第十八章 “勾股定理”簡(jiǎn)介

1、第十八章 “勾股定理”簡(jiǎn)介課程教材研究所 薛 彬 本章主要內(nèi)容是勾股定理及其逆定理。首先讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察得出直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的結(jié)論并加以證明，從而得到勾股定理，然后運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，引入勾股定理的逆定理，并結(jié)合此項(xiàng)內(nèi)容介紹逆命題、逆定理的概念。本章教學(xué)時(shí)間約需8課時(shí)，具體安排如下：181勾股定理4 課時(shí)182勾股定理的逆定理3課時(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié) 1課時(shí)一、教科書(shū)內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖：直角三角形是一種特殊的三角形，它有許多重要的性質(zhì)，如兩個(gè)銳角互余，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性質(zhì)，而且

2、是一條非常重要的性質(zhì)。勾股定理是幾何中幾個(gè)最重要的定理之一，它揭示了一個(gè)直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，它可以解決許多直角三角形中的計(jì)算問(wèn)題，是解直角三角形的主要依據(jù)之一，在生產(chǎn)生活實(shí)際中用途很大。它不僅在數(shù)學(xué)中，而且在其他自然科學(xué)中也被廣泛地應(yīng)用。目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號(hào)，如地球上人類(lèi)的語(yǔ)言、音樂(lè)、各種圖形等。據(jù)說(shuō)我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會(huì)識(shí)別這種“語(yǔ)言”的。這個(gè)事實(shí)可以說(shuō)明勾股定理的重大意義，發(fā)現(xiàn)勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。在第一節(jié)中，教科書(shū)讓學(xué)生通

3、過(guò)觀(guān)察計(jì)算一些直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積與以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積，從而發(fā)現(xiàn)勾股定理。勾股定理的證明方法很多，教科書(shū)正文中介紹的是一種面積證法。其中的依據(jù)是圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變。在教科書(shū)中，圖18.13（1）中的圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后得到圖18.13（3）中的圖形。由此就證明了勾股定理。通過(guò)推理證實(shí)命題1的正確性后，教科書(shū)順勢(shì)指出什么是定理。由勾股定理可知，已知兩條直角邊的長(zhǎng)a,b，就可以求出斜邊c的長(zhǎng)。由勾股定理可得或，由此可知，已知斜邊與一條直角邊的長(zhǎng)，就可以求出另

4、一條直角邊的長(zhǎng)。也就是說(shuō)，在直角三角形中，已知兩條邊的長(zhǎng)，就可以求出第三條邊的長(zhǎng)。教科書(shū)相應(yīng)安排了三個(gè)探究欄目，讓學(xué)生運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題。在第二節(jié)中，教科書(shū)讓學(xué)生畫(huà)出一些兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形，可以發(fā)現(xiàn)畫(huà)出的三角形是直角三角形。從而猜想如果三角形的三邊滿(mǎn)足兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。這個(gè)猜想可以利用全等三角形證明，得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理給出了判定一個(gè)三角形是直角三角形的方法。教科書(shū)安排了兩個(gè)例題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用這種方法。這種方法與前面學(xué)過(guò)的一些判定方法不同，它通過(guò)代數(shù)運(yùn)算“算”出來(lái)。實(shí)際上利用計(jì)算證明幾何問(wèn)題學(xué)生已經(jīng)見(jiàn)過(guò)，計(jì)算在幾何

5、里也是很重要的。從這個(gè)意義上講，勾股定理的逆定理的學(xué)習(xí)，對(duì)開(kāi)闊學(xué)生眼界，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)中的各種方法有很大的意義。幾何中有許多互逆的命題，互逆的定理，它們從正反兩個(gè)方面揭示了圖形的特征性質(zhì)，所以互逆命題和互逆定理是幾何中的重要概念。學(xué)生已見(jiàn)過(guò)一些互逆命題（定理），例如：“兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”與“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行”；“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”與“對(duì)應(yīng)邊相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命題。勾股定理與勾股定理的逆定理也是互逆的命題，而且這兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論都比較簡(jiǎn)單。因此，教科書(shū)在前面已有感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，在第二節(jié)中，結(jié)合勾股定理的逆定理的內(nèi)容的展開(kāi)，穿插介紹了逆命題、逆定理的概念

6、，并舉例說(shuō)明原命題成立其逆命題不一定成立。為鞏固這些內(nèi)容，相應(yīng)配備了一些練習(xí)與習(xí)題。本章學(xué)習(xí)目標(biāo)如下：1 體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程，會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；2 會(huì)運(yùn)用勾股定理的逆定理判定直角三角形；3通過(guò)具體的例子，了解定理的含義，了解逆命題、逆定理的概念，知道原命題成立其逆命題不一定成立。二、本章編寫(xiě)特點(diǎn)（一）讓學(xué)生體驗(yàn)勾股定理的探索和運(yùn)用過(guò)程勾股定理的發(fā)現(xiàn)從傳說(shuō)故事講起，從故事中可以發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形有這樣的性質(zhì)：以等腰直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積。再看一些其他直角三角形，發(fā)現(xiàn)也有上述性質(zhì)。因而猜想所有直角三角形都有這個(gè)性質(zhì)，即如果直角三角

