時(shí)針分針夾角問題解答

1、有關(guān)時(shí)針分針夾角的計(jì)算鐘表上的時(shí)針、分針你追我趕，始終圍繞中心按各自恒定的速度旋轉(zhuǎn)，兩針?biāo)傻膴A角也隨著時(shí)間的變化而變化。如何來計(jì)算兩針的夾角呢？通常我們以兩針各自正對(duì)鐘表面上“12”時(shí)為起始位置，以所計(jì)算角度時(shí)刻時(shí)針、分針暫停的位置為終止位置，兩針各自旋轉(zhuǎn)的角度之差為兩針的夾角。由于我們常說的角都是小于180度的，當(dāng)兩針夾角大于180度時(shí)，應(yīng)用周角360度減去兩針?biāo)D(zhuǎn)的夾角差為兩針的夾角。時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈是12小時(shí)，從起始位置旋轉(zhuǎn)到終止位置旋轉(zhuǎn)了360度，1小時(shí)旋轉(zhuǎn)了30度，1分鐘旋轉(zhuǎn)了0。5度；分針旋轉(zhuǎn)一圈是60分鐘，從起始位置旋轉(zhuǎn)到終止位置是360度，1分鐘旋轉(zhuǎn)了6度。一、整點(diǎn)兩針夾角的

2、計(jì)算例1 2點(diǎn)整時(shí)針分的夾角是多少度？分析：如圖1，時(shí)針從0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到2點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)了2×30°=60°；分針沒有旋轉(zhuǎn)，從0分到0分，轉(zhuǎn)了0°。所以兩針的夾角為60°-0°=60°。解：2×30°-0×6°=60°練習(xí)1：6點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針分針的夾角是多少度？8點(diǎn)整呢？（提示：當(dāng)所計(jì)算的夾角大于180度時(shí)，應(yīng)用周角360度減去兩針?biāo)D(zhuǎn)的夾角差為兩針的夾角。）  二、非整點(diǎn)兩針夾角的計(jì)算 例2 計(jì)算3點(diǎn)40分時(shí)兩針的夾角。 分析：如圖2所示，3點(diǎn)40分時(shí)

3、，時(shí)針以正對(duì)0點(diǎn)為始邊，以2以到3點(diǎn)40分時(shí)為終邊，旋轉(zhuǎn)角度為：3×30°40×0.5°=110°；分針以正對(duì)0分為始邊，以旋轉(zhuǎn)到40分時(shí)為終邊，旋轉(zhuǎn)角度為：40×6°=240°。分針旋轉(zhuǎn)角度大于時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度，所以兩針夾角為240°-110°=130度。解：如圖2所示，時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度為：3×30°40×0.5°=110°分針旋轉(zhuǎn)角度為：40×6°=240°兩針夾角為240°-110°=130

4、6;練習(xí)2：計(jì)算10點(diǎn)過5分時(shí)兩針的夾角。  三、已知兩針的夾角，求時(shí)間 例3 4點(diǎn)過多少時(shí)，時(shí)針與分針互相垂直？分析：存在兩種情況：（1）當(dāng)時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度大于分針旋轉(zhuǎn)角度時(shí)，如圖3，時(shí)針分針互相垂直；（2）當(dāng)分針旋轉(zhuǎn)角度大于時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度時(shí)，如圖4，時(shí)針分針互相垂直。解：（1）當(dāng)時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度大于分針旋轉(zhuǎn)角度時(shí)，如圖3，設(shè)4點(diǎn)過x分鐘時(shí)兩針互相垂直。由題得：（4×30+0.5x）6x=90120+0.5x6x=905.5x=30x=60/11   (2) 當(dāng)分針旋轉(zhuǎn)角度大于時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度時(shí)，如圖4，設(shè)4點(diǎn)過y分鐘時(shí)兩針互相垂直。由題得：6y

5、(4×300.5y)=906y1200.5y=905.5y=210y=420/11 答：4點(diǎn)過5 分或4點(diǎn)38 分時(shí)，時(shí)針與分針互相垂直。練習(xí)3：11點(diǎn)過多少分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角為60度？（提示：也存在兩種情況，一種是時(shí)針比分針旋轉(zhuǎn)角度大60度，另一種是時(shí)針比分針旋轉(zhuǎn)角度大360°60°=300°）四、時(shí)針與分針重合時(shí)的時(shí)間計(jì)算時(shí)針與分針重合時(shí)，時(shí)針與分針旋轉(zhuǎn)角度相等，因此，可列一元一次方程解決問題。例4 5點(diǎn)過多少分鐘時(shí)，時(shí)針與分針重合？解：設(shè)5點(diǎn)x分鐘時(shí)，兩針剛好重合。由題得：5×300。5x=6x5.5x=150x=27 答：5點(diǎn)過27

