2020屆黑龍江省哈爾濱第九中學(xué)高三上學(xué)期第二次考試數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、第1 1頁(yè)共 1616 頁(yè)2020 屆黑龍江省哈爾濱第九中學(xué)高三上學(xué)期第二次考試數(shù)學(xué)（文）試題、單選題【答案】故選：C.C.【點(diǎn)睛】算能力，屬于基礎(chǔ)題 25D D .2【答案】算出z. .【詳解】1 1.已知集合AA A.0,1B B.1,2x y logC C.1,2AIRB()D D.2,【解求出集合A、再利用補(bǔ)集和交集的定義可求出集合【詳1,log2,1 2,則eRB1,2，因此,AIeRB1,2. .本題考查交集和補(bǔ)集的混合運(yùn)算,同時(shí)也考查了對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)定義域的求解,考查計(jì)2 2 .設(shè)z3 4i1 i（i為虛數(shù)單位），則z【解利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)z z 表示為一般4i3 4i 1

2、 i1-i，因此,225_2第2 2頁(yè)共 1616 頁(yè)故選：B.B.【點(diǎn)睛】故選：B.B.第 2 2 頁(yè)共 1616 頁(yè)本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，涉及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題義可得出復(fù)數(shù)1 i 3 i的虛部. .【詳解】故選：C.C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)虛部的計(jì)算，涉及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 4 4.將函數(shù)f x、3sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵?4來(lái)的2倍,得到函數(shù)g x的圖象，貝yg x的解:析式為（: )A A .g x,3sin2xB B.g x、3 sin x 33C C .g x 3sin 4x D D.g

3、 x3 sin 4x 33【答案】B B【解析】 計(jì)算出每一步變換所得函數(shù)的解析式，進(jìn)而可得出函數(shù)y g x的解析式. .【詳解】將函數(shù)f x.3 sin 2x 的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)64y 3sin 2 x3sin 2x的圖象，4633 3 將復(fù)數(shù) z z 的共軛復(fù)數(shù)記作Z，則復(fù)數(shù)1 i 3 i的虛部是（A A 4【答案】C CB B.4C C 2D D 2【解析】 利用復(fù)數(shù)的乘法法則將復(fù)數(shù)1 i 3 i表示為一般形式，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定Q 1 i 3 i 4 2i，則1 i 3 i4 2i,該復(fù)數(shù)的虛部為2. .再將所2倍，得到函故選：B.B.第 2 2 頁(yè)共 1616 頁(yè)圖象

4、，第5 5頁(yè)共 1616 頁(yè)【點(diǎn)睛】【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，涉及三角形重心的向量性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值的計(jì)算，涉及輔助角公式的應(yīng)用，求出角的值是解答的關(guān)鍵，考查 計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題本題考查利用三角函數(shù)圖象變換求函數(shù)解析式,考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題uuur5 5 已知G為ABC的重心，且AGuuu uuuxAB yBC，則x、y的值分別為(1122A A .B B.3333【答案】 D D【解析】利用三角形重心的向量性質(zhì)得出入即可得出結(jié)果 AG 1AB 1AC，再將AC AB BC代33由于G為ABC的重心，則uuuv 1 uuv1 uuu

5、v 1 uuvAG AB -AC AB33321因此，x -,y -331uuvuuv2 uuv 1 uuivABBC AB -BC,333于基礎(chǔ)題 6 6 .已知sin、3cos 2，則tanA A J JB B.三33【答案】A A【解析】利用輔助角公式結(jié)合已知條件求出【詳解】Q sin “3 cos 2sin2,32k k Z,32則2k k Z，因此，tan故選：A.A.( )C C.、3D D.3的值，即可計(jì)算出tan的值. .sin1，可得33【詳故選：D.D.第6 6頁(yè)共 1616 頁(yè)7 7設(shè)an為等差數(shù)列，ai22,S.為其前n項(xiàng)和，若綣 色3，則公差 d d ()()A A

