數(shù)學(xué)分析公式定理1-11章

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 第一章 變量與函數(shù)1 函數(shù)的概念一 變量 變量、常量、實數(shù)性質(zhì)、區(qū)間表示二 函數(shù) 定義 設(shè)，如果存在對應(yīng)法則，使對，存在唯一的一個數(shù)與之對應(yīng)，則稱是定義在數(shù)集上的函數(shù)，記作().也記作。習(xí)慣上稱自變量，為因變量。函數(shù)在點的函數(shù)值，記為，全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域，記作. 。注 （1） 函數(shù)有三個要素，即定義域、對應(yīng)法則和值域。例：1） （不相同，對應(yīng)法則相同，定義域不同）2） （相同，對應(yīng)法則的表達形式不同）。（2）函數(shù)的記號中的定義域可省略不寫，而只用對應(yīng)法則來表示一個函數(shù)。即“函數(shù)”或“函數(shù)”。（3）“映射”的觀點來看，函數(shù)本質(zhì)上是映射，對于，稱為映射下的象

2、。稱為的原象。3. 函數(shù)的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和圖象法。2 可用“特殊方法”來表示的函數(shù)。分段函數(shù)：在定義域的不同部分用不同的公式來表示。例：，（符號函數(shù)）用語言敘述的函數(shù)。 例：）（的最大整數(shù)部分）（irichlet）三 函數(shù)的一些幾何特性 1、單調(diào)函數(shù) 定義2 設(shè)為定義在上的函數(shù)， （）若，則稱為上的增函數(shù)；若，則稱為上的嚴(yán)格增函數(shù)。（）若，則稱為上的減函數(shù)；若，則稱為上的嚴(yán)格減函數(shù)。例：證明：在上是嚴(yán)格增函數(shù)。例：討論函數(shù)在上的單調(diào)性。注：單調(diào)性與所討論的區(qū)間有關(guān)，區(qū)間必須關(guān)于原點對稱。2、奇函數(shù)和偶函數(shù) 定義3 設(shè)為對稱于原點的數(shù)集，為定義在上的函數(shù)。若對每

3、一個，有（），則稱為上的奇函數(shù)；（），則稱為上的偶函數(shù)。注：（）從函數(shù)圖形上看，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱（中心對稱），偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；（）奇偶性的前提是定義域?qū)ΨQ；（）從奇偶性角度對函數(shù)分類：。3、周期函數(shù) 定義4. 設(shè)為定義在數(shù)集上的函數(shù)，若存在，使得對一切xX有，則稱為周期函數(shù)，稱為的一個周期。注：（1）若是的周期，則也是的周期，所以周期不唯一。（2）任給一個函數(shù)即使存在周期也不一定有最小正周期，如： （為常數(shù)），任何正數(shù)都是它的周期。2 復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)一 復(fù)合函數(shù) 引言 先考察一個例子。 例：質(zhì)量為的物體自由下落，速度為，則功率為. 我們得到兩個函數(shù)，把代入，即得.這樣得到的函

4、數(shù)稱為“復(fù)合函數(shù)”。2 定義（復(fù)合函數(shù)） 設(shè)有兩個函數(shù)，若內(nèi)，則對每一個，通過對應(yīng)內(nèi)唯一一個值，而又通過對應(yīng)唯一一個值，這就確定了一個定義在上的函數(shù)，它以為自變量，因變量，記作。這種函數(shù)成為復(fù)合函數(shù)。注：兩個函數(shù)能復(fù)合，第一個函數(shù)的值域必須包含在第二個函數(shù)的定義域中。3. 例子 討論函數(shù)與函數(shù)能否進行復(fù)合。4 說明 不僅要會復(fù)合，更要會分解例：.二、反函數(shù) 、 反函數(shù)概念|：設(shè)函數(shù)。滿足：對于值域中的每一個值，中有且只有一個值，使得，則按此對應(yīng)法則得到一個定義在上的函數(shù)，稱這個函數(shù)為的反函數(shù)，記作 .2 注：a) 并不是任何函數(shù)都有反函數(shù)；b) 函數(shù)與互為反函數(shù)，并有: 則函數(shù)的反函數(shù)通常記為

5、 .定理設(shè)為嚴(yán)格增（減）函數(shù)，則必有反函數(shù)，且在其定義域上也是嚴(yán)格增（減）函數(shù)。3 基本初等函數(shù)一 初等函數(shù) 1.基本初等函數(shù)（7類）：常量函數(shù)（為常數(shù)）；冪函數(shù)；指數(shù)函數(shù)； 對數(shù)函數(shù)；三角函數(shù)；反三角函數(shù)。雙曲函數(shù) ，初等函數(shù) 定義由基本初等函數(shù)經(jīng)過在有限次四則運算與有限次復(fù)合運算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)如：不是初等函數(shù)的函數(shù)，稱為非初等函數(shù)。如Dirichlet函數(shù)、Riemann函數(shù)、取整函數(shù)等都是非初等函數(shù)。 例：求函數(shù)表為基本初等函數(shù)的復(fù)合。第二章 極限與連續(xù)2-數(shù)列的極限與無窮大量 一、 數(shù)列極限的定義 數(shù)列的定義 定義：若函數(shù)的定義域為全體正整數(shù)集合，則稱 為數(shù)列。注：記，則

6、數(shù)列就可寫作為：，簡記為。 例：（1）；（2） （3）2、數(shù)列極限 （）引言 容易看出，數(shù)列的通項隨著的無限增大而無限地接近于零。一般地說，對于數(shù)列，若當(dāng)無限增大時，能無限地接近某一個常數(shù)，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)稱為它的極限。不具有這種特性的數(shù)列就稱為發(fā)散數(shù)列。據(jù)此可以說，數(shù)列是收斂數(shù)列，是它的極限。數(shù)列都是發(fā)散的數(shù)列。需要提出的是，上面關(guān)于“收斂數(shù)列”的說法，并不是嚴(yán)格的定義，而僅是一種“描述性”的說明如何用數(shù)學(xué)語言把它精確地定義下來。還有待進一步分析。以為例，可觀察出該數(shù)列具以下特性：隨著n的無限增大，無限地接近于1隨著n的無限增大，與的距離無限減少隨著n的無限增大，無限減少會任意小，

