柯西中值定理和不定式極限_第1頁
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1、第二節(jié) 柯西中值定理和不定式極限一 柯西中值定理現(xiàn)給出一個形式更一般的微分中值定理定理6.5(柯西中值定理) 設(shè)函數(shù)f和g滿足;(i)在a,b上都連續(xù);(ii)在(a,b)內(nèi)都可導(dǎo);(iii)和不同時為零;(iv)g(a)g(b),則存在(a,b),使得證 做輔助函數(shù) 易見F在a,b上滿足羅爾定理條件,故存在(a,b),使得因為(否則由上式?也為零),所以可把上式改寫成式。 柯西中值定理有著與前兩個中值定理相類似的幾何意義。只是現(xiàn)在要把?這兩個函數(shù)寫作以x為參量的參數(shù)方程在uOv平面上表示一段曲線(圖65).由于式右邊的表示連接該曲線兩端的弦AB的斜率,而式左邊的則表示該曲線上與x=相對應(yīng)的一

2、點C(g(),f()處的切線斜率。因此式即表示上述切線與弦AB互相平行。例1 設(shè)函數(shù)f在a,b(a0)上連續(xù), 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則存在(a,b),使得f(b)-f(a)=證 設(shè)g(x)=lnx,顯然它在a,b上與f(x)一起滿足柯西中值定理條件,于是存在(a,b),使得=上式整理后便得到所要證明的式。二 不定式極限 我們在第三章學(xué)習(xí)無窮?。ù螅┝侩A的比較時,已經(jīng)遇到過兩個無窮?。ù螅┝恐鹊臉O限。由于這種極限可能存在,也可能不存在,因此我們把兩個無窮小量或兩個無窮大量之比的極限統(tǒng)稱為不定式極限,分別記為型或型的不定式極限?,F(xiàn)在我們將以導(dǎo)數(shù)為工具研究不定式極限,這個方法通常稱為洛必達(LHo

3、spital)法則。柯西中值定理則是建立洛必達法則的理論依據(jù)。1型不定式極限定理6.6 若函數(shù)f和g滿足:() f(x)= g(x)=0;()在點x的某空心鄰域U(x)內(nèi)兩者都可導(dǎo),且g()()=A(A可為實數(shù),也可為惑),則=A.證 補充義f(x)=g(x)=0,使得注意若將定理中6.6中x換成也可得到同樣的結(jié)論。例二 求解 容易檢驗故由洛必答法則求得如果例三 求例四 求解 這是型不定式極限,可直接運用洛必達法則求解。但若作適當變換,在計算上可方便些。為此,令時有,于是有=2. 型不定式極限()()在內(nèi)兩者都可導(dǎo),且()例五 求解 由定理6.7,有注1 若不存在,并不能說明不存在(試想,這是

4、為什么?)注2 不能對任何比式極限都按洛必達法則求解。首先必須注意它是不是不定式極限,其次是否滿足洛比達法則的其他條件。下面這個簡單的極限,就會因右式的極限不存在得錯誤結(jié)論。3其他類型不定式極限不定式極限還有或型得極限例六 求解 這是一個型不定式極限。用恒等變形將它轉(zhuǎn)化為型的不定式極限,并應(yīng)用洛必達法則得到例求解 這是一個型不定式極限,按上例變形的方法,先求型極限:然后得到當k=0時上面所得的結(jié)果顯然成立。例 求解 這是一個型不定式極限。類似的先求其對數(shù)的極限型:,是有=e例求解這是一個型不定式極限,通分后化為型的極限,即 習(xí)題1試問函數(shù)在區(qū)間上能否應(yīng)用柯西中值定理得到相應(yīng)的結(jié)論,為什么?2設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo),證明存在3設(shè)函數(shù)在a點處具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),證4設(shè)0證明存在使得5求下

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