利用系綜理論求弗倫克爾缺陷

1、利用系綜理論求弗倫克爾缺陷* 安徽省教育委員會(huì)資助課題 倪 致 祥( 阜陽(yáng)師范學(xué)院物理系，安徽 阜陽(yáng) 236032 )摘 要 利用各種系綜分布方法處理了晶體中的弗倫克爾缺陷問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)結(jié)果在熱力學(xué)意義上完全等效。關(guān)鍵詞 系綜理論，弗倫克爾缺陷分類號(hào) O4141引言弗倫克爾缺陷是非理想晶體的常見(jiàn)現(xiàn)象，在固體物理的研究中有重要意義。在通常的教學(xué)參考資料中，這個(gè)問(wèn)題都是用統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)的方法處理的1。按照統(tǒng)計(jì)物理學(xué)，最一般的處理方法應(yīng)該是系綜理論。達(dá)到平衡時(shí)孤立系統(tǒng)服從微正則分布，封閉系統(tǒng)服從正則分布，開(kāi)放系統(tǒng)服從巨正則分布。根據(jù)系統(tǒng)與外界的關(guān)系，我們可以利用不同的分布函數(shù)來(lái)研究非理想晶體的弗倫克爾缺陷問(wèn)

2、題。2物理模型N個(gè)原子有規(guī)則地排列形成一個(gè)理想晶體。如果其中的原子脫離晶體的晶格位置而跑到晶格的空隙（填隙位置）中，原來(lái)的理想晶體就出現(xiàn)了缺陷，這種缺陷稱為弗倫克爾缺陷。通常原子能夠占有的填隙位置的數(shù)目N與晶格位置數(shù)N具有同樣數(shù)量級(jí)，可以假定N = q N ，其中q1為比例系數(shù)。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)一個(gè)原子從晶格位置移到填隙位置所需要的能量為常數(shù)u。在上述簡(jiǎn)化的非理想晶體模型下，較容易研究晶體中弗倫克爾缺陷的數(shù)目n與溫度T的關(guān)系2。3統(tǒng)計(jì)系綜方法3.1微正則分布 把晶體看成孤立系統(tǒng)，應(yīng)采用微正則分布方法。當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)n個(gè)弗倫克爾缺陷時(shí)，N個(gè)晶格點(diǎn)陣位置有n個(gè)是空位；N個(gè)晶格填隙位置有n個(gè)被原子占據(jù)。

3、如果忽略邊界效應(yīng)，系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù)W為 ， (1)系統(tǒng)由于原子填隙而增加的總能量為 (2)在一般情況下有n << N，利用斯特林公式，(1)式可化為 (3)對(duì)于常溫下的宏觀物體，有1 << n，(3)式可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為 (4)由(2)和(4)兩式，不難得到系統(tǒng)的微正則配分函數(shù)的對(duì)數(shù) (5) 由統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)公式可得 ， (6)上式容易化成 ， (7)即 (8)(8)式給出了孤立系統(tǒng)晶體中弗倫克爾缺陷的數(shù)目n與溫度T的關(guān)系。3.2正則分布 把晶體看成與大熱源平衡的封閉系統(tǒng)，應(yīng)采用正則分布方法。正則配分函數(shù)為 (9)利用公式(2)和(4)，我們有 (10)上式求和中的主要貢獻(xiàn)在于n取

4、較大值的項(xiàng)，對(duì)n!利用斯特林公式，我們不難算出 (11)由統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)公式我們得到 ， (12)上式容易化成 (13)(13)式給出了封閉系統(tǒng)晶體中弗倫克爾缺陷的平均值與溫度T的關(guān)系。3.3巨正則分布方法 把晶體看成與大熱源和大粒子源平衡的開(kāi)放系統(tǒng)，應(yīng)采用巨正則分布方法。巨正則配分函數(shù)為 (14)利用公式(11)和關(guān)系式N = q N，我們不難算出 (15)由統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)公式可得 (16)由上式可以解出 ， (17)等價(jià)于 (18)(18)式給出了開(kāi)放系統(tǒng)晶體中弗倫克爾缺陷的平均值與溫度T的關(guān)系。4結(jié)論上面我們用三種不同的統(tǒng)計(jì)系綜方法計(jì)算了非理想晶體中弗倫克爾缺陷的數(shù)目與溫度T的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)算出的缺陷數(shù)完全相同。這表明在晶體的熱力學(xué)問(wèn)題上這些方法是完全等價(jià)的。從原則上來(lái)說(shuō)，這三種分布描述的是三種不同系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律；但是在實(shí)際上，只要系統(tǒng)本身足夠大，一般漲落并不顯示出宏觀效應(yīng)。因此在實(shí)際計(jì)算中，把一個(gè)系統(tǒng)看成遵從哪個(gè)分布差別是不大的。參 考 文 獻(xiàn)1 上海市物理學(xué)會(huì)教學(xué)研究委員會(huì)理論物理習(xí)題集上海：上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1983 2901 馬本 ，高尚惠，孫 煜熱力