7、只要n充分大。如：要使，只要即可；要使，只要即可；任給無論多么小的正數(shù)，都會存在數(shù)列的一項，從該項之后，。即，當(dāng)時，。如何找？（或存在嗎？）解上面的數(shù)學(xué)式子即得：，取即可。這樣當(dāng)時，。綜上所述，數(shù)列的通項隨的無限增大，無限接近于，即是對任意給定正數(shù)，總存在正整數(shù)，當(dāng)時，有。此即以為極限的精確定義，記作或。（2）.數(shù)列極限的定義 定義1 設(shè)為數(shù)列,a為實數(shù),若對任給的正數(shù),總存在正整數(shù),使得當(dāng)時有, 則稱數(shù)列收斂于a, a稱為數(shù)列的極限, 并記作或. 若數(shù)列沒有極限，則稱不收斂，或稱為發(fā)散數(shù)列。問題：如何表述沒有極限？ （）舉例說明如何用定義來驗證數(shù)列極限例：證明. 例：證明.例：證明.例：證明

8、.例：證明，其中.（） 關(guān)于數(shù)列的極限的定義的幾點說明a）關(guān)于： 的絕對任意性；的暫時固定性；的多值性；正由于是任意小正數(shù)， 我們可以限定小于一個確定的正數(shù)。 b）關(guān)于： 相應(yīng)性（對應(yīng)于給定的）；多值性。c）數(shù)列極限的幾何理解： “當(dāng)時有” 所有下標(biāo)大于的項都落在鄰域內(nèi)；而在之外，數(shù)列中的項至多只有個（有限個）。d）數(shù)列極限的等價定義（鄰域定義）：定義 任給，若在之外數(shù)列中，只有有限個，則稱數(shù)列收斂于極限a.由此可見：數(shù)列是否有極限，只與它從某一項之后的變化趨勢有關(guān)，而與它前面的有限項無關(guān)。所以，在討論數(shù)列極限時，可以添加、去掉或改變它的有限項的數(shù)值，對收斂性和極限都不會發(fā)生影響。例：證明都是

9、發(fā)散數(shù)列。二 、 無窮小數(shù)列 在所有收斂數(shù)列中，有一類重要的數(shù)列，稱為無窮小數(shù)列，其定義如下：定義若，則稱為無窮小數(shù)列。如都是無窮小數(shù)列。數(shù)列收斂于a的充要條件：定理數(shù)列收斂于的充要條件是為無窮小數(shù)列。三、 收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)1（保序性）設(shè)數(shù)列與均收斂，若存在正數(shù)，使得當(dāng)時有，則。性質(zhì)2（保號性）若（或），則對任何（或），存在正數(shù)，使得當(dāng)時有（或）。性質(zhì)3（極限唯一性）若數(shù)列收斂，則它只有一個極限。性質(zhì)4（迫斂性）設(shè)收斂數(shù)列、都以a為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)，當(dāng) 時有，則數(shù)列收斂，且.注：迫斂性不僅給出了判定數(shù)列收斂的一種方法，而且也提供了一個求數(shù)列極限的工具。例：求數(shù)列的極限。性質(zhì)5（有界性

10、）若數(shù)列收斂，則為有界數(shù)列。注：數(shù)列收斂則必有界，反之未必。例如數(shù)列有界，但它不收斂。四、 數(shù)列極限的運算性質(zhì)（極限的四則運算法則）：若、為收斂數(shù)列，則也都收斂，且有 （1）;（2）.（3）若再做假設(shè)及，則數(shù)列也收斂，且有.在求數(shù)列的極限時，常需要使用極限的四則運算法則。例：求，其中.例：求。五、 單調(diào)有界數(shù)列 在研究比較復(fù)雜的極限問題時，通常分兩步來解決：先判斷該數(shù)列是否有極限（極限的存在性問題）；若有極限，再考慮如何計算些極限（極限值的計算問題）。這是極限理論的兩基本問題。下面將重點討論極限的存在性問題。定義若數(shù)列的各項滿足不等式，則稱為遞增（遞減）數(shù)列。遞增和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列例如：

11、為遞減數(shù)列；為遞增數(shù)列。定理（單調(diào)有界定理）在實數(shù)系中，有界且單調(diào)數(shù)列必有極限。例：設(shè)其中，證明數(shù)列收斂。例：證明下列數(shù)列收斂，并求其極限：例：證明存在。六、 無窮大量的定義 定義：設(shè)是一個數(shù)列。若當(dāng)時必有，則稱是無窮大量。 幾何解析： 例：證明是無窮大量。定義：設(shè)是一個數(shù)列。若當(dāng)時必有，則稱是正無窮大量。定義：設(shè)是一個數(shù)列。若當(dāng)時必有，則稱是負(fù)無窮大量。七、 無窮大量的性質(zhì)和運算 1、無窮大量和無窮小量的關(guān)系定理：為無窮大量，當(dāng)且僅當(dāng)，為無窮小量，這里要求。 2、無窮大量的一些運算法則定理：正無窮大量的和仍是正無窮大量，負(fù)無窮大量的和仍是負(fù)無窮大量。無窮大量加上有界數(shù)列仍是無窮大量。定理：設(shè)

12、為無窮大量，收斂于，則是無窮大量。2函數(shù)的極限一、 函數(shù)在一點的極限現(xiàn)在討論當(dāng)時，對應(yīng)的函數(shù)值能否趨于某個定數(shù)。先看下面幾個例子：例：。當(dāng)時，當(dāng)時，）。由上例可見，對有些函數(shù)，當(dāng)時，對應(yīng)的函數(shù)值能趨于某個定數(shù)；但對有些函數(shù)卻無此性質(zhì)。所以有必要來研究當(dāng)時，的變化趨勢。定義1設(shè)函數(shù)在點的附近有定義，為定數(shù)，若對任給的，使得當(dāng)時有，則稱稱為時的極限，記作或.注:（）是結(jié)論，是條件，即由推出。（）是表示函數(shù)與的接近程度的。（3） 是表示與的接近程度，它相當(dāng)于數(shù)列極限的定義中的。它的第一個特性是相應(yīng)性。第二個特性是多值性。（）在定義中，只要求函數(shù)在的某空心鄰域內(nèi)有定義，而一般不要求在處的函數(shù)值是否存在