6、-2-2【答案】A A【詳解】本題選擇 A A 選項(xiàng). .【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的前 n n 項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系， 等差數(shù)列公差的計(jì)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力_n 1*.an的前n項(xiàng)和Sna 21 n N,其中a是常數(shù)，則a【答案】A A的表達(dá)式可求得實(shí)數(shù)a的值. .【詳解】故選：A.A.【點(diǎn)睛】屬于中等題 B B -1-1【解析】 由題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和前n n 項(xiàng)和的定義求解公差即可由題意可得：3a12a11a12a13S13Sio0,則3,20，等差數(shù)列的公差da12Q12 10 22211. .8 8.已知等比數(shù)列【解析】由anS1，n 1求出數(shù)列Sn &

7、1,n 2an的通項(xiàng)公式，再由a,滿足an在n 2時(shí)由于等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sna2n當(dāng)n 1時(shí),a,Si當(dāng)n 2時(shí),anSnSm a 2n1由題意可知,n 21滿足ana 2 a即a 1-，解得a 2.本題考查利用前n項(xiàng)和公式判斷等比數(shù)列,求出通項(xiàng)公式是解答的關(guān)鍵， 考查計(jì)算能力,第7 7頁(yè)共 1616 頁(yè)9 9.已知等比數(shù)列an中，有a3a114a?，數(shù)列g(shù)是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,且bya7，則S13()第8 8頁(yè)共 1616 頁(yè)【答案】2【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q q，利用等比性質(zhì)可得a7合S3136，即可得到結(jié)果【詳解】 設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q q, /玄3印14a

8、7, a；4a?工 0 解得a?= 4 4,數(shù)列bn是等差數(shù)列，且b?a?.13 aiai3- Si3- 13b713a?522故選 B B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.1010 .在等差數(shù)列an中，a1a2a339,aaa627，則a.的前9項(xiàng)的和S9()A A.63B B.15C C.42D D.81【答案】D D【解析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求出a5的值，即可求得S9的值 【詳解】9 a1a?因此，S9- - 9a581 故選：D.D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列求和，靈活利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)，可簡(jiǎn)化計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題

9、1111.數(shù)列an滿足，1011，an an1 2a角1，是數(shù)列a a.a an 1前 5 5 項(xiàng)和為()48510B B. 5252C C. 7878D D . 1041044a7，即b7a7，再結(jié)由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得a4a5OJ3a527，解得a59,第9 9頁(yè)共 1616 頁(yè)A A .B B.C.D D .33333939【答案】C C【解析】 利用遞推公式求得a2,a3, a4,a5, a6的值 進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消求和法， 求得a2a2a3a3a4a4a5a5a6的值 【詳解】11由遞推公式anan 12ann 1，將a!，代入得aia?2aia?，解得a?3511將a?代入遞推公式得a?

10、a32 a?a3，解得a3. .同理解得571 1 1a49,a5廿6石，所以aa?a?a38384a4a5玄5玄611 1 11 1111 135 5 77 9911111311 1 111 111111 11523 5577 991111132 31339【點(diǎn)睛】本小題主要考查遞推公式求數(shù)列的前幾項(xiàng)，考查裂項(xiàng)求和法求數(shù)列前幾項(xiàng)的和. .屬于中檔題. .1212 .已知函數(shù)x|nx,x0f x，右xx 1,x0 x2且f x1f x?，則x1x2的最大值為（）A A .22B B.2C C近D D .1【答案】B B【解析】設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 捲，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交函數(shù)y f x于另一點(diǎn)B，

11、設(shè) 點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x2，并過(guò)點(diǎn)B作直線 y y x x 1 1 的平行線I，設(shè)點(diǎn)A到直線I的距離為d，計(jì)算出直線I的傾斜角為一，可得出X1x?J2d，于是當(dāng)直線I與曲線y xln x相4切時(shí)，d取最大值，從而 x?取到最大值【詳解】如下圖所示：13第1010頁(yè)共 1616 頁(yè)設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 論,過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交函數(shù)y f x于另一點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為X2，并過(guò)點(diǎn)B作直線 y y x x 1 1 的平行線I，設(shè)點(diǎn)A到直線I的距離為d，X x2逅d，由圖形可知，當(dāng)直線I與曲線y xlnx相切時(shí)，d取最大值，當(dāng)x 0時(shí)，f x xlnx,令f x Inx 11,得x 1，切點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，【

