概率論和數(shù)理統(tǒng)計復旦大學課后題答案1

1、1概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題及答案習題 一1略.見教材習題參考答案.2.設(shè)A，B，C為三個事件，試用A，B，C的運算關(guān)系式表示下列事件：（1） A發(fā)生，B，C都不發(fā)生； （2） A與B發(fā)生，C不發(fā)生；（3） A，B，C都發(fā)生； （4） A，B，C至少有一個發(fā)生；（5） A，B，C都不發(fā)生； （6） A，B，C不都發(fā)生；（7） A，B，C至多有2個發(fā)生； （8） A，B，C至少有2個發(fā)生.【解】（1） A （2） AB （3） ABC（4） ABC=CBABCACABABC=(5) = (6) (7) BCACABCAB=(8) ABBCCA=ABACBCABC3.略.見教材習題參考答案4.設(shè)A，B為

2、隨機事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（）.【解】P（）=1-P（AB）=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65.設(shè)A，B是兩事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1） 在什么條件下P（AB）取到最大值？（2） 在什么條件下P（AB）取到最小值？【解】（1） 當AB=A時，P（AB）取到最大值為0.6.（2） 當AB=時，P（AB）取到最小值為0.3.6.設(shè)A，B，C為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件發(fā)生的概率.【解】 P（ABC）=P(A)+P(B

3、)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=+-=7.從52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？【解】p=8.對一個五人學習小組考慮生日問題：（1） 求五個人的生日都在星期日的概率； （2） 求五個人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五個人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 設(shè)A1=五個人的生日都在星期日，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1個，故P（A1）=（）5 （亦可用獨立性求解，下同）（2） 設(shè)A2=五個人生日都不在星期日，有利事件數(shù)為65，故P（A2）=()5(3) 設(shè)A3=五個人的生日不都在星期日P（A3）=1-P

4、(A1)=1-()59.略.見教材習題參考答案.10.一批產(chǎn)品共N件，其中M件正品.從中隨機地取出n件（n<N）.試求其中恰有m件（mM）正品（記為A）的概率.如果：（1） n件是同時取出的；（2） n件是無放回逐件取出的；（3） n件是有放回逐件取出的.【解】（1） P（A）=(2) 由于是無放回逐件取出，可用排列法計算.樣本點總數(shù)有種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種.對于固定的一種正品與次品的抽取次序，從M件正品中取m件的排列數(shù)有種，從N-M件次品中取n-m件的排列數(shù)為種，故P（A）=由于無放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成P（A）=可以看出，用第二種方法簡便得多

5、.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N種取法，故所有可能的取法總數(shù)為Nn種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種，對于固定的一種正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M種取法，共有Mm種取法，n-m次取得次品，每次都有N-M種取法，共有（N-M）n-m種取法，故此題也可用貝努里概型，共做了n重貝努里試驗，每次取得正品的概率為，則取得m件正品的概率為11.略.見教材習題參考答案.12. 50只鉚釘隨機地取來用在10個部件上，其中有3個鉚釘強度太弱.每個部件用3只鉚釘.若將3只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上，則這個部件強度就太弱.求發(fā)生一個部件強度太弱的概率是多少？【解】設(shè)A=發(fā)生一個部件強度太弱

6、13.一個袋內(nèi)裝有大小相同的7個球，其中4個是白球，3個是黑球，從中一次抽取3個，計算至少有兩個是白球的概率.【解】 設(shè)Ai=恰有i個白球（i=2,3），顯然A2與A3互斥.故 14.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7，在兩批種子中各隨機取一粒，求：（1） 兩粒都發(fā)芽的概率；（2） 至少有一粒發(fā)芽的概率；（3） 恰有一粒發(fā)芽的概率.【解】設(shè)Ai=第i批種子中的一粒發(fā)芽，（i=1,2）(1) (2) (3) 15.擲一枚均勻硬幣直到出現(xiàn)3次正面才停止.（1） 問正好在第6次停止的概率；（2） 問正好在第6次停止的情況下，第5次也是出現(xiàn)正面的概率.【解】（1） (2) 16.甲、乙兩個籃

7、球運動員，投籃命中率分別為0.7及0.6，每人各投了3次，求二人進球數(shù)相等的概率.【解】 設(shè)Ai=甲進i球，i=0,1,2,3,Bi=乙進i球,i=0,1,2,3,則=0.3207617從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率.【解】 18.某地某天下雪的概率為0.3，下雨的概率為0.5，既下雪又下雨的概率為0.1,求：（1） 在下雨條件下下雪的概率；（2） 這天下雨或下雪的概率.【解】 設(shè)A=下雨，B=下雪.（1） （2） 19.已知一個家庭有3個小孩，且其中一個為女孩，求至少有一個男孩的概率（小孩為男為女是等可能的）.【解】 設(shè)A=其中一個為女孩，B=至少有一