13、，或者取什么樣的值。（）定義的幾何意義。例：證明; 二、 函數(shù)極限的性質(zhì)和運算性質(zhì)1（局部保號性）若，則對任何正數(shù)，存在，當(dāng)時，有；若，則對任何負(fù)數(shù)，存在，當(dāng)時有。性質(zhì)2（保序性）設(shè)和都存在，且存在，當(dāng)時，有。性質(zhì)3（唯一性）若極限存在，則此極限是唯一的。性質(zhì)4（迫斂性）設(shè)，且存在，當(dāng)時有，則。性質(zhì)5（局部有界性）若存在，則在的某空心鄰域內(nèi)有界。性質(zhì)6（海涅定理）都有。性質(zhì)7（四則運算法則）若和都存在，則函數(shù)當(dāng)時極限也存在，且 ）；）. 又若，則當(dāng)時極限也存在，且有 ）。性質(zhì)8 無窮小量乘有界變量仍是無窮小量。三 、 單側(cè)極限 引言 有些函數(shù)在其定義域上某些點左側(cè)與右側(cè)的解析式不同，如或函數(shù)在

14、某些點僅在其一側(cè)有定義，如。這時，如何討論這類函數(shù)在上述各點處的極限呢？ 2定義2設(shè)函數(shù)在點的有近旁有定義，為定數(shù)，若對任給的，使得當(dāng)時有，則稱數(shù)為函數(shù)當(dāng)趨于時的右極限，記作：或或。類似可給出左極限定義。注：右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。例：討論函數(shù)在的左、右極限。例：討論在的左、右極限。3函數(shù)極限與的關(guān)系。定理.注：利用此可驗證函數(shù)極限的存在。四、 函數(shù)在無限遠處的極限 定義3設(shè)為定義在上的函數(shù)，為實數(shù)。若對任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時有 , 則稱函數(shù)當(dāng)時以為極限。記作或. 類似可定義和。注：。例: 按定義證明.例: 按定義證明）；）.五、 函數(shù)值趨于無窮大的情形 定義4設(shè)函數(shù)在點的附近有定義

15、，若對任給的，使得當(dāng)時有，則稱在點時趨于無窮大，記作。類似可定義，。六、 兩個重要的極限1、證明：應(yīng)用： 例：求.例：求.注：利用歸結(jié)原則，可求數(shù)列極限。如求，直接利用是不嚴(yán)格的；但已知，故取，則，從而由歸結(jié)原則. 例：求.2、證明：或.應(yīng)用： 例：求.例：求.例：求3連續(xù)函數(shù) 一、連續(xù)的定義 1、（在點連續(xù)）定義設(shè)函數(shù)在某點的附近包括點有定義，若，則稱在點連續(xù)。注：，即“在點連續(xù)”意味著“極限運算與對應(yīng)法則可交換。例：在處連續(xù)。例：。例：討論函數(shù)在點x=0處連續(xù)性。注：1）設(shè)，函數(shù)在點的增量。2）等價定義：函數(shù)在點連續(xù)。3) 等價定義：函數(shù)在點連續(xù)，當(dāng)時，。注：一個定義是等價的，根據(jù)具體的問

16、題選用不同的表述方式?？偟膩碇v，函數(shù)在點連續(xù)的要求是：在點有定義；存在；. 任何一條不滿足，在點就不連續(xù)。同時，由定義可知，函數(shù)在某點是可連續(xù)，是函數(shù)在這點的局部性2在點左（右）連續(xù)定義（1）定義；設(shè)函數(shù)在點點的右(左)近旁包括點有定義，若 （），則稱在點右（左）連續(xù)。（2）定理1（在點連續(xù)的等價刻劃 ）：函數(shù)在點連續(xù)在點既是右連續(xù)，又是左連續(xù)。 例：討論函數(shù)在點的連續(xù)性。二、 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和運算定理2（四則運算）若和在點連續(xù)，則也都在點連續(xù)。問題兩個不連續(xù)函數(shù)或者一個連續(xù)而另一個不連續(xù)的函數(shù)的和、積、商是否仍舊連續(xù)？定理3（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）若在點連續(xù)，記，函數(shù)在連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) 在 點連

17、續(xù)。注： 根據(jù)連續(xù)性定義，上述定理可表為：.（即函數(shù)運算與極限可以交換次序，條件是函數(shù)連續(xù)，利用它可來求一些函數(shù)的極限。）三、 初等函數(shù)的連續(xù)性 定理4任何初等函數(shù)都是在其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。定理5 一切基本初等函數(shù)都是其定義域上連續(xù)函數(shù)。利用初等函數(shù)的連續(xù)性可計算極限例：設(shè)，證明：。例：求。四 、不連續(xù)點（間斷點）的類型 不連續(xù)點分類） 可去間斷點若，而在點無定義，或有定義但，則稱為的可去間斷點。 例如：是函數(shù)的可去間斷點。設(shè)是的可去間斷點，且。令，則是的連續(xù)點。） 第一類間斷點若存在，但左右極限不相等，則稱點為函數(shù)的第一類間斷點。 例如，對，故是它的第一類間斷點。） 第二類間斷點左右極限

18、至少有一不存在的點（即函數(shù)至少有一側(cè)極限不存在的點）稱為函數(shù)的第二類間斷點。 例如，是函數(shù)，的第二類間斷點。五、 區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)（最大、最小值定理）若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有最大值與最小值。性質(zhì)（有界性定理）若在上連續(xù)，則在上有界。注：上述性質(zhì)成立的條件是充分的，而非必要的。性質(zhì)（介值定理）設(shè)在上連續(xù)，且。若是介于和之間的任何實數(shù)，則至少存在一點，使得。注表明若在上連續(xù)，又的話，則在上可以取得和之間的一切值。性質(zhì)（根存在定理）若在上連續(xù)，且和異號（），則至少存在一點，使得。幾何意義若點和分別在軸兩側(cè)，則連接、的曲線與軸至少有一個交點。 例：設(shè)在上連續(xù)，滿足。證明：存在，使得。提示

19、：構(gòu)造適當(dāng)?shù)?；?gòu)造適當(dāng)?shù)拈]區(qū)間。六、一致連續(xù)性 一致連續(xù)的定義 定義3（一致連續(xù)）設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)。若對任給的，存在一個，使得對任何，只要，就有，則稱函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)。 2、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)與一致連續(xù)的比較 (1) 區(qū)別：（如下表）定義函數(shù)在連續(xù)，當(dāng)時，函數(shù)在上一致連續(xù)，當(dāng)，時，對的要求對于上的不同的點，相應(yīng)的是不同的，換言之，的取值除依賴于外，還與有關(guān)，由此記為表示與和有關(guān)。的取值只與有關(guān)，而與無關(guān)，或者說，存在適合于上所有點的公共的，記作，它對任意的都適用。性質(zhì)與區(qū)間中每一點及其附近的情形有關(guān)，即只要在區(qū)間中每一點，連續(xù)就行。也即在每一點中可有適合定義中的，這是局部性質(zhì)。要知在整

