極限思想在解壓軸題中的運(yùn)用

1、極限思想在解高考?jí)狠S題中的運(yùn)用 摘 要：盡管函數(shù)與數(shù)列的極限已經(jīng)從高中教材被刪掉了，但數(shù)學(xué)中長(zhǎng)期以來(lái)形成的極限原理和極限思想在探索問(wèn)題與解決問(wèn)題中的作用是難以被替代的，尤其是對(duì)特優(yōu)生的培養(yǎng)，我們更應(yīng)該加強(qiáng)他們極限思維的訓(xùn)練，提升其靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問(wèn)題的能力。關(guān) 鍵 詞：極限 轉(zhuǎn)化與化歸 洛必達(dá)法則 眾所周知，高考不但重視數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用而且更加注重思維品質(zhì)、思想方法的考查，尤其知識(shí)交匯處的題目在高考?jí)狠S題中屢見(jiàn)不鮮。從近幾年全國(guó)各地壓軸題的命題視角上看，試題多在遞推數(shù)列、數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)與不等式、解析幾何等等知識(shí)交匯處出現(xiàn)，著重考查學(xué)生的綜合運(yùn)用知識(shí)的能力、知識(shí)遷

2、移能力以及創(chuàng)新能力。這需要學(xué)生熟練掌握函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想、有限與無(wú)限思想、或然與必然思想以及臨界與極限思想。而極限思想在我們平時(shí)學(xué)習(xí)與生活中隨處都在用，在邊緣知識(shí)的研究和邊緣學(xué)科的發(fā)展與創(chuàng)新中確還不可或缺。通過(guò)對(duì)近幾年高考題的研究，很多壓軸題如果尋常規(guī)，不但不容易想到方法而且即使想到方法計(jì)算量也很大。如果我們能挖掘出題目中的極限思想，應(yīng)用極限知識(shí)來(lái)解決，就會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。下面結(jié)合近幾年考試題進(jìn)行展示，以求拋磚引玉。例1（2010大綱全國(guó)卷理數(shù)22題）已知數(shù)列中， .（）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求使不等式成立的的取值范圍 .注：此

3、題第二問(wèn)難度相當(dāng)大，參考答案用到了數(shù)學(xué)歸納法、分類討論思想、迭代思想。實(shí)際上，如果我們充分認(rèn)識(shí)題目所給條件的內(nèi)在含義“單調(diào)遞增且存在極限，且極限在內(nèi)”那么這個(gè)問(wèn)題就相當(dāng)簡(jiǎn)單了。解：（）由題由將其代人式整理得，所以。又。 （）因?yàn)椋詥握{(diào)遞增且存在極限。又，設(shè)則。由。另外，。綜上，。例2（2008遼寧理數(shù)22題）設(shè)函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間和極值;（）是否存在實(shí)數(shù),使得關(guān)于的不等式的解集為?若存在,求的取值范圍;若不存在,試說(shuō)明理由.注：（1）此題第二問(wèn)看起來(lái)就是一個(gè)最值問(wèn)題，但是由于是開(kāi)區(qū)間，所以令很多人無(wú)功而返。為了避免這個(gè)問(wèn)題參考答案應(yīng)用了高等數(shù)學(xué)里的級(jí)數(shù)思想。實(shí)際上，只要我們運(yùn)用極限知識(shí)，

4、這類問(wèn)題也是可以解決的。（2）為了說(shuō)明極限思想在解題中的優(yōu)越性，這里簡(jiǎn)要介紹洛必達(dá)法則：對(duì)于型與型函數(shù)的極限，它等于把它的分子、分母分別求導(dǎo)后其商的極限。解：（）的增區(qū)間為，減區(qū)間為。的極大值為，沒(méi)有極小值。（過(guò)程略）（）存在實(shí)數(shù),使得關(guān)于的不等式的解集為。由題只需，所以由問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的最小值了。由（）我們知道函數(shù)在區(qū)間的兩端取得最小值，由洛必達(dá)法則得。 另外，。即，所以。例3（2010大綱全國(guó)卷理數(shù)22題）設(shè)函數(shù)（）證明：當(dāng)時(shí)，；（）設(shè)當(dāng)時(shí)，求a的取值范圍注：此題第一問(wèn)考查構(gòu)造函數(shù)的思想，應(yīng)該說(shuō)在導(dǎo)數(shù)那個(gè)地方我們經(jīng)常應(yīng)用，第二問(wèn)出題人是要想考查學(xué)生的分析問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想以及

5、分類討論思想，我們知道分類討論的分類標(biāo)準(zhǔn)是學(xué)生普遍感覺(jué)很困難的，又尤其是一些隱藏得比較深的問(wèn)題，就更加縮手無(wú)策了。對(duì)于這個(gè)題，如果我們靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，就可以把它轉(zhuǎn)化為直線斜率與函數(shù)的切線的斜率大小關(guān)系問(wèn)題，從而避免分類難的問(wèn)題了。解：（）證明：因?yàn)?，所?令，又單調(diào)遞增， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即。所以。（）解：當(dāng)時(shí)顯然成立。僅考慮，所以。令， ，即函數(shù)在遞增。另外，而（令，所以），所以單調(diào)遞增。我們知道表示圖像上點(diǎn)切線的斜率，現(xiàn)在單調(diào)遞增，即圖像上點(diǎn)切線的斜率越來(lái)越大。所以，要使成立，只需直線的斜率小于或等于函數(shù)在處的斜率就行了，即。而由在有意義，得。綜上，。例4（2013全國(guó)新課標(biāo)卷I理數(shù)12題）。，A. B. C. D. 解：本題選B。由已知為定值。所以點(diǎn)。又。即，即點(diǎn) 無(wú)限地向短軸的端點(diǎn)靠近，所以三角形的面積無(wú)限增大。 本題表面上看是一個(gè)單純的數(shù)列難題，如上解析卻把它當(dāng)作了集數(shù)列、橢圓、極限、數(shù)形結(jié)合的綜合題，無(wú)疑難度大大降低了。例5（2014福建理數(shù)20題）已知函數(shù) （I）求a的值及函數(shù)的極值； （II）證明：； （III）證明：。分析：?jiǎn)栴}（I）、（II）略。問(wèn)題（III）等價(jià)于：。令，另外，由洛必達(dá)法則則的圖像的下方（即）。所以原命題得證。隨著新課標(biāo)的推進(jìn)，高考考查知識(shí)的方式更靈活，考查知識(shí)的應(yīng)用能力將進(jìn)一步增