果建平-數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法并重搞好高三復(fù)習(xí)備考

1、題目：數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法并重，做好高三復(fù)習(xí)備考工作作 者：果建平 姜濤作者單位：湖北省襄陽市南漳縣高級中學(xué) 郵 編：441500聯(lián)系電話18986376528數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法并重，做好高三復(fù)習(xí)備考工作 主題詞：高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考現(xiàn)狀-數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法并重-形成數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)能力 內(nèi)容摘要：針對高三復(fù)習(xí)備考中，只重視基礎(chǔ)知識傳授而忽略數(shù)學(xué)思想的滲透或單純強調(diào)數(shù)學(xué)思想而不重視雙基的訓(xùn)練和能力的形成這兩種現(xiàn)狀，分析二者的弊病和危害。從準(zhǔn)確講解基礎(chǔ)知識，全面介授基本技能，完整講述數(shù)學(xué)思想這三個方面，通過大量實例，強調(diào)只有將數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法與基礎(chǔ)知識的講授融為一體，才能

2、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，為高三復(fù)習(xí)備考打好基礎(chǔ)。實施以培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力為重點的素質(zhì)教育，是教育的目標(biāo).如何在高三數(shù)學(xué)教學(xué)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，就是擺在高三數(shù)學(xué)教師面前的重要任務(wù).在目前的高考復(fù)習(xí)中存在兩種教學(xué)方法：一是只重視基礎(chǔ)知識的講授，而不重視數(shù)學(xué)思想的滲透的教學(xué)方法.二是單純強調(diào)數(shù)學(xué)思想，而忽略基礎(chǔ)知識的掌握的教學(xué)方法. 前者將教學(xué)目標(biāo)定位于較低層面,學(xué)生無法形成數(shù)學(xué)思想，更談不上形成能力了；后者使數(shù)學(xué)方法的掌握和數(shù)學(xué)思想的形成成為無源之水、無本之木，因此都不是好方法.我認為將數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的教學(xué)與基礎(chǔ)知識的講授融為一體的方法才是好方法，因為只有這樣才能使學(xué)生在

3、基礎(chǔ)知識學(xué)好了的同時，數(shù)學(xué)思想也形成了，數(shù)學(xué)能力也提高了.下面談一談本人在這方面的一些體會.1、 準(zhǔn)確講解基礎(chǔ)知識有的學(xué)生輕視對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，他們連一些基本概念的定義都說不出，面對一些基本的數(shù)學(xué)問題都束手無策，卻總認為是自己沒有掌握這樣或那樣的技巧，孰不知這是他們沒有掌握基礎(chǔ)知識、基本方法所致.其實學(xué)數(shù)學(xué)也象建房子一樣，“萬丈高樓平地起”嘛.（1） 教師對基礎(chǔ)知識的講解必須準(zhǔn)確、到位.高中數(shù)學(xué)中有很多概念看似簡單，但教師沒有講清楚或未作特別強調(diào)時學(xué)生也很難掌握.例1 空集是一個特殊的集合，學(xué)生對它的理解往往不能到位.當(dāng)問“”是否正確時，很多同學(xué)說不正確(認為相等)，當(dāng)我講可把理解為空箱子

4、中裝有空箱子時，他們才茅塞頓開.例2 “函數(shù)的定義域是（2 ，3）”與“函數(shù)在（2 ，3）上有意義”是不同的. 已知函數(shù)的定義域為（2 ，3），求實數(shù)a的取值范圍； 已知函數(shù)在（2 ，3）上有意義，求實數(shù)a的取值范圍.解：據(jù)題意，因為函數(shù)的定義域為（2 ，3），所以當(dāng)且僅當(dāng)時>0.所以不等式>0的解集是，方程0的兩根分別為2和3.據(jù)題意，因為函數(shù)在（2 ，3）上有意義，所以當(dāng)時>0.即不等式>0的解集，方程的兩根分別在和內(nèi)，.例3 “函數(shù)的值域是”與“函數(shù)值”是不同的.已知函數(shù)的值域為，求實數(shù)a的取值范圍；已知函數(shù), 且，求實數(shù)a的取值范圍. 解：據(jù)題意，.所以，當(dāng)時，

5、即或4.據(jù)題意，拋物線與軸相離或相切，例4 “取遍正值”與“取正值”是不同的.已知關(guān)于的函數(shù)的值域是，則的取值范圍是 ；已知關(guān)于的函數(shù)的定義域是，則的取值范圍是 .解：要使函數(shù)的值域為R，必須使取遍所有正數(shù)（不是取正數(shù)），；函數(shù)的定義域為R，則只需取正值，即恒成立，.例5 兩向量夾鈍角與這兩向量的夾角余弦為負是不同的.設(shè)平面向量=(2，1)， =( ，1 )，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是 . 解：又設(shè)，則，即時和反向共線，例6 對于定義在R上的函數(shù)y=f (x): 若，則y=f (x)的圖象關(guān)于直線x=對稱 ；函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.解：的圖象關(guān)于直線.先將函數(shù)的圖象向右平移（不妨設(shè)）個單

6、位，就得到與的圖象，而與的圖象關(guān)于直線對稱，再將與的圖象向左平移個單位，此時的對稱軸方程變?yōu)?（2） 教師應(yīng)及時指出教科書中的錯誤.數(shù)學(xué)教科書中存在一些錯誤，我們要及時指出.例 7 命題的否定就是否定結(jié)論嗎？命題“矩形的對角線相等”的否定應(yīng)該是“存在對角線不相等的矩形”，而不是“矩形的對角線不相等”.例8 “平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之差的絕對值為一常數(shù)2a(2a<| F1F2|)的點的軌跡叫雙曲線.”嗎？不對，應(yīng)滿足 0<2a<| F1F2|.類似地，拋物線的定義中還要注意加上“點在直線外”的條件.2、全面介紹基本技能學(xué)生除了要掌握前面列舉的基本技能外，還必須掌握以下技