8、個男孩，樣本點總數(shù)為23=8，故或在縮減樣本空間中求，此時樣本點總數(shù)為7.20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率（假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半）.【解】 設(shè)A=此人是男人，B=此人是色盲，則由貝葉斯公式21.兩人約定上午9001000在公園會面，求一人要等另一人半小時以上的概率.題21圖題22圖【解】設(shè)兩人到達時刻為x,y,則0x,y60.事件“一人要等另一人半小時以上”等價于|x-y|>30.如圖陰影部分所示.22.從（0，1）中隨機地取兩個數(shù)，求：（1） 兩個數(shù)之和小于的概率；（2） 兩個數(shù)之積小于的概率.【解】 設(shè)兩數(shù)為x,

9、y，則0<x,y<1.（1） x+y<.(2) xy=<.23.設(shè)P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（BA）【解】 24.在一個盒中裝有15個乒乓球，其中有9個新球，在第一次比賽中任意取出3個球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個球，求第二次取出的3個球均為新球的概率.【解】 設(shè)Ai=第一次取出的3個球中有i個新球，i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均為新球由全概率公式，有25. 按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學習的學生有90%的可能考試及格，不努力學習的學生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學生中有80%的人是努力學習的，試問：（

10、1）考試及格的學生有多大可能是不努力學習的人？（2）考試不及格的學生有多大可能是努力學習的人？【解】設(shè)A=被調(diào)查學生是努力學習的，則=被調(diào)查學生是不努力學習的.由題意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又設(shè)B=被調(diào)查學生考試及格.由題意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由貝葉斯公式知（1）即考試及格的學生中不努力學習的學生僅占2.702%(2) 即考試不及格的學生中努力學習的學生占30.77%.26. 將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為21.若接收站收到的信息是A，試問原發(fā)信息是A的

11、概率是多少？【解】 設(shè)A=原發(fā)信息是A，則=原發(fā)信息是BC=收到信息是A，則=收到信息是B由貝葉斯公式，得27.在已有兩個球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若發(fā)現(xiàn)這球為白球，試求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的顏色只有黑、白兩種）【解】設(shè)Ai=箱中原有i個白球（i=0,1,2），由題設(shè)條件知P（Ai）=,i=0,1,2.又設(shè)B=抽出一球為白球.由貝葉斯公式知28.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時，一個合格品被誤認為是次品的概率為0.02，一個次品被誤認為是合格品的概率為0.05，求在被檢查后認為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】 設(shè)A=產(chǎn)品確為合格品，B=產(chǎn)

12、品被認為是合格品由貝葉斯公式得29.某保險公司把被保險人分為三類：“謹慎的”，“一般的”，“冒失的”.統(tǒng)計資料表明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30；如果“謹慎的”被保險人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，現(xiàn)知某被保險人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹慎的”的概率是多少？【解】 設(shè)A=該客戶是“謹慎的”，B=該客戶是“一般的”，C=該客戶是“冒失的”，D=該客戶在一年內(nèi)出了事故則由貝葉斯公式得30.加工某一零件需要經(jīng)過四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互獨立的，求加工出來的零件的

13、次品率.【解】設(shè)Ai=第i道工序出次品（i=1,2,3,4）.31.設(shè)每次射擊的命中率為0.2，問至少必須進行多少次獨立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9?【解】設(shè)必須進行n次獨立射擊.即為 故 n11至少必須進行11次獨立射擊.32.證明：若P（AB）=P(A)，則A，B相互獨立.【證】 即亦即 因此 故A與B相互獨立.33.三人獨立地破譯一個密碼，他們能破譯的概率分別為，求將此密碼破譯出的概率.【解】 設(shè)Ai=第i人能破譯（i=1,2,3），則34.甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊，設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7，若只有一人擊中，則飛機被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，

14、則飛機被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機一定被擊落，求：飛機被擊落的概率.【解】設(shè)A=飛機被擊落，Bi=恰有i人擊中飛機，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835.已知某種疾病患者的痊愈率為25%，為試驗一種新藥是否有效，把它給10個病人服用，且規(guī)定若1

15、0個病人中至少有四人治好則認為這種藥有效，反之則認為無效，求：（1） 雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%，但通過試驗被否定的概率.（2） 新藥完全無效，但通過試驗被認為有效的概率.【解】（1） (2) 36.一架升降機開始時有6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率：（1） A=“某指定的一層有兩位乘客離開”；（2） B=“沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”；（3） C=“恰有兩位乘客在同一層離開”；（4） D=“至少有兩位乘客在同一層離開”.【解】 由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結(jié)果為106種.（1） ，也可由6重貝努里模型：（2） 6個人在十層

16、中任意六層離開，故（3） 由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有種可能結(jié)果，再從六人中選二人在該層離開，有種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時離開的情況，因此可包含以下三種離開方式：4人中有3個人在同一層離開，另一人在其余8層中任一層離開，共有種可能結(jié)果；4人同時離開，有種可能結(jié)果；4個人都不在同一層離開，有種可能結(jié)果，故（4） D=.故37. n個朋友隨機地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：（1） 甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n個人并排坐在長桌的一邊，求上述事件的概率.【解】 （1） (2) (3) 38.將線

