柯西中值定理和不定式極限

1、第二節(jié) 柯西中值定理和不定式極限一 柯西中值定理現(xiàn)給出一個形式更一般的微分中值定理定理6.5（柯西中值定理） 設(shè)函數(shù)f和g滿足；(i)在a,b上都連續(xù)；(ii)在(a,b)內(nèi)都可導(dǎo)；(iii)和不同時為零;(iv)g(a)g(b),則存在(a,b)，使得證 做輔助函數(shù) 易見F在a,b上滿足羅爾定理條件，故存在(a,b)，使得因為（否則由上式？也為零），所以可把上式改寫成式。 柯西中值定理有著與前兩個中值定理相類似的幾何意義。只是現(xiàn)在要把？這兩個函數(shù)寫作以x為參量的參數(shù)方程在uOv平面上表示一段曲線（圖65）.由于式右邊的表示連接該曲線兩端的弦AB的斜率，而式左邊的則表示該曲線上與x=相對應(yīng)的一

2、點C(g(),f()處的切線斜率。因此式即表示上述切線與弦AB互相平行。例1 設(shè)函數(shù)f在a,b（a0）上連續(xù), 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則存在(a,b)，使得f(b)-f(a)=證 設(shè)g(x)=lnx,顯然它在a,b上與f(x)一起滿足柯西中值定理條件，于是存在(a,b)，使得=上式整理后便得到所要證明的式。二 不定式極限 我們在第三章學(xué)習(xí)無窮?。ù螅┝侩A的比較時，已經(jīng)遇到過兩個無窮?。ù螅┝恐鹊臉O限。由于這種極限可能存在，也可能不存在，因此我們把兩個無窮小量或兩個無窮大量之比的極限統(tǒng)稱為不定式極限，分別記為型或型的不定式極限?，F(xiàn)在我們將以導(dǎo)數(shù)為工具研究不定式極限，這個方法通常稱為洛必達（LHo

3、spital）法則。柯西中值定理則是建立洛必達法則的理論依據(jù)。1型不定式極限定理6.6 若函數(shù)f和g滿足：（） f(x)= g(x)=0；（）在點x的某空心鄰域U(x)內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且g（）（）=A(A可為實數(shù)，也可為惑),則=A.證 補充義f(x)=g(x)=0，使得注意若將定理中6.6中x換成也可得到同樣的結(jié)論。例二 求解 容易檢驗故由洛必答法則求得如果例三 求例四 求解 這是型不定式極限，可直接運用洛必達法則求解。但若作適當變換，在計算上可方便些。為此，令時有，于是有=2. 型不定式極限（）（）在內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且（）例五 求解 由定理6.7，有注1 若不存在，并不能說明不存在（試想，這是

4、為什么？）注2 不能對任何比式極限都按洛必達法則求解。首先必須注意它是不是不定式極限，其次是否滿足洛比達法則的其他條件。下面這個簡單的極限，就會因右式的極限不存在得錯誤結(jié)論。3其他類型不定式極限不定式極限還有或型得極限例六 求解 這是一個型不定式極限。用恒等變形將它轉(zhuǎn)化為型的不定式極限，并應(yīng)用洛必達法則得到例求解 這是一個型不定式極限，按上例變形的方法，先求型極限：然后得到當k=0時上面所得的結(jié)果顯然成立。例 求解 這是一個型不定式極限。類似的先求其對數(shù)的極限型：，是有=e例求解這是一個型不定式極限，通分后化為型的極限，即 習(xí)題1試問函數(shù)在區(qū)間上能否應(yīng)用柯西中值定理得到相應(yīng)的結(jié)論，為什么？2設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，證明存在3設(shè)函數(shù)在a點處具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，證4設(shè)0證明存在使得5求下