12、點(diǎn)睛】歸與轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題、填空題【答案】1536 313【解析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和向量投影的定義可得出結(jié)果【詳解】設(shè)向量a與b的夾角為，則b在a方向上的投影為故答案為：1536 3% % X X2max42 42 2，故選：B.B.本題考查函數(shù)零點(diǎn)差的最值問(wèn)題,解題的關(guān)鍵將考查化1313.已知向量a 5,12,b3,3乜，則b在a方向上的投影為此時(shí)，d1第1111頁(yè)共 1616 頁(yè)【點(diǎn)睛】 本題考查向量投影的計(jì)算，涉及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 1414 甲、乙、丙三人中，只有一個(gè)會(huì)彈鋼琴甲說(shuō)：我會(huì)”乙說(shuō)： 我不會(huì)”，丙說(shuō)：甲不會(huì)”如果這

13、三句話，只有一句是真的，那么會(huì)彈琴的是 _. .【答案】乙【解析】 根據(jù)合情推理，即可判斷出會(huì)彈琴的是乙.【詳解】若甲說(shuō)的是真的，則乙說(shuō)的假話，表明乙也會(huì)彈鋼琴，與題意矛盾；若乙說(shuō)的是真的，則甲說(shuō)的假話，表明甲不會(huì)彈鋼琴，丙說(shuō)的假話，表明甲會(huì)彈鋼琴，矛盾；若丙說(shuō)的是真的，則甲說(shuō)的假話，表明甲不會(huì)彈鋼琴，乙說(shuō)的假話，表明乙會(huì)彈鋼琴，符合題意.綜上，會(huì)彈琴的是乙.故答案為：乙.【點(diǎn)睛】本題主要考查合情推理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.11515 若函數(shù)f(x) 2xa 2x為奇函數(shù)，則不等式8f() 63a 0的解集為x【答案】(,0)(1，)3163【解析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)知f

14、(0) 0求出 a a 1 1，原不等式轉(zhuǎn)化為f(-)63=f(3),x 8又函數(shù) f f (x)(x)在R上為增函數(shù)，即可求解. .【詳解】因?yàn)?f(x)f(x)為奇函數(shù)，所以有f (0)1 a 0，得 a a 1 1 ,故f (x)2x2x,所以f (3)63. .81163不等式8 f ( )63a0可化為f ()xx81由函數(shù) f(x)f(x)在R上為增函數(shù)，可得丄3,第1212頁(yè)共 1616 頁(yè)x第1313頁(yè)共 1616 頁(yè)1解得：x或x 0. .311所以不等式的解集為,0丄， ，故填,0-,-,. .33【點(diǎn)睛】本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，不等式的解法，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題161

15、6 若ABC的面積為一 3 3a2c2b2，且C為鈍角，則-的取值范圍是 _4a【答案】2,I解析】利用三角形的面積公式和余弦定理可求得tanB .3,進(jìn)而得出B-，由C為鈍角得出0 A ,再利用正弦定理邊角互化思想得出-3，進(jìn)而可6a22ta nAc求得上的取值范圍 a【詳解】由三角形的面積公式和余弦定理得丄acs inB上324化簡(jiǎn)得sin B . 3 cos B，則tan B所以,c因此，匕的取值范圍是2,a故答案為：2,. .【點(diǎn)睛】2accosB,30Q C為鈍角，貝UA2，解得A孑所以0tan Ac sin Csin Asin Aa sin Asin A3sin A13si nA

