兩個互成角度的平面鏡成像規(guī)律的研究

1、兩個互成角度的平面鏡成像規(guī)律的研究廣東省珠海市第五中學 林遂弟內(nèi)容提要：本文運用中學數(shù)學的極坐標知識及中學物理光的反射定律，研究得出任意位置的物體通過互成任意角度的兩個平面鏡所成的像的位置及個數(shù)的規(guī)律，并介紹此規(guī)律在教學中的應用。關鍵詞：兩個平面鏡成像規(guī)律一、 從教學中引出的問題及思考 高二課外培優(yōu)小組的學生在學習了第七章光的反射和折射后，就兩道兩平面鏡組合成像的問題請教老師。 題1：如圖1，兩平面鏡M、M平行且兩鏡 面相對，兩鏡間一物點S到M距離3cm，到M距離7cm，求離S點最近的5個像的位置。 題2：如圖2，兩平面鏡鏡面的夾角為此60°， 兩鏡面間有一物點S，S一共可成幾個像？

2、上述兩題，均可以通過作圖法分析得出答案。 圖1但是，作圖難免有誤差，因此，作出像點的位置就不很準確，甚至會使作圖得到的成像個數(shù)與實 際不符，其次，兩鏡面所成夾角的大小有無數(shù)種 圖情況，不可能對每一角度都作圖分析，特別是當兩鏡面夾角很小時，所成像的個數(shù)很多，若采用作圖法更加困難，且不準確。 圖2 如何通過計算式確定每一像點的位置，每一像點的位置及成像的個數(shù)與鏡面夾角有何關系呢？對此問題，我查閱課本、教參書及其他有關資料，都找不到有關這一問題的論述。因此，我反復對這一問題進行實驗和研究。二、對兩平面鏡組合成像規(guī)律的研究 通過實驗發(fā)現(xiàn)，當兩鏡面夾角在0°到180°間變化時，越大，

3、像的個數(shù)越少。對此，我曾試圖應用平面幾何有關邊角關系、利用平面解析幾何知識，建立平面直角坐標系及兩點間的距離公式、點到直線距離公式、兩直線垂直關系求垂足坐標等方法來研究本問題，結 果都因為計算太繁雜，無法找出其規(guī)律，于是我改用平面解析幾何中的極坐標知識來討論，比較簡便地得出其規(guī)律，下面介紹其推導過程。 設兩平面鏡M、M鏡面夾角為（單位為度，本文所述角度均以度為單位，0°180°），兩鏡面間有一物點S，分別通過兩鏡面的直線相交于0點，且使這兩直線及物點S也處于同一平面上，令OSR，OS與M的鏡面夾角為，建立如下極坐標系：以O點為極點，以通過M的射線OM為極軸（如圖3），根據(jù)平

4、面鏡成像的特點，則物點S及各像點S1、S2、S3、S4、.的極坐標標示如圖（圖中用奇數(shù)下標表示的像點S1、S3、S5、S7、為通過平面鏡M所成的像點，用偶數(shù)下標表示的像點2、4、6、8、為通過平面鏡所成的像點）。、 各像點的位置由圖可以看到，物點和各像點1、2、3、4、都在以為圓心，半徑為的圓周上，各像點的位置可以用極坐標的極徑和極角確定，各像點的極角如下表（表中3，7，11，15，等奇數(shù)）。 且像點n與n-1的極角互為相反數(shù)。像點極角像點極角123（）45（）67（）89（）10n-1n n+1n+2 、成像的個數(shù) 由圖可以看到，12，3OS4，56，78，91010，其余類推。因此可以得出

5、：當兩平面鏡鏡面夾角為°（0°180°）時，物點經(jīng)兩平面鏡所成的像的個數(shù)為 2×360°÷2 即360÷對上式，有幾點必須說明：（1）.當m為偶數(shù)時，成像個數(shù)為m，但最后兩個像重合于同一點，且在SO直線上，該點與O點距離等于OS，所以實際看到的像是（m）個。例如，當60°時，成個像，而實際看到的像是個（如圖）。 圖4 圖5（）當為奇數(shù)時，成像個數(shù)與實際看到的像的個數(shù)都為。例如當°時，所成的像和實際看到的像都是個（如圖）。（）當為非整數(shù)時，成像個數(shù)與看到的像的個數(shù)一致，但可能是小于的最大整數(shù)，也可能是大于的

6、最小整數(shù)（不能采用四舍五入的規(guī)則），這要根據(jù)物點的位置而定。例如，當50°時，7.2，即成像可能是個也可能是個，當25°時，成個像（如圖），當10°時，成個像（如圖）。（）當°時，成像為無限多個。（）當180°時，即成像為個，實際看到的像是個，相當于單塊平面鏡成像的情況。（） 當兩鏡面的夾角大于180°時， 當物點在兩鏡背面的夾角的對角范圍內(nèi)時則成兩個像（否則只是單個平面鏡成像），因為此時從物點發(fā)出的光線經(jīng)其中一平面鏡反射后不能再射到另一平面鏡上(如圖8)。 圖三、兩平面鏡組合成像規(guī)律在教學中的應用得出上述規(guī)律之后，我為培優(yōu)小組的學生講解這個規(guī)律及推導過程，他們對這個規(guī)律表現(xiàn)出濃厚的興趣，并應用這個規(guī)律來解決課外練習上的同類問題。例如，學生在末掌握兩平面鏡組合成像的規(guī)律之前采用作圖法討論兩鏡面成30°角時的成像個數(shù)，有的成10個像，有的成11個像，有的成12個像（最后兩個像不重合），到底應成多少個像呢？學生覺得不可思議，當學生掌握這一成像規(guī)律后，就輕易地解決了這一問題。對此，學生的體會是：把作圖法和計算法結合起來，解答這類問題便更加簡單、準確。由此，我深深體會到，教師在教學中不但要幫助學生理解和掌握教材中已經(jīng)得出的規(guī)律，而且要善于歸納和推導教材中沒有給出的規(guī)律，以指導和幫助學生解決有關的問題，這對培養(yǎng)學生