微積分課件：8-6 高斯公式與散度

1、一、高一、高 斯斯 公公 式式二、簡(jiǎn)單的應(yīng)用二、簡(jiǎn)單的應(yīng)用三、物理意義三、物理意義-通量與散度通量與散度四、小結(jié)四、小結(jié) 第六節(jié)第六節(jié) 高高 斯公斯公 式與散度式與散度 設(shè)空間閉區(qū)域設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲面圍成由分片光滑的閉曲面圍成, ,函數(shù)函數(shù)),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上具有上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 則有公式則有公式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(一、高一、高 斯斯 公公 式式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或這這里里 是是 的的整整個(gè)個(gè)邊邊界界曲曲面面的的外外側(cè)側(cè)， cos,cos,cos是是 上

2、上點(diǎn)點(diǎn)),(zyx處處的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦. .證明證明設(shè)設(shè)閉閉區(qū)區(qū)域域 在在面面xoy上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閤yD. .xyzo 由由1 , ,2 和和3 三三部部分分組組成成, ,),(1:1yxzz ),(2:2yxzz 3 1 2 3 xyD根據(jù)三重積分的計(jì)算法根據(jù)三重積分的計(jì)算法dxdydzzRdvzRxyDyxzyxz ),(),(21.),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根據(jù)曲面積分的計(jì)算法根據(jù)曲面積分的計(jì)算法,),(,),(11 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR( (1 取取下下側(cè)側(cè), , 2 取取上上側(cè)側(cè), , 3 取取

3、外外側(cè)側(cè)) ),),(,),(22 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR,),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR于于是是R(x,y,z)dxdyR(x,y,z)dxdy . 0),(3 dxdyzyxR.),( dxdyzyxRdvzR,),( dydzzyxPdvxP同理同理,),( dzdxzyxQdvyQ RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(-高斯公式高斯公式和并以上三式得：和并以上三式得：GaussGauss公式的實(shí)質(zhì)公式的實(shí)質(zhì) 表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系曲面上的曲面積分之

4、間的關(guān)系.)coscoscos()( dSRQPdvzRyQxP 由兩類曲面積分之間的關(guān)系知由兩類曲面積分之間的關(guān)系知二、簡(jiǎn)單的應(yīng)用二、簡(jiǎn)單的應(yīng)用使用使用Guass公式時(shí)應(yīng)注意公式時(shí)應(yīng)注意:(1)(1)1. P,Q,RC ()1. P,Q,RC ()xozy1解解, 0,)(yxRQxzyP , 0, 0, zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式.29 (利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性)xyzoh xyDxyzoh 1 解解空間曲面在空間曲面在 面上的投影域?yàn)槊嫔系耐队坝驗(yàn)閤oyxyD)(:2221hyxhz 補(bǔ)充補(bǔ)充曲面曲面 不是封閉曲面不是封閉曲面, 為利用為利用高斯公式高斯公式取上側(cè)，取上

5、側(cè)，1 構(gòu)構(gòu)成成封封閉閉曲曲面面，取取外外側(cè)側(cè)1 .1 圍成空間區(qū)域圍成空間區(qū)域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 zdvdvzyxdSzyx2)(2)coscoscos(1222 xyxyh h0 0D D2zdzdxdy2zdzdxdy h h2 20 02z2z z dzz dz .214h 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求積分為故所求積分為 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h 例例4:4:222222I(yx)dydz(zy)dzdx(xz)dxdyI(yx)dydz(zy)dzdx(xz)dxdy 設(shè)設(shè)

6、 為曲面為曲面21,222zyxz取下側(cè)取下側(cè), , 求求 解解: 作取上側(cè)的輔助面作取上側(cè)的輔助面1:1z1:),(22yxDyxyxI1111 3 d x d ydz3 d x d ydz 2 2(x1)d x d y(x1)d x d y xyD 2 21 13 3 (2z)dz(2z)dz 2 20 0d d 1 122220 0(r cos(r cos 1)d r1)d r 9 9 4 4 1zoxy211( (見見習(xí)習(xí)題題課課) )例例: :設(shè)設(shè) 是一光滑閉曲面是一光滑閉曲面, ,azuyuxuuCzyxu 222222)2(,),(所圍立體所圍立體 的體積為的體積為V V, ,試

7、證試證.d31aVSnu )(的外法向量的外法向量為為 n三、物理意義三、物理意義-通量與散度通量與散度設(shè)設(shè)有有向向量量場(chǎng)場(chǎng) kzyxRjzyxQizyxPzyxF),(),(),(),( 沿沿場(chǎng)場(chǎng)中中某某一一有有向向曲曲面面的的第第二二類類曲曲面面積積分分為為1.1. 通量通量( (或流量或流量) )的定義的定義: : RdxdyQdzdxPdydzSdF2. 2. 散度的定義散度的定義: :zRyQxPFdivdivFzyxFzRyQxPkzyxRjzyxQizyxPzyxFzyx 即即記為記為處的散度處的散度在點(diǎn)在點(diǎn)為為稱數(shù)量稱數(shù)量設(shè)向量場(chǎng)設(shè)向量場(chǎng),),(),(),(),(),(),(高