7、能：例9 分離常數(shù)法. 已知函數(shù)y=，求它的值域并作出它的圖像.解：，變形至此，函數(shù)的值域的求法和圖像的作法就很簡單了.值域為y|y，圖像此略.例10 分離變量法: 已知1+2x+3x·a0在(,1上恒成立，求a的取值范圍.解：， 且函數(shù)為增函數(shù)，.1/41/61/31/21/5例11 正難則反法. 求對立事件的概率是正難則反法的很好應(yīng)用.如圖，電路中五個方框處都為保險匣，框內(nèi)數(shù)字為通電后一天內(nèi)保險絲被燒斷的概率，假設(shè)通電后保險絲是否被燒斷是相互獨立的，求通電后一天內(nèi)電路不斷路的概率. 解：我們知道，串聯(lián)電路不通和并聯(lián)電路通的情況都比較多，若從反面考慮就比較簡單了.設(shè)前后兩系統(tǒng)分別為

8、A,B，則(A不通)，(B不通)，(A通且B通)例12 對偶法.若函數(shù)滿足求函數(shù)的解析式.ABCDEOA1H解：將換為，則得關(guān)于的方程組解之得.例13 類比法.所謂類比，就是根據(jù)兩種事物在某些特征上的相似作出它們或然性的推理，其結(jié)論是否正確還有待證明.正三角形的內(nèi)切圓半徑r與外接圓半徑R之比為1:2，R是高的，試用類比的思想回答正四面體相類似的問題，并證明.解：構(gòu)造以正四面體的棱為面對角線的正方體，則正方體的對角線長即為正四面體外接球的直徑，所以正方體的棱長為，因此正四面體的外接球的半徑，所以 R是高的.例14 反客為主法. 設(shè)不等式mx2-2x-m+10對于滿足|m|2的一切m的值都成立，求

9、x的取值范圍 .解：原不等式即（反客為主），設(shè)，據(jù)題意，.例15 點差法（設(shè)而不求）法.已知雙曲線方程試問是否存在被B(1,1)所平分的弦？如果存在，求出弦所在的直線方程，如果不存在，說明理由.解：設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2)是雙曲線的弦的兩個端點，則兩式相減，得，將直線方程代入雙曲線方程，得，所求直線不存在. 注意：用“設(shè)而不求”法時一定要注意0的條件.3、完整講述基本思想數(shù)學(xué)思想蘊含于基礎(chǔ)知識之中，是數(shù)學(xué)的精髓教師只有在講授基礎(chǔ)知識的過程中不斷滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，才能使學(xué)生的基礎(chǔ)知識達到一個質(zhì)的“飛躍”.在數(shù)學(xué)方法的講授中教師還要有意識地選擇具有綜合性的試題，把個題的解法看成是某

10、一方法、某一思想的具體應(yīng)用，講解其本質(zhì)的東西，這樣才能使學(xué)生舉一反三、觸類旁通，才能將掌握的方法應(yīng)用于各章節(jié)的知識中.（1）函數(shù)與方程的思想. 函數(shù)與方程的思想，就是指從問題的數(shù)量關(guān)系入手，利用函數(shù)或方程的概念和性質(zhì)去轉(zhuǎn)化或解決問題的思想. 一元二次不等式的解法是最典型的函數(shù)與方程的思想的應(yīng)用.下面再舉一例.例16 三個數(shù)a、b、c成等比數(shù)列，若成立，則b的取值范圍為.解：法1（函數(shù)思想）：設(shè)公比為，則，只需求函數(shù) 的值域，用判別式法可得.法2（方程思想）：的兩根. 且，.（2）數(shù)形結(jié)合思想.著名數(shù)學(xué)家華羅庚對數(shù)形結(jié)合的思想有過精辟的論述：“數(shù)缺形時少知覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離

11、分家萬事非”.這說明，以形助數(shù)，可使抽象的概念和復(fù)雜的關(guān)系直觀化；而以數(shù)解形，則可使定性的關(guān)系定量化.例17 若方程k(x-2)+4=1+在內(nèi)有兩個不等實根，求實數(shù)k的取值范圍.解：“數(shù)有形時多直覺”：問題可轉(zhuǎn)化為“若曲線y=1+與直線y=k(x-2)+4有兩個公共點時，求實數(shù)k的取值范圍”. “形有數(shù)時好入微”：對于過定點點的動直線，當(dāng)它與半圓相切時，由可得；當(dāng)它過點時，.（3）分類討論思想.有些問題，局部與整體之間存在著必然的因果關(guān)系.當(dāng)對問題的整體研究有困難時，轉(zhuǎn)而研究其各個局部，這就是分類討論的思想.分類討論時，必須要按“同一標(biāo)準(zhǔn)”和“不重不漏”的原則進行.例18 由12個人組成的課外文娛小組，其中5個人只會跳舞，5個人只會唱歌，2個人既會跳舞也會唱歌，若從中選4個會跳舞和4個會唱歌的人去排演節(jié)目，共有多少種不同的選法？解：按4個會跳舞的人“來自哪里”分類，因此，不同的選法數(shù)為（4）化歸與轉(zhuǎn)化思想：將復(fù)雜向簡單轉(zhuǎn)化、將未知向已知轉(zhuǎn)化，從而使問題獲得解決.這就是化歸與轉(zhuǎn)化的思想. BAI例19 設(shè)集合I=，若集合A、B滿足AB=I，則稱(A,B)為集合I的一種分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)