7、形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么（教科書(shū)把這個(gè)猜想記作命題1，把下節(jié)“如果三角形的三邊長(zhǎng)滿(mǎn)足，那么這個(gè)三角形是直角三角形”記作命題2，便于引出互逆命題）。教科書(shū)讓學(xué)生用勾股定理探究三個(gè)問(wèn)題。探究1是木板進(jìn)門(mén)問(wèn)題。按照已知數(shù)據(jù)，木板橫著、豎著都不能進(jìn)門(mén)，只能斜著試試。由此想到求長(zhǎng)方形門(mén)框的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)，而這個(gè)問(wèn)題可以用勾股定理解決。探究2是梯子滑動(dòng)問(wèn)題：梯子頂端滑動(dòng)一段距離，梯子的底端是否也滑動(dòng)相同的距離。這個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為已知斜邊與一條直角邊的長(zhǎng)求另一條直角邊的長(zhǎng)的問(wèn)題，這也可以用勾股定理解決。探究3是在數(shù)軸上畫(huà)出表示的點(diǎn)。分以下四步引導(dǎo)學(xué)生：（1）將在數(shù)軸上畫(huà)出表示的點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為畫(huà)出長(zhǎng)為

8、的線(xiàn)段的問(wèn)題。（2）由長(zhǎng)為的線(xiàn)段是直角邊都為1的直角三角形的斜邊，聯(lián)想到長(zhǎng)為的線(xiàn)段能否是直角邊為正整數(shù)的直角三角形的斜邊。（3）通過(guò)嘗試發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)為的線(xiàn)段是直角邊為2,3的直角三角形的斜邊。（4）畫(huà)出長(zhǎng)為的線(xiàn)段，從而在數(shù)軸上畫(huà)出表示的點(diǎn)。（二）結(jié)合具體例子介紹抽象概念在本章中，結(jié)合勾股定理、勾股定理的逆定理介紹了定理、逆命題、逆定理的內(nèi)容。在勾股定理一節(jié)中，先讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察得出命題1，然后通過(guò)面積變形證明命題1。由此說(shuō)明，經(jīng)過(guò)證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理。在勾股定理的逆定理一節(jié)中，從古埃及人畫(huà)直角的方法談起，然后讓學(xué)生畫(huà)一些三角形（已知三邊，并且兩邊的平方和等于第三邊的平方），可以發(fā)現(xiàn)畫(huà)出的三角

9、形是直角三角形。因而猜想如果三角形的三邊長(zhǎng)滿(mǎn)足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，即教科書(shū)中的命題2。把命題2的條件、結(jié)論與上節(jié)命題1的條件、結(jié)論作比較，引出逆命題的概念。接著探究證明命題2的思路。用三角形全等證明命題2后，順勢(shì)引出逆定理的概念。命題1，命題2屬于原命題成立，逆命題也成立的情況。為了防止學(xué)生由此誤以為原命題成立，逆命題一定成立，教科書(shū)特別舉例說(shuō)明有的原命題成立，逆命題不成立。（三）注重介紹數(shù)學(xué)文化我國(guó)古代的學(xué)者們對(duì)勾股定理的研究有許多重要成就，不僅在很久以前獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了勾股定理，而且使用了許多巧妙的方法證明了它，尤其在勾股定理的應(yīng)用方面，對(duì)其他國(guó)家的影響很大，這些都是我國(guó)人民對(duì)人類(lèi)的

10、重要貢獻(xiàn)。本章介紹了我國(guó)古代的有關(guān)研究成果。在引言中介紹我國(guó)古算書(shū)周髀算經(jīng)的記載“如果勾是三、股是四、那么弦是五”。有很多方法可以證明勾股定理。教科書(shū)為了弘揚(yáng)我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就，介紹了我國(guó)古人趙爽的證法。首先介紹趙爽弦圖，然后介紹趙爽利用弦圖證明命題1的基本思路?！摆w爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲。正因?yàn)榇?，這個(gè)圖案被選為2002年在北京召開(kāi)的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽。還在習(xí)題中安排我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中的問(wèn)題，展現(xiàn)我國(guó)古人在勾股定理應(yīng)用研究方面的成果。本章也介紹了國(guó)外的有關(guān)研究成果。如勾股定理的發(fā)現(xiàn)是從與畢達(dá)哥拉斯有關(guān)傳說(shuō)故事引入的。又如勾股定理的逆定

11、理從古埃及人畫(huà)直角的方法引入。再如介紹古希臘哲學(xué)家柏拉圖關(guān)于勾股數(shù)的結(jié)論。三、 幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題（一）讓學(xué)生獲得更多與勾股定理有關(guān)的背景知識(shí)與勾股定理有關(guān)的背景知識(shí)豐富，除正文介紹的有關(guān)內(nèi)容外，教科書(shū)在“閱讀與思考 勾股定理的證明”中介紹了另外幾種證明勾股定理的方法，還安排了一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生收集一些證明勾股定理的方法，并與同學(xué)交流。在教學(xué)中，應(yīng)注意展現(xiàn)與勾股定理有關(guān)的背景知識(shí)，使學(xué)生對(duì)勾股定理的發(fā)展過(guò)程有所了解，感受勾股定理的豐富文化內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。特別應(yīng)通過(guò)向?qū)W生介紹我國(guó)古代在勾股定理研究方面的成就，激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)祖國(guó)，熱愛(ài)祖國(guó)悠久文化的思想感情，培養(yǎng)他們的民族自豪感，同時(shí)教育學(xué)生發(fā)奮圖強(qiáng)，努力學(xué)習(xí)，為將來(lái)?yè)?dān)負(fù)起振興中華的重任打下基礎(chǔ)。（二）適當(dāng)總結(jié)與定理、逆定理有關(guān)的內(nèi)容本章中給出了定理、逆定理的概念，可以在小結(jié)中回顧已學(xué)的一些結(jié)論。例如，在第七章“三角形”中，“三角形的內(nèi)角和等于180°”是由平行線(xiàn)的性質(zhì)與平角的定義推出的，這個(gè)結(jié)論也稱(chēng)為三角形內(nèi)角和定理。又如，在第十三章“全等三角形”中，都是利用三角形全等證明的，前一個(gè)結(jié)論也稱(chēng)為角的平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，而后一個(gè)結(jié)論