高數(shù)下冊合肥學院復習資料

1、第五章 向量與解析幾何向量代數(shù)定義定義與運算的幾何表達在直角坐標系下的表示向量有大小、有方向. 記作或 模向量的模記作和差 單位向量，則方向余弦設與軸的夾角分別為，則方向余弦分別為點乘（數(shù)量積），為向量a與b的夾角叉乘（向量積）為向量a與b的夾角向量與，都垂直定理與公式垂直平行交角余弦兩向量夾角余弦投影向量在非零向量上的投影 平面直線法向量 點方向向量 點方程名稱方程形式及特征方程名稱方程形式及特征一般式一般式點法式點向式三點式參數(shù)式截距式兩點式面面垂直線線垂直面面平行線線平行線面垂直線面平行點面距離 面面距離 面面夾角線線夾角線面夾角 空間曲線：切向量切“線”方程：法平“面”方程：切向量切“

2、線”方程：法平“面”方程：空間曲面：法向量切平“面”方程：法“線“方程：或切平“面”方程：法“線“方程：第六章 多元函數(shù)微分法及其應用（一） 基本概念1、 距離，鄰域，內(nèi)點，外點，邊界點，聚點，開集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無界集。2、 多元函數(shù)：，圖形.3、 極限：4、 連續(xù)：5、 偏導數(shù)： 6、 方向?qū)?shù)： 其中為的方向角。7、 梯度：，則。8、 全微分：設，則（二） 性質(zhì)1、 函數(shù)可微，偏導連續(xù)，偏導存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關系：2、 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定義： 2） 復合函數(shù)求導：鏈式法則若，則 ， 3） 隱函數(shù)

3、求導：兩邊求偏導，然后解方程（組） （三） 應用1、 極值1） 無條件極值：求函數(shù)的極值解方程組 求出所有駐點，對于每一個駐點，令， 若，函數(shù)有極小值，若，函數(shù)有極大值； 若，函數(shù)沒有極值； 若，不定。2） 條件極值：求函數(shù)在條件下的極值令： Lagrange函數(shù)解方程組 2、 幾何應用1） 曲線的切線與法平面曲線，則上一點（對應參數(shù)為）處的切線方程為：法平面方程為：2） 曲面的切平面與法線曲面，則上一點處的切平面方程為：法線方程為：第七章 重積分重積分積分類型計算方法典型例題二重積分平面薄片的質(zhì)量質(zhì)量=面密度面積（1） 利用直角坐標系X型 Y型 P94例1、2、4P1063、4（2）利用極坐

4、標系使用原則(1) 積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標方程表示( 含圓弧,直線段 )；(2) 被積函數(shù)用極坐標變量表示較簡單( 含, 為實數(shù) ) P100例5P103例8P1077、8（3）利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性當D關于y軸對稱時，（關于x軸對稱時，有類似結(jié)論）P1065應用該性質(zhì)更方便計算步驟及注意事項1 畫出積分區(qū)域2 選擇坐標系 標準：域邊界應盡量多為坐標軸，被積函數(shù)關于坐標變量易分離3 確定積分次序 原則：積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙4 確定積分限 方法：圖示法 先積一條線，后掃積分域5 計算要簡便 注意：充分利用對稱性，奇偶性三重積分空間立體物的質(zhì)量質(zhì)量=密度面積(1

5、) 利用直角坐標投影P111例1；P1172（1）P111例2；P1172（2）（2） 利用柱面坐標 相當于在投影法的基礎上直角坐標轉(zhuǎn)換成極坐標適用范圍:積分區(qū)域表面用柱面坐標表示時方程簡單；如 旋轉(zhuǎn)體被積函數(shù)用柱面坐標表示時變量易分離.如P113例3；P1172（3,5）（3）利用球面坐標 適用范圍:積分域表面用球面坐標表示時方程簡單;如，球體，錐體.被積函數(shù)用球面坐標表示時變量易分離. 如，P116例5、6（4）利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性P113例4；P1172（5）第十一章曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分積分類型計算方法典型例題第一類曲線積分曲形構(gòu)件的質(zhì)量質(zhì)量=線密度弧長