20、個區(qū)間的情形，在整個區(qū)間內(nèi)來找適合定義中的，這種性質(zhì)稱為整體性質(zhì)。 (2) 關(guān)系 若在上一致連續(xù)，則在上連續(xù)；反之不成立。定理（康托Cantor定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)。例：證明在上一致連續(xù)。例：（）證明函數(shù)在內(nèi)不一致連續(xù)。（），證明在內(nèi)是一致連續(xù)的。4無窮小量與無窮大量的階兩個無窮小量，在收斂于0的過程中，哪一個收斂速度更快呢？可以用它們之間的階來比較。定義1 設(shè)當(dāng)時，均為無窮小量。1) 若，則稱為的高階無窮小量，記作；2）若，則稱為的同階無窮小量，記作。3）若，則稱和為等價無窮小量，記作。4）若，則稱為K階無窮小量，稱為的主要部分。注：可類似定義無窮大量。例：求當(dāng)時，的階

21、和主要部分。注：在求極限過程中，可利用等價無窮小量代換求極限，但應(yīng)注意：只有對所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來替代，而對極限式中相加或相減的部分則不能隨意替代。例：求極限。第三章 關(guān)于實數(shù)的基本定理及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明1. 關(guān)于實數(shù)的基本定理一 子列 定義1 在數(shù)列中，保持原來次序自左至右任一選區(qū)無限多項，構(gòu)成新的數(shù)列，就稱為 的子列，記為。 子列的極限和原數(shù)列的極限的關(guān)系定理1 若，則的任何子列都收斂，并且它的極限也等于。注：該定理可用來判別不收斂。 例：證明 不收斂。推論：若對任何：都有收斂，則在的極限存在。二 上確界和下確界 上確界的定義，下確界的定義定理2 非空

22、有上界數(shù)集必有上確界;非空有下界數(shù)集必有下確界。定理3 單調(diào)有界數(shù)列必收斂.三 區(qū)間套定理 區(qū)間套: 設(shè)是一閉區(qū)間序列. 若滿足條件 對, 有 ; .則稱該閉區(qū)間序列為為區(qū)間套 .注：區(qū)間套是指一個 “閉、縮、套” 區(qū)間列.（ 都不是）.例：和都是區(qū)間套.但定理4設(shè)是一閉區(qū)間套. 則存在唯一的點屬于所有的區(qū)間。注：區(qū)間套中的任何一個條件去掉，定理一般將不成立。四 致密性定理 定理5 任一有界數(shù)列必有收斂子列。推論 若是一個無界數(shù)列，則存在子列。五 Cauchy收斂原理定理6 數(shù)列收斂 當(dāng)時，有。注：定理可通過數(shù)列本身來判別它收斂還是發(fā)散。例：設(shè)，證明發(fā)散。例：設(shè)，證明收斂。六 有限覆蓋定理 復(fù)

23、蓋: 先介紹區(qū)間族.定義 (復(fù)蓋 )：設(shè)是一個數(shù)集,是區(qū)間族.若對使得, 則稱區(qū)間族復(fù)蓋了, 或稱區(qū)間族是數(shù)集的一個復(fù)蓋. 記為若每個都是開區(qū)間，則稱區(qū)間族是開區(qū)間族.開區(qū)間族常記為.定義 (開復(fù)蓋 )：數(shù)集的一個開區(qū)間族復(fù)蓋稱為的一個開復(fù)蓋,簡稱為的一個復(fù)蓋.子復(fù)蓋、有限復(fù)蓋、有限子復(fù)蓋.例：復(fù)蓋了區(qū)間, 但不能復(fù)蓋。定理7 閉區(qū)間的任一開復(fù)蓋必有有限子復(fù)蓋。注：在定理的條件中，若不是開區(qū)間集，或為非閉區(qū)間，則從中就不一定能選出有限個區(qū)間來覆蓋。2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明一 有界性定理 定理1 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定有界。注：開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)既可能有界，也可能無界。二 最大值和最小值定理

24、 定理2 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定有最大值和最小值。三 零點存在定理 定理3 在閉區(qū)間連續(xù)，且，則在內(nèi)至少有一個根。證法一(用區(qū)間套定理)； 證法二(用確界原理)； 證法三 (用有限復(fù)蓋定理)。四 一致連續(xù)性定理 定理4 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定一致連續(xù)。證法一 (用區(qū)間套定理)； 證法二 (用致密性定理)。 第四章 導(dǎo)數(shù)與微分1 導(dǎo)數(shù)的引進和定義一 、 導(dǎo)數(shù)的引進 引言（背景） 來看兩個實際問題。問題1 已知曲線求它的切線：曲線方程，是其上一點，求過點的切線方程。問題2 已知運動規(guī)律求物體運動速度：運動規(guī)律：，為某一確定時刻，求質(zhì)點在時刻的速度。上述兩問題中，第一個是幾何學(xué)的問題，后一個是物理學(xué)

25、問題，但問題都?xì)w結(jié)到求形如 的極限問題。二、導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義定義1（導(dǎo)數(shù)） 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，若極限 存在，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，并稱該極限為在點處的導(dǎo)數(shù)，記作。即。若上述極限不存在，則稱在點處不可導(dǎo)。1.利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的幾個例子 例：求在點處的導(dǎo)數(shù)。2.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 定理1 若函數(shù)在點可導(dǎo)，則在點連續(xù)。注： 若在點不連續(xù)，則在必不可導(dǎo)。但在點連續(xù)，未必有在可導(dǎo)。3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念 定義2 （右導(dǎo)數(shù)） 設(shè)函數(shù)在點的某右鄰域上有定義，若右極限 存在，則稱該極限為在點的右導(dǎo)數(shù)，記作。（左導(dǎo)數(shù)） 設(shè)函數(shù)在點的某左鄰域上有定義，若左極限 存在，則稱該極限為在點的左導(dǎo)數(shù)，記作。左、右導(dǎo)

