣。 3啟發(fā)引導，歸納總結 師：誰能用自己的語言描述一下上述關系， 這個規(guī)律對所有的二次函數都成 立嗎？ 生：關系是函數 與 軸交點的橫坐標就是方程 的根；都成立。 師：很好，表述很準確。 生：由上表我還發(fā)現(xiàn)： ，令 ，得到 這個方程有幾個根， 就與 軸有幾個 交點。若方程無解，則函數與 軸無交點。 師：很好，大叫表現(xiàn)棒極了！下面我們一起總結一下這個規(guī)律。 結論：二次函數 的圖像與 軸交點有三種情況：有兩個交點，有一個交點， 沒有交點。當二次函數 的圖像與 軸有交點時，交點的橫坐標就是當 時得到的 一元二次方程 的根。 設計意圖 充分體現(xiàn)課改精神：師生互動，相互交流合作，注重知識的形

11、成過程，培養(yǎng)學生合作交流能力， 同時也滲透重要的數學思想由特殊一般。 想一想本節(jié)一開始的問題中何時小球離地面 60 米？你是如何知道的？ （3 分鐘） 生 1：看圖像， 2 秒和 6 秒時離地面 60 米。 師：為什么有兩個？ 生 2：一個是上升過程中達到 60 米，一個是下降過程中達到 60 米。 生 3：把 代入 中可得 。 師：同學們掌握太棒了！老師感到很高興！ 設計意圖 再次讓學生體會一元二次方程的根就是函數 與 的交點橫坐標。 4反饋應用，鞏固提高（ 8 分鐘） 判斷下列二次函數圖像與 軸的交點個數，并寫出交點坐標，做草圖驗證。 （1） （2） （3） （4） 解：（1）令 ，則：

12、方程無實數解 圖像與 軸無交點。 剩下的三道題由學生上黑板完成。 （過程略） 設計意圖 鞏固所學知識，并且會用知識解決交點問題，同時反饋學生掌 握情況。 方程 的根與 的圖像有什么關系？試把方程的根在圖像上表示出來 （用多媒 體展示）。（ 3 分鐘） 生：老師我發(fā)現(xiàn)這個方程就是把函數 中的 得到的，這個方程的根就是函數 與直線 的交點的橫坐標。 師：回答很好，我們把解題過程寫出來。 （圖形多媒體展示） 解： 所以 的圖像與 的交點的橫坐標為 和 。 設計意圖 此題難度比練習 1 較大，重在給學有余力的同學以引導啟發(fā)， 激發(fā)他們學習數學的興趣， 激起他們探索數學知識之間聯(lián)系以及奧秘的欲望。 同

13、時與想一想前后呼應，圍繞重點，突破難點。 5注重實效，回顧小結（ 1 分鐘） 二次函數 與 軸交點的個數與 的根的個數相同。 二次函數 與 軸交點橫坐標就是 的根。 設計意圖 再次將課程中知識系統(tǒng)化，便于理解記憶，起到畫龍點睛的作 用。 十 教學評價 1 教學過程完成后進行反思是每一個老師提高自身水平的一個途徑。 2教學過程中師生互動，課堂緊湊，及時給學生以肯定和表揚，增強學生 自信心，教師還可以從學生的回答中了解學生所學知識的情況， 提高師生之間的 了解程度。 3精心預設，重視生成，有未預料到的問題出現(xiàn)時應與學生討論，不應草 草帶過。 板書設計 一上拋問題情境 1. 解題過程 2. 略 三練習 1 2 板書 師生一起分析 二議一議 結論 學生分組討論 四小結 五作業(yè) 點評： 創(chuàng)設適宜的問題情境，增強學生“做數學”的動力。 適宜的問題情境能激發(fā)學生的學習欲望， 能有效地調動學生以積極的態(tài)度去 嘗試解決面臨的問題，能較好的引導學生主動投入到學習活動中。 該設計中創(chuàng)設了“拋球”的問題，注重了從新知出發(fā)， 聯(lián)系學生關注的問題， 激發(fā)了學生學習的動力。 合作交流，有效探索，適時引導。 新課程倡導自主探索、 合作交流的學