6、 分時(shí)，時(shí)針與分針重合。六年級(jí)專題講座(三)時(shí)鐘問題劉丹    鐘表是我們生活中重要的計(jì)時(shí)工具.鐘面上的分針，時(shí)針都在連續(xù)不斷的按規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng)著.時(shí)鐘問題是研究鐘面上時(shí)針和分針關(guān)系的問題.是特殊的,在圓周上的行程問題，如求分針時(shí)針重合，成角等有趣的問題.研究此類問題對(duì)提高思維能力很有益處。為解好這類問題應(yīng)掌握以下基礎(chǔ)知識(shí).即特殊常用關(guān)系式.講座：    1鐘面的一周分為60格,每格為6°.每個(gè)數(shù)字間隔為5個(gè)格為30°.分針每分鐘走一格,為6°.時(shí)針每分鐘走格.為0.5°.分針?biāo)俣?/p>

7、是時(shí)針的12倍，時(shí)針?biāo)俣仁欠轴樀?    2時(shí)針和分針在重合狀態(tài)時(shí)，分針每走60÷(1)=65(分),再與時(shí)針重合一次.    3. 若在初始時(shí)刻兩針相差的格數(shù)為a,分針在后，則后者趕上前者的時(shí)間為:a÷(1)(分)    4.兩針垂直,表示它們所成最小角是90°.例題：現(xiàn)舉幾例闡述解題方法與思路.例1 現(xiàn)在是12點(diǎn),分針與時(shí)針重合.問再過幾分鐘兩針第一次重合?解：由上面給出的公式得:  60÷(1)=65(分)答:

8、再過65(分)兩針重合例2 現(xiàn)在是3點(diǎn)，問什么時(shí)間時(shí)針與分針第一次重合？分析: 3點(diǎn)時(shí),分針指在12處，時(shí)針指在3處.分針在時(shí)針后5×315（個(gè)）格.答:所求時(shí)刻為3點(diǎn)16分。例3當(dāng)5點(diǎn)08分時(shí)，求時(shí)針與分針?biāo)山嵌冉猓?點(diǎn)時(shí)分針與時(shí)針成6×25=150° 8分鐘分針走了48°，時(shí)針走了48°×=4°.    所以此時(shí)分針多轉(zhuǎn)過了484=44°。兩針成角為15044=106°.答：5點(diǎn)08分時(shí)，時(shí)針與分針成106°.例4：在10點(diǎn)與11點(diǎn)之間，鐘面上時(shí)針和

9、分針在什么時(shí)刻垂直？解: 分兩種情況進(jìn)行討論若從時(shí)針到分針沿順時(shí)針方向上成90°角時(shí),如圖:    為達(dá)到兩針成90°角,在這段時(shí)間內(nèi)，分針要比時(shí)針多走 5（個(gè)）格，    由上述公式得:    5÷(1)=5(分)  若在順時(shí)針方向上分針與時(shí)針成90°角：    由于在10點(diǎn)整時(shí)分針落后時(shí)針5×10=50（個(gè)）格，成90°時(shí)只落后15個(gè)格，  &

10、#160; 所以在這段時(shí)間內(nèi)，分針要比時(shí)針多走50-15=35（個(gè)）格，因此到達(dá)這一時(shí)刻分針應(yīng)走    35÷(1)=38 (分)例5 在9點(diǎn)與10點(diǎn)之間的什么時(shí)刻，分針與時(shí)針在一條直線上？分兩種情況進(jìn)行討論.  若分針與時(shí)針的夾角為180°角： 當(dāng)分針與時(shí)針的夾角為180°角時(shí)，分針落后時(shí)針60×=30（個(gè)）格，而在9點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針5×9=45（個(gè)）格.因此，在這段時(shí)間內(nèi)分針要比時(shí)針多走45-30=15（個(gè)）格， 由公式得:15÷(1)=16(分)  分針與