26、數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。4.可導(dǎo)函數(shù) 若函數(shù)在區(qū)間I上每一點都可導(dǎo)（對區(qū)間端點，僅考慮單側(cè)導(dǎo)數(shù)），則稱為I上的可導(dǎo)函數(shù)。5. 導(dǎo)函數(shù)6. 函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：導(dǎo)數(shù)是就一點而言的，是一個確定的數(shù)，一般與所給函數(shù)以及的值均有關(guān)，與 無關(guān)；導(dǎo)函數(shù)是就一個區(qū)間而言的，是一個確定的函數(shù)，與所給函數(shù)有關(guān)，與、均無關(guān)。聯(lián)系：函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在該點的值，因此，在的導(dǎo)數(shù)也記為：， ， 。7導(dǎo)數(shù)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：定理2 若函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，則存在。，都存在，且=。例: 設(shè) 討論在處的左、右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)。注 討論分段函數(shù)在分段點處的導(dǎo)數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義。8. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 表示點的

27、切線的斜率。例: 求曲線在點處的切線方程與法線方程。2 簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一 、 常數(shù)的導(dǎo)數(shù) 。二 、三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ；三 、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 。四 、 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 。例 ：按定義證明，可導(dǎo)的偶函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。3 求導(dǎo)法則一、 導(dǎo)數(shù)的四則運算 一般地，有如下的求導(dǎo)法則：定理1（和差的運算法則） 若，可導(dǎo)，則函數(shù)也可導(dǎo)，且 。 例： ，求，。定理2（積的運算法則）若，可導(dǎo)，則函數(shù)也可導(dǎo)，且。 例： ，求。定理3（數(shù)乘的運算法則）若可導(dǎo)，則函數(shù)也可導(dǎo)，。定理4（相除的運算法則） 若函數(shù)，可導(dǎo)，且，則也可導(dǎo)，且。 例3：設(shè)，求。二 、 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 定理5 設(shè)為的反函數(shù)，若在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格

28、單 調(diào)且，則在點（）可導(dǎo)，且 。注：反函數(shù)的倒數(shù)等于原函數(shù)的倒數(shù)分之一。例：（）；例：例：，。4 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法一、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 定理1. 設(shè)在點可導(dǎo)，在點可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點可導(dǎo)，且。例： ，求。 例： 設(shè)，求，。例： 設(shè)，其中且和均可導(dǎo)，試求此冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（對數(shù)求導(dǎo)法）例： 設(shè) （），求。5 微分及其運算一、微分概念 1引言 先考察一個具體的問題，推得一般情形。2微分的定義 定義1 函數(shù)定義在點的某鄰域內(nèi)。當(dāng)給一個增量，時，相應(yīng)地得到函數(shù)的增量為。如果存在常數(shù)，使得能有 （1） 則稱函數(shù)在點可微，并稱（1）中右端第一項為在點的微分，記作： or 定義2 若在區(qū)間上每一點都可微，則稱為

29、上的可微函數(shù)。函數(shù)在上任一點處的微分記作 ， 。注： （1）依賴于和，但與無關(guān)是兩個相互獨立的變量。（2）可微與可導(dǎo)的關(guān)系： 定理1 函數(shù)f在點可微f在點可導(dǎo)，而且。（3），所以微分。（4）對可導(dǎo)函數(shù)，有，從而有，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)微分與自變量微分的商（導(dǎo)數(shù)即微商）。二 微分的運算法則（1）；（2）；（3）；（4），其中。注 在（4）中，由于，。即（4）式：不僅在為自變量時成立，當(dāng)它是另一個可微函數(shù)的因變量時也成立。這性質(zhì)成為一階微分的形式不變性。例：求的微分。例：求的微分。6 隱函數(shù)及參數(shù)方程所表示函數(shù)的求導(dǎo)法 一、 隱函數(shù)求導(dǎo)法 設(shè)，為的函數(shù)，等式兩邊對求導(dǎo)，得。從而 。例：設(shè)，求。二、

30、參數(shù)方程所表示函數(shù)的求導(dǎo)法 設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，其中是參數(shù)，則 .例：求所確定的函數(shù)在時的導(dǎo)數(shù)。例：求由下面參數(shù)方程 在所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，。注 分清求導(dǎo)的對象，即到底是關(guān)于哪個變量求導(dǎo)。7 不可導(dǎo)的函數(shù)舉例例：在不可導(dǎo)。例：求函數(shù)在點的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。注：處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù)是存在的。8 高階導(dǎo)數(shù)與高階微分一、 高階導(dǎo)數(shù)及其運算法則1、定義 若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在點可導(dǎo)，則稱在點的導(dǎo)數(shù)為在點的二階導(dǎo)數(shù)，記作，或。函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)一般仍舊是的函數(shù)。如果對它再求導(dǎo)數(shù)，如果導(dǎo)數(shù)存在的話，稱之為函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，記為，或。函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)，記為，或。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)都稱為高階導(dǎo)數(shù)

31、。從高階導(dǎo)數(shù)的定義可知，求高階導(dǎo)數(shù)無非是反復(fù)運用求一階導(dǎo)數(shù)的方法。例：求冪函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)。一般地，任何首項系數(shù)為1的多項式：的階導(dǎo)數(shù)為，階導(dǎo)數(shù)為零。 例： 。例：，則；。2、高階導(dǎo)數(shù)的計算法則 （1） 。(2). ， （Leibniz公式） 其中，。注 將Leibniz公式與二項式展開作一比較可見：。（這里 ），在形式上二者有相似之處。從定義出發(fā)，重復(fù)應(yīng)用一階導(dǎo)數(shù)法則，容易建立“復(fù)合函數(shù)”的高階導(dǎo)數(shù)，“參數(shù)方程”的高階導(dǎo)數(shù)公式。但這些公式非常繁，對于求高階導(dǎo)數(shù)沒有多大幫助，因此不作深入討論。 作為例子，我們指出參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)的方法。設(shè)，在上都是二階可導(dǎo)，則由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。

32、則。例：試求由擺線參量方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。二 高階微分 對于函數(shù)，類似于高階導(dǎo)數(shù)，可以定義高階微分，具體做法如下：二階微分定義為 稱之為函數(shù)的二階微分。記作 or 。一般地，階微分是階微分的微分，記作，即注 （1）； 是x的二階微分（=0）；是的微分（一階）（）； （2）是n階導(dǎo)數(shù)記法的來由；（3）一階微分具有形式不變性，對于高階微分已不具備此性質(zhì)，以二階微分為例。若，則（）當(dāng)x為自變量時，；（）當(dāng)為因變量，如時，。例：記，分別求，（1）當(dāng)是自變量時，（2）當(dāng)是因變量時。第五章 微分中值定理及其應(yīng)用1 微分中值定理引言 在前一章中，我們引進了導(dǎo)數(shù)的概念，詳細(xì)地討論了計算導(dǎo)數(shù)的方法。這樣

