高考數(shù)學復習講練正弦余弦定理

1、個性化教學輔導教案學科：數(shù)學 任課教師：葉雷 授課時間：2011 年 月 日(星期 ) 16 : 00 18 : 00 姓名陽豐澤年級性別 教學課題 正弦、余弦定理教學目標1. 通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。2. 掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。重點難點1. 正弦定理的探索和證明及其基本應用；已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。2. 余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用；勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。課前檢查

2、作業(yè)完成情況：優(yōu) 良 中 差 建議_第 次課第 講 正弦、余弦定理知識點一：正弦定理在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖，在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，又，則， 從而在直角三角形ABC中，。 【思考】那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？（由學生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖，（1）當ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=，則， 同理可得，從而。 （2） 當ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導

3、）當為鈍角三角形時，如圖，作邊上的高線交于，則: 在中, ，即， 在中, ,即, ，即，同理可證， 。知識點二：余弦定理運用正弦定理能解怎樣的三角形？ 已知三角形的任意兩角及其一邊， 已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角， 問題1：如果已知三角形的兩邊及其夾角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形。從量化的角度來看，如何從已知的兩邊和它們的夾角求三角形的另一邊和兩個角？問題2：如何從已知兩邊和它們的夾角求三角形的另一邊？即：在ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C，求邊c ？ 聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？ 用正弦定理試求，

4、發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究。 從而 , 同理可證 , . 余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即： , ,.余弦定理的變形公式：?！纠?】已知在中，解三角形.思路點撥：先將已知條件表示在示意圖形上（如圖），可以確定先用正弦定理求出邊，然后用三角形內(nèi)角和求出角，最后用正弦定理求出邊.解析：， ， ,又， 總結升華：1. 正弦定理可以用于解決已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問題；2. 數(shù)形結合將已知條件表示在示意圖形上，可以清楚地看出已知與求之間的關系，從而恰當?shù)剡x擇解 答方式.【變式】在中

5、，已知，求、.解：， 根據(jù)正弦定理，.【例2】 在，求：和，思路點撥：先將已知條件表示在示意圖形上（如圖），可以確定先用正弦定理求出角，然后用三角形內(nèi)角和求出角，最后用正弦定理求出邊.解析：由正弦定理得：， ， （方法一）， 或， 當時，（舍去）； 當時， （方法二）， ， 即為銳角， ，總結升華：1. 正弦定理也可用于解決已知兩邊及一邊的對角，求其他邊和角的問題。2. 在利用正弦定理求角時，因為，所以要依據(jù)題意準確確定角的范圍，再 求出角.3一般依據(jù)大邊對大角或三角形內(nèi)角和進行角的取舍.【變式】在中，求和【答案】， ， ， 或 當時，； 當時，； 所以，或【例3】已知中，、，求中的最大角。思

6、路點撥：首先依據(jù)大邊對大角確定要求的角，然后用余弦定理求解.解析：三邊中最大，其所對角最大，根據(jù)余弦定理：， ， ，故中的最大角是.總結升華： 1中，若知道三邊的長度或三邊的關系式，求角的大小，一般用余弦定理；2用余弦定理時，要注意公式中的邊角位置關系.【變式】在中，若，求角.【答案】， ， 。【例4】在中，已知，求及.思路點撥：畫出示意圖，由其中的邊角位置關系可以先用余弦定理求邊，然后繼續(xù)用余弦定理或正弦定理求角.解析：由余弦定理得：=， 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理） ， （法二：正弦定理） ，又，即 總結升華：畫出示意圖，數(shù)形結合，正確選用正弦、余弦定理，可以

7、使解答更快、更好.【變式】在中，已知角所對的三邊長分別為，若，求角和?！敬鸢浮扛鶕?jù)余弦定理可得： ， ； 由正弦定理得：。1. 在ABC中，a=18，b=24，A=45°，此三角形解的情況為( )A. 一個解 B. 二個解 C. 無解 D. 無法確定2在ABC中，若，則A的度數(shù)是 ( )A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°3ABC中，若a2=b2+c2+bc，則A=( ) A. 60° B. 45° C. 120° D. 30°4邊長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為 ( )A.

8、 90° B. 120° C. 135° D. 150°5. 在ABC中，已知，B=45°.求A、C及c.6在中，若，求.7在中，若，求.課后反思：（1）定理的表示形式：；或，（2）正弦定理的應用范圍：已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。（3）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；（4）余弦定理的應用范圍：已知三邊求三角；已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。參考答案：1.B 2.A 3.C 4.B5.解析：解法1：由正弦定理得：， A=60°或120°； 當A=60°時，C=75° ，； 當A=120°時，C=15°，.解法2：設c=x，由余弦定理 將已知條件代入，整理：， 解之： 當時， 從而A=60° ，C=75°；當時，同理可求得：A=120° ，C=15°.6.， ，或當時，；當時，所以或7.，由余弦