8、斯公式可寫成高斯公式可寫成 SdFdVFdiv.的的邊邊界界曲曲面面的的外外側(cè)側(cè)是是空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域其其中中 設(shè)設(shè)有有向向量量場(chǎng)場(chǎng)),(zyxF, ,在在場(chǎng)場(chǎng)內(nèi)內(nèi)作作包包圍圍點(diǎn)點(diǎn)M 的的閉閉曲曲面面 , , 包包圍圍的的區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閂, ,記記體體積積為為V. . 源頭強(qiáng)度在立體源頭強(qiáng)度在立體 上的三重積分等于單位時(shí)間內(nèi)上的三重積分等于單位時(shí)間內(nèi)流體通過(guò)流體通過(guò) 的邊界流向外側(cè)的總流量的邊界流向外側(cè)的總流量.,)(, 0,0)(, 0,0)(為為無(wú)無(wú)源源場(chǎng)場(chǎng)稱稱在在場(chǎng)場(chǎng)內(nèi)內(nèi)處處處處為為零零如如果果處處有有負(fù)負(fù)源源在在稱稱有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)處處有有正正源源在在稱稱有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)FMFdivMFsdF

9、MFdivMFsdFMFdiv 高斯公式的物理意義高斯公式的物理意義: 222222r r例例4 :4 : 設(shè)設(shè) Af(r),rxyz ,Af(r),rxyz ,求求div Adiv Ar r)(,)(,)(:zrrfyrrfxrrfA 解解)( )(2rfrrfAdiv 222222222222例例5 :5 : 求求向向量量A(xyz) i(yzx)j(zxy)kA(xyz) i(yzx)j(zxy)kxyzxyz從從1 1的的內(nèi)內(nèi)部部穿穿過(guò)過(guò)外外部部的的通通量量abcabc( (習(xí)習(xí)題題課課的的課課外外作作業(yè)業(yè)) )總結(jié)總結(jié):第二類曲面積分計(jì)算第二類曲面積分計(jì)算IPdydzQdzdxRdx

10、dy 閉合閉合()PQRIdVxyz 非閉非閉補(bǔ)充曲面再用高斯補(bǔ)充曲面再用高斯公式公式 化化為為第第一一類類曲曲面面積積分分I=(Pcos +Qcos +Rcos )dSI=(Pcos +Qcos +Rcos )dS( (指指定定) )投投影影化化為為二二重重積積分分四、小結(jié)四、小結(jié) SdFdVFdiv（1）應(yīng)用的條件）應(yīng)用的條件（2）物理意義）物理意義2、高斯公式的實(shí)質(zhì)、高斯公式的實(shí)質(zhì)1、高斯公式、高斯公式 RdxdyQdzdxPdydzdVzRyQxP)(思考題思考題曲面應(yīng)滿足什么條件才能使高斯公式成立？曲面應(yīng)滿足什么條件才能使高斯公式成立？思考題解答思考題解答曲面應(yīng)是分片光滑的曲面應(yīng)是分

11、片光滑的閉閉曲面曲面.一、一、 利用高斯公式計(jì)算曲面積分利用高斯公式計(jì)算曲面積分: :1 1、dxdyzdzdxydydzx333 , ,其中其中 為球面為球面 2222azyx 外側(cè)；外側(cè)；2 2、 zdxdyydzdxxdydz, ,其中其中 是界于是界于0 z和和 3 z之間的圓柱體之間的圓柱體922 yx的整個(gè)表面的外的整個(gè)表面的外 側(cè)；側(cè)；3 3、 xzdydz, , 其中其中是上半球面是上半球面 222yxRz 的上側(cè)的上側(cè) . .練習(xí)題練習(xí)題二、證明二、證明: :由封閉曲面所包圍的體積為由封閉曲面所包圍的體積為 dszyxV)coscoscos(31 , ,式中式中 cos,co

12、s,cos是曲面的外法線的方向余弦是曲面的外法線的方向余弦 . .三、求向量三、求向量kxzjyxizxA22)2( , ,穿過(guò)曲面穿過(guò)曲面 : :為為立方體立方體ayax 0,0, ,az 0的全表面的全表面, ,流流向外側(cè)的通量向外側(cè)的通量 . .四、求向量場(chǎng)四、求向量場(chǎng)kxzjxyieAxy)cos()cos(2 的散的散度度 . .五、設(shè)五、設(shè)),(,),(zyxvzyxu是兩個(gè)定義在閉區(qū)域是兩個(gè)定義在閉區(qū)域 上的上的具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù), ,nvnu ,依次表示依次表示 ),(,),(zyxvzyxu沿沿 的外法線方向的方向?qū)У耐夥ň€方向的方向?qū)?shù)數(shù) . .證明證明: :dsnu