33、一來，類似于求已知曲線上點的切線問題已獲完美解決。但如果想用導(dǎo)數(shù)這一工具去分析、解決復(fù)雜一些的問題，那么，只知道怎樣計算導(dǎo)數(shù)是遠遠不夠的，而要以此為基礎(chǔ)，發(fā)展更多的工具。另一方面，我們注意到：（1）函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個不同的的函數(shù)；（2）導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點的局部特征；（3）我們往往要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，因此如何解決這個矛盾？需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間建立起一一聯(lián)系搭起一座橋，這個“橋”就是微分中值定理。本章以中值定理為中心，來討論導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性態(tài)（單調(diào)性、極值、凹凸性質(zhì)）方面的應(yīng)用。一 費馬定理 定義1（極值） 若函數(shù)f在區(qū)間上有定義，。若存在的鄰域，使得對于任意的，有，則稱f在點取得

34、極大值，稱點為極大值點。若存在的鄰域，使得對于任意的，有，則稱f在點取得極小值，稱點為極小值點。 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點。極值存在的必要條件費馬定理 若函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義，且在點可導(dǎo)。若為f的極值點，則比有。 何幾意義：可導(dǎo)極值點的切線平行于軸。由費馬定理可知, 可導(dǎo)極值點是穩(wěn)定點，反之不然。如,點x=0是穩(wěn)定點，但不是極值點。二 中值定理 1、 Lagrange定理 若函數(shù)f滿足以條件：（1）f在上連續(xù)；（2）f在)內(nèi)可導(dǎo)。則在內(nèi)至少存在一點， 使得。 特別地，當(dāng)時，有如下Rolle定理：2、Rolle定理 若f滿足如下條件：（1）在上連續(xù)；（2）在)內(nèi)

35、可導(dǎo)；（3），則存在，使得。如把曲線弧用參數(shù)方程函數(shù)，則可得出以下中值定理：3、Cauchy定理 若函數(shù)，滿足如下條件：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)；（3）。則存在（a，b）使得。說明 （1）幾何意義：Rolle：在每一點都可導(dǎo)的連續(xù)曲線，如果曲線兩端點高度相同，則至少存在一水平切線（在具有水平弦的可微曲線上有水平曲線）；Lagrang：可微曲線上存在一點，使其切線平行于端點的連線；Cauchy：視為曲線的參數(shù)；u=f(x)，v=g(x)，xa,b，則以v為橫坐標(biāo)，u為縱坐標(biāo)可得曲線上有一點，該處切線與曲線端點連線平行。（2）三個定理關(guān)系如下：（3）三個定理中的條件都是充分但非必要。以Rol

36、le定理為例，三個條件缺一不可。1）不可導(dǎo)，不一定存在；2）不連續(xù)，不一定存在；3）f(a)f(b)，不一定存在。“不一定存在”意味著一般情況如下：Rolle定理不再成立。但仍可知有的情形發(fā)生。如y=sgnx，x-1,1不滿足Rolle定理的任何條件，但存在無限多個(-1,1)，使得。（4）Lagrang定理中涉及的公式：稱之為“中值公式”。這個定理也稱為微分基本定理。中值公式有不同形式：（）f(b)-f(a)=(b-a) ，(a,b)；（）f(b)-f(a)=，01；（）f(a+h)-f(a)=，01. 此處，中值公式對ab均成立。此時在a，b之間；（）、（）的好處在于無論a，b如何變化，易

37、于控制。三 中值定理的一些推論 1、Rolle定理的推論：若f在，上連續(xù)，在(，)內(nèi)可導(dǎo)，則存在，使得（簡言之：可導(dǎo)函數(shù)的兩個之間必有導(dǎo)數(shù)的零點）。2、Lagrang定理的推論：推論 若函數(shù)f在區(qū)間I上可導(dǎo)，且，則f為I上的一個常量函數(shù)。 幾何意義：斜率處處為0的曲線一定是平行于x軸的直線。推論 若函數(shù)f和g均在I上可導(dǎo)，且，則在區(qū)間I上f(x)與g(x)只差一個常數(shù)，即存在常數(shù)C，使得。例：設(shè)f，在連續(xù)可微，在（a,b）二階可微，且，證明：在(a,b)中至少有一個根。例：設(shè)，證明于（0, 2）中至少有一根。例：證明：當(dāng)ab0時，。 例：證明：，。2. 泰勒公式一 利用導(dǎo)數(shù)作近似計算 1近似計

38、算 前已描述，如果在點可微，則當(dāng)很小時，有，亦即，當(dāng)時有（用導(dǎo)數(shù)作近似計算公式）。 注：導(dǎo)數(shù)作近似計算公式常用于：直接計算比較困難，而在點附近一點處的函數(shù)值的導(dǎo)數(shù)卻都比較容易求得。例：求的近似值。例：計算的近似值。把用于具體函數(shù)，可得：，。2誤差估計 實際測量或計算所得的數(shù)據(jù)，一般都是近似值。要知道這些數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確程度，就必須估計這些數(shù)據(jù)的近似程度，即估計它與準(zhǔn)確值的差，這就是誤差估計。一般地，如果一個量A的近似值為a，那么=|A-a|叫作絕對誤差，而/a叫作相對誤差。一般地，對函數(shù)，若是由測量得到的，如果由計算時，有誤差，則有絕對誤差和相對誤差。 例：測得一球體的直徑為42cm，測量工具的精度

39、為0.01cm，試求此直徑計算球體積時所起的誤差。二 泰勒公式 不論在近似計算或理論分析中，我們希望能用一個簡單的函數(shù)來近似一個比較復(fù)雜的函數(shù)，這將會帶來很大的方便。一般來說，最簡單的是多項式，因為多項式是關(guān)于變量加、減、乘的運算，但是，怎樣從一個函數(shù)本身得出我們所需要的多項式呢？前面討論過“微分在近似計算中的應(yīng)用”從中我們知道，如果函數(shù)f在點可導(dǎo)，則有有限存在公式； 即在附近，用一次多項式逼近函數(shù)時，其誤差為。然而，在很多場合，取一次多項式逼近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項式去逼近，并要求誤差為，其中n為多項式次數(shù)。為此，有如下的n次多項式：易見：，（多項式的系數(shù)由其各階導(dǎo)數(shù)在的取