6、參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）（1） （2） （3）P137-例1、2、3平面第二類（對坐標的）曲線積分變力沿曲線所做的功（1） 參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）P141-例1、例2、例3（2）利用格林公式（轉(zhuǎn)化為二重積分）條件：L封閉，分段光滑，有向（左手法則圍成平面區(qū)域D）P，Q具有一階連續(xù)偏導數(shù)結(jié)論：應用：P1551（3）利用路徑無關定理（特殊路徑法）等價條件： 與路徑無關，與起點、終點有關具有原函數(shù)（特殊路徑法，偏積分法，湊微分法）P152-例345（4）兩類曲線積分的聯(lián)系P143例5空間第二類（對坐標的）曲線積分變力沿曲線所做的功（1）參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）（2）利用斯托克斯公式（轉(zhuǎn)化第二類（對坐標的

7、）曲面積分）條件：L封閉，分段光滑，有向P，Q，R具有一階連續(xù)偏導數(shù)結(jié)論：應用：P143例4P1774第一類曲面積分曲面薄片的質(zhì)量質(zhì)量=面密度面積投影法： 投影到面類似的還有投影到面和面的公式P158-例1、例2第二類（對坐標的）曲面積分流體流向曲面一側(cè)的流量（1）投影法：，為的法向量與軸的夾角前側(cè)取“+”，；后側(cè)取“”，：，為的法向量與軸的夾角右側(cè)取“+”，；左側(cè)取“”，：，為的法向量與軸的夾角上側(cè)取“+”， ；下側(cè)取“”，P167-例1;P16812（2）高斯公式 右手法則取定的側(cè)條件：封閉，分片光滑，是所圍空間閉區(qū)域的外側(cè)P，Q，R具有一階連續(xù)偏導數(shù)結(jié)論：應用：P170-例1、例2（3）

8、兩類曲面積分之間的聯(lián)系轉(zhuǎn)換投影法：P165-注；P1682方法2所有類型的積分：定義：四步法分割、代替、求和、取極限；性質(zhì)：對積分的范圍具有可加性，具有線性性；對坐標的積分，積分區(qū)域?qū)ΨQ與被積函數(shù)的奇偶性。第十二章 級數(shù)無窮級數(shù)常數(shù)項級數(shù)P207例2（2）傅立葉級數(shù)冪級數(shù)一般項級數(shù)正項級數(shù)用收斂定義，存在常數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)P200例2; P201 1 若級數(shù)收斂,各項同乘同一常數(shù)仍收斂. 兩個收斂級數(shù)的和差仍收斂.注：一斂、一散之和必發(fā)散；兩散和、差必發(fā)散.去掉、加上或改變級數(shù)有限項, 不改變其收斂性. 若級數(shù)收斂, 則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂，且其和不變。 推論: 如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散, 則原來級數(shù)也發(fā)散. 注：收斂級數(shù)去括號后未必收斂.（必要條件） 如果級數(shù)收斂, 則萊布尼茨判別法若且，則收斂則級數(shù)收斂.和都是正項級數(shù)，且.若收斂，則也收斂；若發(fā)散，則也發(fā)散.比較判別法比較判別法的極限形式和都是正項級數(shù)，且，則若,與同斂或同散;若,收斂,也收斂；如果，發(fā)散，也發(fā)散。比值判別法根值判別法是正項級數(shù)，,則時收斂；()時發(fā)散；時可能收斂也可能發(fā)散.收斂性和函數(shù)展成冪級數(shù),缺項級數(shù)用正項級數(shù)中的比值判別法求收斂半徑。P207例2（2）的性質(zhì)在收斂域上連續(xù);在收斂域內(nèi)可導，且可逐項求導;