11、時(shí)針的夾角為0°，即分針與時(shí)針重合：    因?yàn)?點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針5×9=45（個(gè)）格，而當(dāng)分針與時(shí)針重合時(shí)，分針要比時(shí)針多走45個(gè)格，因此到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)間為    45÷(1-)=49(分)例6 分針和時(shí)針在數(shù)字“12”的兩邊，時(shí)針在11和12之間，分針在12和1之間。問再過多少分鐘兩針交換位置.解： 兩針交換位置表明：分針轉(zhuǎn)到原時(shí)針位置，時(shí)針轉(zhuǎn)到原分針位置，兩針合計(jì)轉(zhuǎn)過了60格.所以經(jīng)過了    60÷（1+）=55（分）

12、答： 再過55分兩針交換位置.例7. 小龍?jiān)?點(diǎn)與8點(diǎn)之間解了一道題.開始時(shí),分針與時(shí)針正好在一條直線上，解完題時(shí),兩針正好重合，問：(1)小龍解題的起始時(shí)間？(2)小龍解題共用了多少時(shí)間？解： 要求出小龍解題共用了多少時(shí)間，必須先求出小龍解題開始時(shí)是什么時(shí)刻，解完題時(shí)是什么時(shí)刻.  小龍開始解題時(shí)的時(shí)刻：    因?yàn)樾↓堥_始解題時(shí)，分針與時(shí)針正好成一條直線，也就是分針與時(shí)針的夾角為180°，此時(shí)分針落后時(shí)針60× =30（個(gè)）格，而7點(diǎn)整時(shí)分針落后時(shí)針5×735（個(gè)）格，因此在這段時(shí)間內(nèi)分針要比時(shí)針多走

13、5個(gè)格，由公式得：5÷（1）=5(分)    所以開始時(shí)間為 7點(diǎn)5分  小龍解題結(jié)束時(shí)的時(shí)刻：    因?yàn)樾↓埥忸}結(jié)束時(shí)，兩針正好重合，那么從7點(diǎn)整到這一時(shí)刻分針要比時(shí)針多走35個(gè)格，因此這段時(shí)間為：    35÷(1)=38 (分)    因此小龍解題結(jié)束時(shí)間為： 7點(diǎn)38分.這樣小龍解題所用時(shí)間為： 385=32(分)答：小龍開始解題時(shí)間是7點(diǎn)5分，于7點(diǎn)38分結(jié)束，共用了32分鐘. 例8一時(shí)鐘的時(shí)針

14、與分針均指在4與6之間，且鐘面上的“5”字恰好在時(shí)針與分針的正中央，問這時(shí)是什么時(shí)刻？解： 由于現(xiàn)在可以是4點(diǎn)多，也可以是5點(diǎn)多，所以分兩種情況進(jìn)行討論：先設(shè)此時(shí)是4點(diǎn)多.如圖(a)    4點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針指4，分針指12.從4點(diǎn)整到現(xiàn)在“5在時(shí)針與分針的正中央”，分針走的格數(shù)多于25，少于30，時(shí)針走不足5格.由于5到分針的格數(shù)等于5到時(shí)針的格數(shù)，相當(dāng)由于分針到6的格數(shù)等于時(shí)針到4的格數(shù)，所以時(shí)針與分針在這段時(shí)間內(nèi)共走30格.又由于    再設(shè)此時(shí)是5點(diǎn)多.如圖(b)    

15、5點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針指5，分針指12.從5點(diǎn)整到現(xiàn)在“5在時(shí)針與分針的正中央”，分針走的格數(shù)多于20格少于25格，時(shí)針走的數(shù)不足5格，由于5到分針的格數(shù)等于5到時(shí)針的格數(shù)，同上面的分析一樣，時(shí)針與分針在這段時(shí)間內(nèi)共走25格.    因此，從5點(diǎn)整到圖（b）鐘面上這種狀態(tài)共用了25÷（1+）=23（分）    所以此時(shí)是5點(diǎn)23分答：此時(shí)是4點(diǎn)27分 也可是5點(diǎn)23分. 例9：小李的表比標(biāo)準(zhǔn)鐘慢兩分，小劉的表比標(biāo)準(zhǔn)鐘快兩分。8點(diǎn)時(shí)兩人把表對(duì)準(zhǔn)。問:小李的表是12點(diǎn)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是幾點(diǎn)幾分？小劉的表是幾點(diǎn)幾分？解：