40、值唯一確定）。定理 若在點有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么：，其中在與之間。這就是泰勒公式。余項稱為拉格朗日余項。注：帶有皮亞諾余項的泰勒公式。的余項稱為皮亞諾余項。（1）常見的麥克勞林公式 （2）帶Lagrange型余項的麥克勞林公式 ， ， ， ， ， ，例： 寫出的Maclaurin公式，并求與。 例： 求在處的Taylor公式。例： 例： （1）計算e的值，使其誤差不超過；（2）證明e為無理數(shù)。3 函數(shù)的升降、凸性與極值一 函數(shù)的上升與下降 定理1 設(shè)f(x)在區(qū)間上可導(dǎo)，則f(x)在上遞增（減）.注 （1）這個定理的主要用途在于用它研究函數(shù)的單調(diào)性，確定單調(diào)區(qū)間。例： 設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

41、。（2）從實現(xiàn)充分性的證明中發(fā)現(xiàn)，若，即f嚴(yán)格遞增（減），從而有如下推論：推論 設(shè)函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，在可微，若且不變號，則在上嚴(yán)格遞增（減）。（3）上述推論是嚴(yán)格遞增（減）的一個充分非必要條件。例：證明等式：當(dāng)時，例：證明：當(dāng)時，例：已知，證明：至多只有一個根。 例：證明方程：只有一個根。二 函數(shù)的極大值和極小值函數(shù)的極值不僅在實際問題中占有重要的地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的一個重要特征。Fermat定理告訴我們：若函數(shù)在點可導(dǎo)，且為的極值點，則，即可導(dǎo)函數(shù)在點有極值的話，必有。進一步的問題是：如果在點不可導(dǎo)，它有沒有可能在點取得極值呢？回答是肯定的，例如，在不可導(dǎo)，但在有極小值。定理2 若是的極值

42、點，那么或在點不可導(dǎo)。把這兩類點稱為“極值可疑點”或“可疑極值點”。如何來判定一個極值可疑點且又是真正的極值點呢？ 定理2（極值判別法之一）設(shè)點連在續(xù)，在和內(nèi)可導(dǎo)，那么（1）若當(dāng)時，；當(dāng)時，則為極小點；（2）若當(dāng)時，；當(dāng)時，則為極大點；（3）若在和內(nèi)不等號，則點不是極值點。若f是二階可導(dǎo)函數(shù)，則有如下判別極值的方法：定理3（極值判別法之二） 設(shè)，（1）若，則是極大值；（2）若，則是極小值。例：求的單調(diào)區(qū)間、極值點和極值。例：求的極值點與極值。例：試求函數(shù)的極值。三 函數(shù)的最大值與最小值 若在連續(xù)，則在上一定有最大、最小值。這為求連續(xù)函數(shù)的最大、小值提供了理論保證，問題是如何求出最大、小值呢？函

43、數(shù)在上最大（?。┲悼赡茉诨蛉〉?，也可能在內(nèi)取到，若在內(nèi)取得，則最大（?。┲迭c一定是極大（?。┲迭c。于是，為求f在 上的最大（?。┲?，可按以下步驟進行：（1）求出在內(nèi)的點，和在內(nèi)不可導(dǎo)的點，并求出相應(yīng)的函數(shù)值；（2）計算，；（3）把上述函數(shù)值作比較，其中最大者為最大值，最小者為最小值。例：求函數(shù)在上的最大值與最小值。例：剪去正方形四角同樣大小的正方形后制成一個無蓋盒，問剪去小正方形的邊長為何值時，可使盒子的容積最大？四 函數(shù)的凸性 引言 上面已經(jīng)討論了函數(shù)的升降與極值，這對函數(shù)性狀的了解是有很大作用的。為了更深入和較精確地掌握函數(shù)的性狀，我們在這里再講述一下有關(guān)函數(shù)凸性的概念及其與函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的

44、關(guān)系。什么叫函數(shù)的凸性呢？我們先以兩個具體函數(shù)為例，從直觀上看一看何謂函數(shù)的凸性。如函數(shù)所表示的曲線是向上凸的，而所表示的曲線是向下凸的，這與我們?nèi)粘Ａ?xí)慣上的稱呼是相類似的?；蚋鼫?zhǔn)確地說：從幾何上看，若yf(x)的圖形在區(qū)間I上是下凸的，那么連接曲線上任意兩點所得的弦在曲線的上方；若yf(x)的圖形在區(qū)間I上是上凸的，那么連接曲線上任意兩點所得的弦在曲線的下方。從而有以下定義：定義1 設(shè)函數(shù)在連續(xù)，若對上任意兩點、和任意實數(shù)總有，則稱f為上的下凸函數(shù)。反之，如果總有，則稱f為I上的上凸函數(shù)。定義2 設(shè)曲線在點()的一邊為上凸，一邊為下凸，則稱 ()為曲線的拐點。注：若()是曲線的一個拐點，在點

45、的導(dǎo)數(shù)不一定存在，如在的情形。定理4（凸函數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系） 設(shè)在二階可導(dǎo)，則 （1）若在內(nèi)，則在為上凸；（2）若在內(nèi)，則在為下凸。定理5（拐點必要條件） 若()為拐點，則要么（1）；要么（2）f在點不可導(dǎo)。應(yīng)用： 例：（1）討論函數(shù)的下凸和上凸區(qū)間，并求拐點。例：證明不等式，其中a，b，c均為正數(shù)。4 平面曲線的曲率一 什么是曲線的曲率 曲線的彎曲程度不僅與其切線方形的變化角度的大小有關(guān)，而且還與所考察的曲線的弧長有關(guān)，并且曲率與成正比，與成反比。即一般曲線的彎曲程度可用，其中：曲線段的平均變化率；：曲線段上切線方向變化的角度；：曲線段的弧長。定義1 稱極限 為曲線在點的曲率。稱為曲線在點