17、段0，a任意折成三折，試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率【解】 設(shè)這三段長分別為x,y,a-x-y.則基本事件集為由0<x<a,0<y<a,0<a-x-y<a所構(gòu)成的圖形，有利事件集為由構(gòu)成的圖形，即如圖陰影部分所示，故所求概率為.39. 某人有n把鑰匙，其中只有一把能開他的門.他逐個將它們?nèi)ピ囬_（抽樣是無放回的）.證明試開k次（k=1,2,n）才能把門打開的概率與k無關(guān).【證】 40.把一個表面涂有顏色的立方體等分為一千個小立方體，在這些小立方體中，隨機地取出一個，試求它有i面涂有顏色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.【解】 設(shè)Ai=小立方體有i面涂有

18、顏色，i=0,1,2,3. 在1千個小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的，這樣的小立方體共有8個.只有位于原立方體的棱上（除去八個角外）的小立方體是兩面涂色的，這樣的小立方體共有12×8=96個.同理，原立方體的六個面上（除去棱）的小立方體是一面涂色的，共有8×8×6=384個.其余1000-（8+96+384）=512個內(nèi)部的小立方體是無色的，故所求概率為,.41.對任意的隨機事件A，B，C，試證P（AB）+P（AC）-P（BC）P(A).【證】42.將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的概率.【解】 設(shè)=杯中球

19、的最大個數(shù)為i,i=1,2,3.將3個球隨機放入4個杯子中，全部可能放法有43種，杯中球的最大個數(shù)為1時，每個杯中最多放一球，故而杯中球的最大個數(shù)為3，即三個球全放入一個杯中，故因此 或 43.將一枚均勻硬幣擲2n次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.【解】擲2n次硬幣，可能出現(xiàn)：A=正面次數(shù)多于反面次數(shù)，B=正面次數(shù)少于反面次數(shù)，C=正面次數(shù)等于反面次數(shù)，A，B，C兩兩互斥.可用對稱性來解決.由于硬幣是均勻的，故P（A）=P（B）.所以由2n重貝努里試驗中正面出現(xiàn)n次的概率為 故 44.擲n次均勻硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.【解】設(shè)A=出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)，B=出現(xiàn)反面次數(shù)多

20、于正面次數(shù)，由對稱性知P（A）=P（B）（1） 當n為奇數(shù)時，正、反面次數(shù)不會相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）=0.5(2) 當n為偶數(shù)時，由上題知45.設(shè)甲擲均勻硬幣n+1次，乙擲n次，求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率.【解】 令甲正=甲擲出的正面次數(shù)，甲反=甲擲出的反面次數(shù).乙正=乙擲出的正面次數(shù)，乙反=乙擲出的反面次數(shù).顯然有=（甲正乙正）=（n+1-甲反n-乙反）=（甲反1+乙反）=（甲反>乙反）由對稱性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）因此P(甲正>乙正)=46.證明“確定的原則”（Sure-thing）：若P（A|C）P(B|C)

21、,P(A|)P(B|)，則P（A）P(B).【證】由P（A|C）P(B|C),得即有 同理由 得 故 47.一列火車共有n節(jié)車廂，有k(kn)個旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一個旅客的概率.【解】 設(shè)Ai=第i節(jié)車廂是空的，（i=1,n）,則其中i1,i2,in-1是1，2，n中的任n-1個.顯然n節(jié)車廂全空的概率是零，于是故所求概率為48.設(shè)隨機試驗中，某一事件A出現(xiàn)的概率為>0.試證明：不論>0如何小，只要不斷地獨立地重復做此試驗，則A遲早會出現(xiàn)的概率為1.【證】在前n次試驗中，A至少出現(xiàn)一次的概率為49.袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印

22、有國徽）.在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽.試問這只硬幣是正品的概率是多少？【解】設(shè)A=投擲硬幣r次都得到國徽B=這只硬幣為正品由題知則由貝葉斯公式知50.巴拿赫（Banach）火柴盒問題：某數(shù)學家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴時（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？【解】以B1、B2記火柴取自不同兩盒的事件，則有.（1）發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒恰剩r根，說明已取了2n-r次，設(shè)n次取自B1盒（已空），n-r次取自B2盒，第2n-r+1次拿起B(yǎng)1，發(fā)現(xiàn)已空。把取2n-r次火柴視作2n-r重貝努里試驗，則所求概率為式中2反映B1與B2盒的對稱性（即也可以是B2盒先取空）.（2） 前2n-r-1次取火柴，有n-1次取自B1盒，n-r次取自B2盒，第2n-r次取自B1盒，故概率為51.求n重貝努里試驗中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.【解】 設(shè)在一次試驗中A出現(xiàn)的概率為p.則由以上兩式相減得所求概率為若要求在n重貝努里