非線性理論簡介

1、非線性理論簡介1、 動力系統(tǒng)設(shè)為一個拓撲空間，含參量的映射 如果滿足i) ;ii) 則稱（）為一個（連續(xù)）動力系統(tǒng)，這里通常把看作時間參數(shù)。例如就是一個連續(xù)的動力系統(tǒng)。對任意固定的初始狀態(tài)，下面的過程，把初始狀態(tài)變成了時刻的狀態(tài)，我們稱為的軌道。稱為一個不動點，如果 如果有使得則稱此軌道是周期的。在離散動力系統(tǒng)的情況下，即參量，我們考慮一個給定的映射的迭代設(shè)，如果有使得，且，則稱為周期點。對，如果存在使得為周期點，則稱為最終周期點。混沌、分形與孤子是上個世紀70年代開始發(fā)展起來的三個新型學科，統(tǒng)稱為的非線性理論，其中混沌和分形屬于數(shù)學的范疇（孤子屬于物理范疇，這里不講），在很多方面例如物理、化

2、學、生物、地質(zhì)等學科中都有廣泛的應用。2、 混沌設(shè)為度量空間（度量空間自動誘導一個拓撲空間），如果 為壓縮映射，即存在一個常數(shù)（稱為壓縮比），使得均有，則由不動點原理，有唯一一個不動點，即1周期點，而無其他周期點，而且，其軌道中的點所組成的點列均收斂于。下面我們只考慮度量空間（其中度量為通常的歐氏距離）。設(shè)，為連續(xù)映射，如果它不是壓縮映射，則情況就復雜得多。吸引子：吸引子是中一個集合，附近所有點的軌道都收斂到這個集合。例1：，對任何實數(shù)，當時都收斂于零，所以的吸引子為單點集。 例2: ，對任何實數(shù)，當時都收斂于0.739，所以的吸引子為單點集。一般地稱為的吸引子，若為閉集，滿足（即為的不變集）

3、，使得對包含的一個開集中的所有點到的距離在時趨于零。滿足這種性質(zhì)的最大開集稱為的吸引域。由于滿足，因此它通常可能就是的吸引子。排斥子：類似地，設(shè)閉集是的不變集，如果附近但不在上的所有點經(jīng)迭代后遠離，則稱為的排斥子。例3：如函數(shù)吸引子為單點集，而排斥子為單點集混沌：如果下列條件成立，則說在是混沌的i) 使得其軌道在中稠密；ii) 中的周期點在中稠密；iii) 對初始值的敏感依賴性：，及任意接近的和整數(shù)使得。Li-Jorke定理 若有周期3的點，則，有周期的點。此定理就是說，周期3蘊涵混沌。例4：氣象中的混沌現(xiàn)象 例5 股市中的混沌現(xiàn)象 3、分形 設(shè)為中的壓縮映射，壓縮比分別為，用表示中所有非空緊

4、集所組成的集類，對，定義的領(lǐng)域為設(shè)，我們定義間的距離為稱為上的Hausdorff度量。根據(jù)，我們來定義上的壓縮映射，其壓縮比為。則由不動點原理知，在中有唯一的不動點，即有唯一一個非空的緊集使得。不動點通常就是一個分形。例6 Cantor集 設(shè)，則為壓縮，于是有唯一的非空緊集使得，這個集合就是我們熟知的（三分）Cantor集。 例7 雪花曲線設(shè)中的映射為 則為中的壓縮，于是有唯一的非空緊集使得 這個集合就是我們熟知的Koch曲線或雪花曲線。 附錄相關(guān)背景蝴蝶效應來源于美國氣象學家洛倫茨（ELorenz）60年代初的發(fā)現(xiàn)。在混沌學傳奇與分形論奇異性探索等書中皆有這樣的描述：“1961年冬季的一天，

5、洛倫茨在皇家麥克比型電腦上進行關(guān)于天氣預報的計算。為了考察一個很長的序列，他走了一條捷徑，沒有令電腦從頭運行，而是從中途開始。他把上次的輸出直接打入作為計算的初值，但由于一時不慎，他無意間省略了小數(shù)點后六位的零頭，然后他穿過大廳下樓，去喝咖啡。一小時后，他回來時發(fā)生了出乎意料的事，他發(fā)現(xiàn)天氣變化同上一次的模式迅速偏離，在短時間內(nèi)，相似性完全消失了。進一步的計算表明，輸入的細微差異可能很快成為輸出的巨大差別。這種現(xiàn)象被稱為對初始條件的敏感依賴性。在氣象預報中，稱為蝴蝶效應?！薄奥鍌惔淖畛跏褂玫氖呛ｚt效應?！薄奥鍌惔?979年12月29日在華盛頓的美國科學促進會的演講：可預言性：一只蝴蝶在巴西扇動翅膀會在德克薩斯引起龍卷風嗎? ”參考文獻 1 Tien-Yien Li and J. A. Yorke, Period Three Implies Chaos, 1975. 2 J. Jost, Dynamical Systems, Springer-Verlag, 2005 3