46、的曲率半徑。二、弧長的微分（1）若弧的方程為，在連續(xù)，則；（2）若弧的方程為，則（3）若弧的方程為，則。三 曲率的計算 設(shè)曲線的方程為，二階可微，則在點處的曲率因為，所以，又因為，所以。例：求在任一點的曲率。過點（且與在該點有相同的一階及二階導(dǎo)數(shù)的圓稱為曲率圓。曲率圓的中心和半徑分別稱為曲率中心和曲率半徑。例：求在點（0,0）的曲率和曲率半徑。5. 待定型一 及待定型 1、什么是不定式極限 在求極限時，若分子和分母的極限都趨于0，則把這種類型的極限稱為“”型的不定式極限。除了型不等式極限外，還有許多類型的不等式極限，如：（）型；（）型；（）型；（）型；（）型；（），型等，其中最基本的是型和型，

47、其它類型都可化成這兩種基本類型來解決。2、不定式極限的計算（洛必達法則）定 理1：若函數(shù)和滿足：（1）；（2）在點的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；（3）， 則。注 （1）將改為時，上述結(jié)論都對；（2）是分子，分母分別求導(dǎo)時極限和不同，更不能認(rèn)為是。例：。例：。3、型極限（洛必達法則）定理2 若函數(shù)和滿足： （1）；（2）在點的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；（3）， 則 。注 （1）將改為時，上述結(jié)論都對；（2）如果，滿足條件，則可再次使用該法則。例：。 例：。使用型和型求極限的LHospital法則應(yīng)注意的一些問題：（1）、不能對任何比較類型的極限都用LHospital法則來求解，必須是型和型才可

48、以；（2）、若不存在，就不能用，但這不意味著不存在；（3）、可以使用LHospital法則，但出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象，無法求出結(jié)果，此時只能尋求別的方法；（4）、只有當(dāng)比簡單時，用LHospital法則才有價值，否則另找方法，故LHospital法則不是“萬能工具”。二 其它待定型如型、型、型、型、型、型、型等，經(jīng)過變換，它們一般均可以化為型和型的極限。例：。例：。例：（k為常數(shù)）。例：。例：。例：設(shè)，已知，試求。用LHospital法則求數(shù)列極限，應(yīng)注意什么？例：。6方程的近似解 引言 在實際應(yīng)用中，常求方程的解，方程求解的方法主要有兩種：解析法和數(shù)值法。但有些方程精確解難以求出，從而轉(zhuǎn)為求它的近似解

49、。1、Newton切線法的基本思想 構(gòu)造一個收斂的數(shù)列，是其極限恰好是方程f(x)=0的根，因此，當(dāng)n充分大時，可作為近似值，那么如何構(gòu)造？設(shè)在閉區(qū)間連續(xù)，在和中，取或與同號的那個點開始，令之為。令。例：求方程的正根，使誤差不超過0.0001。 第六章 不定積分1 不定積分概念與運算法則微分法的基本問題從已知函數(shù)求出它的導(dǎo)數(shù)；但在某些實際問題中，往往需要考慮與之相反的問題求一個已知函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)恰好是某一已知函數(shù)這就是所謂的積分問題。一、原函數(shù)與不定積分定義1 設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上有定義。若， ，則稱為在區(qū)間 上的一個原函數(shù)。如：是在R上的一個原函數(shù)；等都是在R上的原函數(shù)若函數(shù) 存在原函數(shù)，則其原

50、函數(shù)不是唯一的。問題1 在什么條件下必存在原函數(shù)？若存在，其個數(shù)是否唯一；又若不唯一，則有多少個？問題2 若函數(shù)的原函數(shù)存在，如何將它求出？定理1 設(shè)是在在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則（1）設(shè)是在在區(qū)間上的原函數(shù)，其中C為任意常量（若存在原函數(shù)，則其個數(shù)必為無窮多個）。（2）在上的任何兩個原函數(shù)之間，只可能相差一個常數(shù)。定義2 函數(shù)在區(qū)間上的原函數(shù)的全體稱為在上的不定積分，記作： 注: 是一個整體記號；其中積分號；被積函數(shù)； 被積表達式；積分變量。注：不定積分與原函數(shù)是總體與個體的關(guān)系，即若是的一個原函數(shù)，則的不定積分是一個函數(shù)族，其中是任意常數(shù)，于是，記為： =。此時稱為積分常數(shù)，它可取任意實數(shù)。

51、故有 先積后導(dǎo)正好還原； 先導(dǎo)后積還原后需加上一個常數(shù)（不能完全還原）。如： 。不定積分的幾何意義：若是的一個原函數(shù)，則稱的圖象為 的一條積分曲線。于是，的不定積分在幾何上表示的某一條積分曲線沿縱軸方向任意平移所得一組積分曲線組成的曲線族。結(jié)論：若在每一條積分曲線上橫坐標(biāo)相同的點處作切線，則這些切線互相平行。二、不定積分的基本公式 由于不定積分的定義不象導(dǎo)數(shù)定義那樣具有構(gòu)造性，這就使得求原函數(shù)的問題要比求導(dǎo)數(shù)難得多，因此，我們只能先按照微分法的已知結(jié)果去試探。首先，我們把基本導(dǎo)數(shù)公式改寫成基本積分公式：應(yīng)該牢記下列基本積分公式。 1.；2.；3.，；4.，；5.；6.， ；7.，；8.，；9.

52、；10.；11.；12.；13.；14.。三、不定積分的運算法則 定理2 若函數(shù)與在區(qū)間上都存在原函數(shù)，為兩個任意常數(shù)，則也存在原函數(shù)，且（積分的線性）。注：線性法則的一般形式為： 。例：求。例： 求。例：求 2 不定積分的計算一 、“湊”微分法 有一些不定積分，將積分變量進行一定的變換后就能有基本的積分公式求出所需的積分。例：求。例：求。例：求。注：為了求積分，把它湊成如下的形式，作代換，于是 ，如果這個積分可在基本積分公式中查到為，再代回原來的變量，就得積分。二、換元積分法 定理1 （換元積分法） 設(shè)連續(xù)，及皆為連續(xù)，的反函數(shù)存在且連續(xù)，并且，則。注：在換元積分法中是將被積函數(shù)的某一部分視為一個整體看作一個新的積分變量。例：求 。例：求 。 例：求 。使用換元積分法的關(guān)鍵：在于把被積表達式湊成形式，從而作變換，化積分為：。但要注意的是最后要換回原積分變量。 例：求 。三 、分部積分法 定理2（分部積分法） 若與可導(dǎo)，不定積分存在，則不定積分也存在，且 ，即 。例：求 。例：求 。例：求和.四 、有理函數(shù)積分法 定義：設(shè)和是兩個多項式，凡形如的函數(shù)稱為有理函數(shù)。重要結(jié)論：任何一個有理函數(shù)