高等數(shù)學(xué)習(xí)題詳解 二重積分

1、習(xí)題8-11. 設(shè)有一平面薄片，在xOy平面上形成閉區(qū)域D，它在點(diǎn)(x,y)處的面密度為(x,y)，且(x,y)在D連續(xù)，試用二重積分表示該薄片的質(zhì)量.解：.2. 試比較下列二重積分的大小：(1) 與，其中D由x軸、y軸及直線x+y=1圍成；(2) 與，其中D是以A(1,0)，B(1,1)，C(2，0）為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域.解：(1)在D內(nèi)，. (2) 在D內(nèi)，, 習(xí)題8-21. 畫出積分區(qū)域，并計(jì)算下列二重積分：(1) ，其中D為矩形閉區(qū)域：；(2) ，其中D是由兩坐標(biāo)軸及直線x+y=2所圍成的閉區(qū)域；(3) ,其中D是由直線y=2,y=x,y=2x所圍成的閉區(qū)域；(4) ,其中D是半圓形閉

2、區(qū)域:x2+y24,x0；(5) ,其中D為:0x4,1ye；(6) 其中D是由曲線所圍成的閉區(qū)域.解：(1) (2) (3) (4) 因?yàn)楸环e函數(shù)是關(guān)于y的奇函數(shù)，且D關(guān)于x軸對稱，所以 (5) . (6) .2. 將二重積分化為二次積分（兩種次序）其中積分區(qū)域D分別如下：(1) 以點(diǎn)(0,0),(2,0),(1,1)為頂點(diǎn)的三角形；(2) 由直線y=x及拋物線y2=4x所圍成的閉區(qū)域；(3) 由直線y=x,x=2及雙曲線所圍成的閉區(qū)域；(4) 由曲線y=x2及y=1所圍成的閉區(qū)域.解：(1) (2) (3) (4) 3. 交換下列二次積分的積分次序：(1) ； （2）； (3) ； (4)

3、 .解：(1) .(2) (3) (4) .4. 求由平面x=0,y=0,x=1,y=1所圍成的柱體被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立體體積.解：5. 求由平面x=0,y=0,x+y=1所圍成的柱體被平面z=0及曲面x2+y2=6z截得的立體體積.解：習(xí)題8-31. 畫出積分區(qū)域，把二重積分化為極坐標(biāo)系下的二次積分,其中積分區(qū)域D是：(1) x2+y2a2(a>0)； (2) x2+y22x；(3) 1x2+y24； (4) 0y1x,0x1.解：(1) (2) (3) (4) 2. 把下列積分化為極坐標(biāo)形式，并計(jì)算積分值：(1) ；(2) 解：(1) .(2) 3. 在極坐標(biāo)系下

4、計(jì)算下列二重積分：(1),其中D是圓形閉區(qū)域: x2+y21；(2) ,其中D是由圓周x2+y2=1及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；(3) ，其中D是由圓周x2+y2=1,x2+y2=4及直線y=0,y=x所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；(4) 其中D由圓周x2+y2=Rx(R>0)所圍成.解：(1) (2) .(3) (4) .4. 求由曲面z=x2+y2與所圍成的立體體積.解：兩條曲線的交線為x2+y2=1，因此，所圍成的立體體積為：習(xí)題8-41. 計(jì)算反常二重積分，其中D：x0,yx.2. 計(jì)算反常二重積分，其中D：x2+y21.解：1. 所以2. 由，得復(fù)習(xí)題8（A）1. 將

5、二重積分化為二次積分(兩種次序都要)，其中積分區(qū)域D是：(1) x1,y2;(2) 由直線y=x及拋物線y2=4x所圍成.解：(1) (2) 2. 交換下列兩次積分的次序：(1);(2);(3)解：(1) .(2) .(3) .3. 計(jì)算下列二重積分：(1) ， D: x1,y1;(2) ,D由直線y=1,x=2及y=x圍成；(3) ,D由y=x和y=x圍成；(4) ，D:x+y1;(5) ，D由與y=x圍成；(6) ，D是圓域x2y2R2；解: (1) .(2) .(3) .(4) .(5) .(6) .4. 已知反常二重積分收斂，求其值其中D是由曲線y=4x2與y=9x2在第一象限所圍成的

6、區(qū)域 解：設(shè)則 .所以.5. 計(jì)算解：由第四節(jié)例2以及是偶函數(shù)，可知.6. 求由曲面z=0及z=4-x2-y2所圍空間立體的體積解：曲面z=0和z=4-x2-y2的交線為x2+y2 =4.因此，所圍空間立體的體積為： .7. 已知曲線y=lnx及過此曲線上點(diǎn)(e，1）的切線(1) 求由曲線y=lnx，直線和y=0所圍成的平面圖形D的面積；(2) 求以平面圖形D為底，以曲面z=ey為頂?shù)那斨w的體積解：(1) .(2) .（B）1. 交換積分次序： (1) ； （2）； (3) ； (4) .解：(1) .(2) .(3) .(4) .2. 計(jì)算積分.解： .3. 計(jì)算積分.解： 令,則原式 .4