16、cos A22sin A22 2ta nA考查三角形中邊長(zhǎng)比值取值范圍的計(jì)算,涉及三角形的面積公式、余弦定理以及正弦定第1414頁(yè)共 1616 頁(yè)理的應(yīng)用，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以角A為自變量的三角函數(shù)的值域問(wèn)題求解是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題第1515頁(yè)共 1616 頁(yè)三、解答題x 73 cos21717 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線 C C 的參數(shù)方程為_（ 為參數(shù)），直y J3si n線 I I 的方程為 y=kx.y=kx.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系；（1 1）求曲線 C C 的極坐標(biāo)方程；（2 2） 曲線 C C 與直線 I I 交于 A A、B B 兩點(diǎn)，若

17、OA OB =23，求 k k 的值. .【詳解】56，的傾斜角為6或云，則k tan1f或于【點(diǎn)睛】【答案】(1 1)2 24 cos 1 0(2 2) 2_!2_!或33【解析】（1 1）先將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，再根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公x式y(tǒng)cossin，即可求出曲線C的極坐標(biāo)方程；（2 2）設(shè)出直線 I I 的極坐標(biāo)方程0,n），與曲線C的極坐標(biāo)方程聯(lián)立,R,11(可得2cos1即可得到4cos1,1 210，根據(jù)的幾何意義可知,OA OB2 3，即可求出1，于是可得 k k 的值.(1)Q、.3cos4x所以曲線C的極坐標(biāo)方程為4 cos0. .（2 2）設(shè)直線l的極坐

18、標(biāo)方程為1(R,0,n），其中1為直線l的傾斜角,代入曲線C得24 cos10,設(shè)A,B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為Q OAcos24cos1,1 2OB1于，滿足0,216cos140,2、3,第1616頁(yè)共 1616 頁(yè)本題主要考查曲線的參數(shù)方程化極坐標(biāo)方程，以及極坐標(biāo)方程和 意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.1818.（ 1 1 ）已知函數(shù)f x 2 x a 2x b a 0,b0的最小值為2，求a與b的關(guān)系；（2 2）若a、b滿足（1 1 ）中的條件，求16a4b的最小值 【答案】（1 1）2a b 2；（2 2）8. .【解析】（1 1）利用絕對(duì)值三角不等式可求得函數(shù)y f x的最小值，

19、由此可得出a與b的關(guān)系；（2 2）將所求代數(shù)式變形為16a4b42a4b，利用基本不等式可求得16a4b的最小 值 【詳解】（1 1）由絕對(duì)值三角不等式得f x2 x a2x b2x2a2xb2a b，當(dāng)且僅當(dāng)2x2a2xb 0時(shí)取等號(hào)， 所以2ab2,又a0,b 0，所以2ab2；(2 2)由（1 1) 知2a b2,由基本不等式得16a4b42a4b2 42a4b2,42a b8，當(dāng)且僅當(dāng)2a b 1時(shí)取等號(hào)，所以16a4b的最小值為8. .【點(diǎn)睛】本題考查利用絕對(duì)值三角不等式求函數(shù)最值，同時(shí)也考查了利用基本不等式求和的最小值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 221919 .已知等差數(shù)列an的前

20、n項(xiàng)和為Sn,且滿足a4x S3x 2 0的解集為,1（1 1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；a（2 2） 若數(shù)列Cn滿足Cna2n2n，求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn. .【答案】（1 1）an2n 1； （2 2）Tn2n2n2（4n1）3S3922【解析】（1 1）由韋達(dá)定理可得 且，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，a47a47列方程解得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通項(xiàng)公式；（2 2）結(jié)合（1 1）求得cn4n 1 22n 1的幾何意義的應(yīng)用,第1717頁(yè)共 1616 頁(yè)運(yùn)用數(shù)列的分組求和，結(jié)合等比數(shù)列與等差數(shù)列的求和公式，即可得到所求和【詳解】S3922所以且a47a473a13d9a3d7，a13d