16、由已知條件得： 小李的表每小時(shí)走58分，小劉的表每小時(shí)走62分.    小李的表，標(biāo)準(zhǔn)鐘，小劉的表的速度比為 586062.    由8點(diǎn)到12點(diǎn)，小李的表走了240分，則標(biāo)準(zhǔn)鐘應(yīng)走 240×=248分，    小劉的表應(yīng)走 240×=256分。 答：標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是8點(diǎn)8分.小劉的表是8點(diǎn)16分.習(xí)題：*1、1點(diǎn)到2點(diǎn)之間，時(shí)針與分針在什么時(shí)候重合？2、11點(diǎn)到12點(diǎn)之間，時(shí)針與分針在什么時(shí)候重合？3、在5 點(diǎn)到6點(diǎn)之間，時(shí)針與分針何時(shí)成直角？4、在4點(diǎn)到5

17、點(diǎn)之間時(shí)針與分針何時(shí)成一條直線？5、在3點(diǎn)到4點(diǎn)之間時(shí)針與分針何時(shí)成60°角？6、觀察在鏡面反射后的鐘面的指針位置，并說出：    （1）兩鐘面所表示的實(shí)際時(shí)刻；    （2）兩鐘面的時(shí)間差.7、鐘敏家有一個(gè)鬧鐘，每時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快2分.星期天上午9點(diǎn)整，鐘敏對(duì)準(zhǔn)了鬧鐘，然后定上鈴，想讓鬧鐘在11點(diǎn)半鬧鈴，提醒她幫助媽媽做飯。鐘敏應(yīng)當(dāng)將鬧鐘的鈴定在幾點(diǎn)幾分上？8、小翔家有一個(gè)鬧鐘，每時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢2分。有一天晚上9點(diǎn)整，小翔對(duì)準(zhǔn)了鬧鐘，他想第二天早晨6點(diǎn)40分起床，于是他就將鬧鐘的鈴定在了6點(diǎn)40分.這個(gè)鬧

18、鐘響鈴的時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的幾點(diǎn)幾分？*1.下面是某火車站列車發(fā)車及到達(dá)終點(diǎn)站的時(shí)刻表，你能按照規(guī)律：    （1）求出第六次列車起點(diǎn)站發(fā)車時(shí)刻和到達(dá)終點(diǎn)站的時(shí)刻？    （2）計(jì)算出這條線路一列火車行駛?cè)痰臅r(shí)間？2.一手表每小時(shí)慢4分鐘，下午4點(diǎn)整將手表對(duì)準(zhǔn)，當(dāng)這只手表的指針指向晚9點(diǎn)整的時(shí)候，實(shí)際的時(shí)刻應(yīng)是幾點(diǎn)幾分？3.鐘面上7點(diǎn)整.（1）再過多少分鐘時(shí)針與分鐘首次重合？（2）過多少分鐘時(shí)針與分針首次成平角？*某鐘面的指針指在9點(diǎn)多的哪一時(shí)刻時(shí)，時(shí)針與分針指的位置與12的距離相等？*1、1點(diǎn)分2、12點(diǎn)3、5點(diǎn)分

19、與5點(diǎn)分4、4點(diǎn)分5、3點(diǎn)分或3點(diǎn)分6.（l） 7時(shí) 55分， 5時(shí)40分.（2） 2小時(shí) 15分鐘.    觀察兩圖，由鏡面反射原理知：（l）第一個(gè)鏡面（如圖甲）表示的時(shí)刻為 7時(shí)55分；第二個(gè)鐘面（如圖乙）表示的時(shí)刻為 5時(shí)40分.（2）它們的時(shí)間差為： 2小時(shí) 15分鐘.7、11點(diǎn)35分8、 7點(diǎn)整*1.（1） 10點(diǎn)20分. 12點(diǎn)25分.   （2） 2小時(shí)5分鐘.    觀察列車時(shí)刻表：第一次列車與第二次列車，第二次列車與第三次列車發(fā)車時(shí)刻相隔時(shí)間均為45分鐘.第一次列車、第二次列車、第三次列車起點(diǎn)發(fā)車時(shí)刻與終點(diǎn)到達(dá)時(shí)刻相隔時(shí)間均為2小時(shí)5分鐘，綜上找到規(guī)律：相鄰兩次列車分發(fā)車時(shí)刻間隔45分鐘，每次列車行駛?cè)虝r(shí)間需2小時(shí)5分鐘，得出結(jié)論：第六次列車發(fā)車時(shí)刻為：10點(diǎn)20分，到達(dá)終點(diǎn)時(shí)刻為12點(diǎn)25分，這條線路火車行駛?cè)?/p>