第10章02直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算(1)

1、第2節(jié)直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算題目：給了有界閉區(qū)域及函數(shù)，計(jì)算。下面我們尋找計(jì)算的方法。首先，的計(jì)算與的特點(diǎn)有很大的關(guān)系。通?；緟^(qū)域有兩種：（看黑板圖）（1）型區(qū)域由曲線圍成，是在軸上的投影（課本上說：穿過區(qū)域的內(nèi)部且與軸平行的直線與區(qū)域的邊界曲線的交點(diǎn)不多于兩個(gè)這與小邊界和大邊界都能寫成函數(shù)是等價(jià)的。）（2）型區(qū)域由曲線圍成，是在軸上的投影 下面先設(shè)是型區(qū)域。的平面圖參見圖2.3。 我們已經(jīng)知道，當(dāng)時(shí)，其中是以為高以區(qū)域?yàn)榈椎那斨w的體積（圖2.2）（如果則二重積分是負(fù)體積，一般情況是體積的代數(shù)和）只要體積計(jì)算出來了，也就得到了二重積分。圖2.3圖2.2分布在軸的區(qū)間。任意給定，設(shè)平面

2、截曲頂柱體得到截面面積是，則我們先固定算出。截面是以為底以為高的曲邊梯形（圖2.2）。所以因此，約定：。方法總結(jié)：只要在上可積，如果是型區(qū)域，則（是在軸上的投影；小x邊界和大x邊界的找法：，截得截線如圖2.3。）如果是型區(qū)域，則（是在軸上的投影；小y邊界和大y邊界的找法：，截得截線）（把二重積分轉(zhuǎn)化為做兩次定積分！稱為二次積分）里層積分的上下限總是外層變量的函數(shù)。做里層積分時(shí)，外層變量固定為常數(shù)。里層定積分的結(jié)果是外層變量的函數(shù)。小技巧：如果你只熟悉（）型區(qū)域的計(jì)算，在整個(gè)題中，把改成把改成，區(qū)域就變型了。結(jié)果不變。（黑板解析）上面的方法是總結(jié)出來的，沒有嚴(yán)格的證明。我們也不去追求嚴(yán)格證明了。

3、將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分的關(guān)鍵是確定二次積分的積分限。得畫出積分區(qū)域的草圖，弄清楚的表示或圍成的曲線 若積分區(qū)域既不是型區(qū)域，又不是型區(qū)域，可利用重積分的可加性，把分割成若干型或型的部分進(jìn)行計(jì)算?！纠?.1】將二重積分化為二次積分，其中為圍成的位于第一象限部分的閉區(qū)域解 畫出三條曲線就得到區(qū)域的草圖（圖2.4、圖2.5），求出曲線的交點(diǎn)(1)視為型區(qū)域（圖2.4），將投影到軸，得。小邊界，大邊界。區(qū)域表示為，故圖2.4圖2.5(2)視為型區(qū)域（圖2.5），將投影到軸，得。小邊界，大邊界。區(qū)域可表示為：，故注 如果區(qū)域既是型又是型區(qū)域，二重積分可用二種不同次序的二次積分來計(jì)算不同次序的二次積分，

4、計(jì)算過程的繁簡可能不同。因此，要學(xué)會(huì)根據(jù)不同的情形，選擇適當(dāng)?shù)姆e分次序二重積分化為二次積分的關(guān)鍵在于二次積分的積分限的確定所以在學(xué)習(xí)的過程中，要熟練的掌握二次積分的定限方法（黑板并列兩種區(qū)域、兩種二次積分作總結(jié)。）【例2.2】計(jì)算二重積分，其中由曲線圍成解畫出三曲線就得到區(qū)域的草圖(圖2.6)求出的邊界曲線的交點(diǎn)，解得，（舍）觀察可得，視為型區(qū)域，計(jì)算較為簡便將區(qū)域投影到軸上，得。小邊界，大邊界。區(qū)域表示為：圖2.6圖2.7如果把視為型區(qū)域，將區(qū)域投影到軸上，得。大邊界，而小邊界有兩段：和。小邊界的表達(dá)式不一致。必須用直線把割成兩塊計(jì)算積分。方法總結(jié)：當(dāng)邊界的表示式不一致時(shí)，作適當(dāng)分割?！纠?

5、.3】計(jì)算解此題給出的是先對(duì)后對(duì)的二次積分，但由被積函數(shù)的形式知，若直接計(jì)算較復(fù)雜，而從二次積分的積分限知，積分區(qū)域較簡單，故可考慮先交換積分次序再計(jì)算畫出區(qū)域的草圖(圖2.7)將視為型區(qū)域可得，則有思考題：1計(jì)算二重積分，其中是以，為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域【例2.4】求，其中解困難在于被積函數(shù)有絕對(duì)值符號(hào)必須先把絕對(duì)值符號(hào)除掉。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，。所以，用直線將區(qū)域劃分成兩部分(圖2.8)：，圖2.8都看作型區(qū)域。故方法總結(jié)：當(dāng)被積函數(shù)有絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，用曲線分割積分區(qū)域再計(jì)算。【例2.5】求由曲面所圍的立體的體積解畫出六平面就得到所圍的立體，如圖2.9所示。立體的底：將立體向面投影，得投影區(qū)域（圖2.1

6、0），其中，都視為型區(qū)域。立體的高度函數(shù)：。圖2.9圖2.10故立體的體積為思考題：2定積分的上限可大于也可小于下限，重積分化為二次積分后，其上限是否可小于下限為什么？（不行。下限是小邊界，上限是大邊界。）3當(dāng)二重積分的被積函數(shù)中含有絕對(duì)值函數(shù)，符號(hào)函數(shù)，取大或取小等特殊函數(shù)時(shí)，如何計(jì)算二重積分的值？（分割。）習(xí)題10-2A類設(shè)在區(qū)域上連續(xù),將化為上的二次積分（兩種次序）*(1)；(2)；(3)；(4)由，圍成交換下列二次積分的次序：(1) ；*(2)；(3) ；(4) 很多時(shí)候（也許考試時(shí)候）要交換積分次序。方法如下：（i）畫曲線得到積分區(qū)域的草圖。把所給二次積分還原為二重積分 （ii）再把

7、視為型區(qū)域，寫出另一個(gè)二次積分。（i'）畫曲線得到積分區(qū)域的草圖。把所給二次積分還原為二重積分（ii）再把視為型區(qū)域，寫出另一個(gè)二次積分。解 (4) 。畫圖如黑板。計(jì)算下列二重積分：(1)，為曲線，所圍的區(qū)域；(2)，；*(3)，其中由，圍成；*(4)，其中是以，和為頂點(diǎn)的三角形；(5)，其中由，圍成；(6)，其中(2)，；解 （2）圖見黑板。 (6)，其中（6）分割除掉絕對(duì)值符號(hào)。4計(jì)算下列二次積分(1)；*(2)；(3)；(4)；(5)*(6)解（6）（后面的積分請(qǐng)看黑板）5計(jì)算由下列曲線所圍的平面圖形的面積：(1)與；(2)與，其中；*(3)，及；*(4)，所圍的位于第一象限的部分解（4）黑板看圖。所求面積6求下列曲面所圍立體的體積：(1)，所圍成的立體被平面及所截得的立體；(2)，所圍的立體；(3)，所圍成的立體B類計(jì)算，是