21、 741,d2，an2n 1. .（2 2）由（1 1）可得Cna2n2an弼1 22n 1，【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式以及等比數(shù)列的求和公式，分組求和法求數(shù)列前n項(xiàng)和，屬于中檔題. .利用分組求和法”求數(shù)列前n項(xiàng)和常見類型有兩種：一 是通項(xiàng)為兩個(gè)公比不相等的等比數(shù)列的和或差，可以分別用等比數(shù)列求和后再相加減； 二是通項(xiàng)為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的和或差，可以分別用等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和后再相加減. .22020 .已知函數(shù)f x cos 2x2cos x. .3(1) 求函數(shù)f x的單調(diào)增區(qū)間；(2)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,f A

22、0, a a 1 1, 求b c的取值范圍. .【答案】(1 1)k -,k k Z； (2 2)1,2. .63【解析】(1 1)利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)y f x的解析式為f x sin2x 1,然后解不等式2k 2x 2k -k Z，即可6 2 6 2（1）因?yàn)閍4x2S3x 2o的解集為7,1Tnn 3 4n 121 4 14n22n- -2n n 42 143第1818頁(yè)共 1616 頁(yè)解得函數(shù)y f x的單調(diào)遞增區(qū)間;（2 2）由f A 0結(jié)合角A的取值范圍可得出角A的值，然后利用正弦定理將b c表 示為以角B為自變量的三角函數(shù)， 并利用三角恒等變換思想將解析式化簡(jiǎn)， 求出角B

23、的 取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得b c的取值范圍 【詳解】（1 1）f xcos2x 32cos2x1、3cos2xsin 2x221 cos2xJsin2x-cos2x1 sin2x 1，226由2k-2x 2k -k Z，解得kxk - k Z，26263因此，函數(shù)y f x的單調(diào)遞增區(qū)間為k ,k k Z；63（2 2）由f xsin 2A10得sin 2A616Q Q 0 0 A A2A112A 解得A . .66 66231bc由正弦定理3sin Bsin C得2, 2sin B sin C2. f22143Bsin BsinBcosBV322b c.3-=sin Bsin

24、 -3、3sin BcosB2si nB舌.0B2 2r r5Q A由，可得0 B，則一B3，0A B3 366 6，1sin B -1，所以2sin B -1,2，所以bc的范圍是1,2266【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，同時(shí)也考查了三角形中邊長(zhǎng)之和取值范圍的求第1919頁(yè)共 1616 頁(yè)解，利用正弦定理將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問(wèn)題是解答的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;3(2(2)設(shè)bn2nan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和 T Tn. .4【答案】(1 1)ann3*nN； (2 2)4Tnn 1 2n 12. .【解析】(1 1)令f x0可得出x k丄k4Z，

25、根據(jù)題意確定數(shù)列an的首項(xiàng)和公差，即可求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2(2)求出bnn 2n，然后利用錯(cuò)位相減法可求得 T Tn. .【詳解】(1)f x 2019 sinx0 xk k Z44這就是函數(shù)y f x的全部零點(diǎn)1已知函數(shù)y f x的全部正數(shù)的零點(diǎn)構(gòu)成等差數(shù)列an，則其首項(xiàng)等于一，公差等于41. .因此，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tnn 1 2n 12. .【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，同時(shí)也考查了錯(cuò)位相減法求和，涉及三角函數(shù)零點(diǎn)的求第 1414 頁(yè)共 1616 頁(yè)想的應(yīng)用，屬于中等題2121 .已知函數(shù)x 2019sinx x R的所有正數(shù)的零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列414(2 2)bn2nan3n 9nn 2，4則Tn1 212 223 23n 12n2Tn1 222 233 24n 12n：T1n212223L2nn 2所以,Tnn 12n 12，3n 11 n nN4n 2n，n 2n 1，n 2n 11 n 2n12，1 2因此，數(shù)列an的通項(xiàng)公式就是：an第2121頁(yè)共 1616 頁(yè)解，考查計(jì)算能力，屬于中等題 b2222.已知函數(shù)f x x alnx在x 1處取得極值x（1 1）若a 1，求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間；2 2（2 2）若a 3，函數(shù)g x a x 3，若存在mi、m2f m1g m29成立，求a的取值范圍. .【答案】（1 1）見解析；（2 2）3