常微分方程習(xí)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一、選擇題1階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是（ ）個(gè)（A） （B）-1 （C）+1 （D）+22李普希茲條件是保證一階微分方程初值問(wèn)題解惟一的（ ）條件（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非充分3. 方程過(guò)點(diǎn)共有（ ）個(gè)解（A）一 （B）無(wú)數(shù) （C）兩 （D）三4方程（ ）奇解（A）有一個(gè) （B）有兩個(gè) （C）無(wú) （D）有無(wú)數(shù)個(gè)5方程的奇解是（ ）（A） （B） （C） （D）二、計(jì)算題1.x=+y2.tgydx-ctydy=03. 4. 5.三、求下列方程的通解或通積分1.2. 3. 四證明1.設(shè)，是方程的解，且滿足=0，這里在上連續(xù)，試證明

2、：存在常數(shù)C使得=C2在方程中，已知，在上連續(xù)求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切試卷答案一、選擇題1.A 2.B 3.B 4.C 5.D二、計(jì)算題1 解：將方程改寫(xiě)為=+ （*） 令u=,得到 =x+u,則(*)變?yōu)閤=, 變量分離并兩邊積分得 arcsinu=ln+lnC, 故方程的解為arcsin=lnCx。2 解：變量分離 ctgxdy=tgydx, 兩邊積分得 ln(siny)=-ln+C或sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1) ，x=t+(t=0、1)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)當(dāng)C=0時(shí)的特殊情況，

3、故原方程的解為sinycosx=C。3. 方程化為 令，則，代入上式，得 分量變量，積分，通解為 原方程通解為 4解 齊次方程的通解為 令非齊次方程的特解為 代入原方程，確定出 原方程的通解為 +5解 因?yàn)?，所以原方程是全微分方?取，原方程的通積分為 即三、求下列方程的通解或通積分1解 當(dāng)時(shí)，分離變量得 等式兩端積分得 方程的通積分為 2解 令，則，代入原方程，得 ， 當(dāng)時(shí)，分離變量，再積分，得 ，即通積分為： 3解 齊次方程的通解為 令非齊次方程的特解為 代入原方程，確定出 原方程的通解為 + 四證明1.證明 設(shè)，是方程的兩個(gè)解，則它們?cè)谏嫌卸x，其朗斯基行列式為 由已知條件，得 故這兩個(gè)解是線性相關(guān)的 由線性相關(guān)定義，存在不全為零的常數(shù)，使得， 由于，可知否則，若，則有，而，則，這與，線性相關(guān)矛盾故 2證明 由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理?xiàng)l件，且任一解的存在區(qū)間都是 顯然，該方程有零解 假設(shè)該方程的任一非零解在x軸上某點(diǎn)處與x軸相切，即有= 0，那么由解的惟一