培優(yōu)專題4 用十字相乘法把二次三項(xiàng)式分解因式（共7頁）

1、5、用十字相乘法把二次三項(xiàng)式分解因式【知識(shí)精讀】 對(duì)于首項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式的十字相乘法，重點(diǎn)是運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解。掌握這種方法的關(guān)鍵是確定適合條件的兩個(gè)數(shù)，即把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)數(shù)的積，且其和等于一次項(xiàng)系數(shù)。 對(duì)于二次三項(xiàng)（a、b、c都是整數(shù)，且）來說，如果存在四個(gè)整數(shù)滿足，并且，那么二次三項(xiàng)式即可以分解為。這里要確定四個(gè)常數(shù)，分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是1的類型復(fù)雜，因此一般要借助畫十字交叉線的辦法來確定。 下面我們一起來學(xué)習(xí)用十字相乘法因式分解?！痉诸惤馕觥?1. 在方程、不等式中的應(yīng)用 例1. 已知：，求x的取值范圍。 分析：本題為二次不等式，可以應(yīng)用因式分解化二次為一次，即可求解。

2、解： 例2. 如果能分解成兩個(gè)整數(shù)系數(shù)的二次因式的積，試求m的值，并把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。 分析：應(yīng)當(dāng)把分成，而對(duì)于常數(shù)項(xiàng)-2，可能分解成，或者分解成，由此分為兩種情況進(jìn)行討論。 解：（1）設(shè)原式分解為，其中a、b為整數(shù)，去括號(hào)，得： 將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，得： 解得： 此時(shí)，原式 （2）設(shè)原式分解為，其中c、d為整數(shù)，去括號(hào)，得： 將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，得： 解得： 此時(shí)，原式 2. 在幾何學(xué)中的應(yīng)用 例. 已知：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬為x、y，周長(zhǎng)為16cm，且滿足，求長(zhǎng)方形的面積。 分析：要求長(zhǎng)方形的面積，需借助題目中的條件求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。 解： 或 又 解得：或 長(zhǎng)方形的面

3、積為15cm2或 3、在代數(shù)證明題中的應(yīng)用 例. 證明：若是7的倍數(shù)，其中x，y都是整數(shù)，則是49的倍數(shù)。 分析：要證明原式是49的倍數(shù)，必將原式分解成49與一個(gè)整數(shù)的乘積的形式。 證明一： 是7的倍數(shù)，7y也是7的倍數(shù)（y是整數(shù)） 是7的倍數(shù) 而2與7互質(zhì)，因此，是7的倍數(shù)，所以是49的倍數(shù)。 證明二：是7的倍數(shù)，設(shè)（m是整數(shù)） 則 又 x，m是整數(shù)，也是整數(shù) 所以，是49的倍數(shù)。4、中考點(diǎn)撥 例1.把分解因式的結(jié)果是_。 解： 說明：多項(xiàng)式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，繼續(xù)分解徹底。 例2. 因式分解：_ 解： 說明：分解系數(shù)時(shí)一定要注意符號(hào)，否則由于不慎將造成錯(cuò)誤。5、題型展

4、示 例1. 若能分解為兩個(gè)一次因式的積，則m的值為（ ） A. 1B. -1C. D. 2 解： -6可分解成或，因此，存在兩種情況： 由（1）可得：，由（1）可得： 故選擇C。 說明：對(duì)二元二次多項(xiàng)式分解因式時(shí)，要先觀察其二次項(xiàng)能否分解成兩個(gè)一次式乘積，再通過待定系數(shù)法確定其系數(shù)，這是一種常用的方法。 例2. 已知：a、b、c為互不相等的數(shù)，且滿足。 求證： 證明： 說明：抓住已知條件，應(yīng)用因式分解使命題得證。 例3. 若有一因式。求a，并將原式因式分解。 解：有一因式 當(dāng)，即時(shí)， 說明：由條件知，時(shí)多項(xiàng)式的值為零，代入求得a，再利用原式有一個(gè)因式是，分解時(shí)盡量出現(xiàn)，從而分解徹底?！緦?shí)戰(zhàn)模擬

5、】 1. 分解因式：（1） （2）（3）2. 在多項(xiàng)式，哪些是多項(xiàng)式的因式？3. 已知多項(xiàng)式有一個(gè)因式，求k的值，并把原式分解因式。4. 分解因式： 5. 已知：，求的值?！驹囶}答案】 1. （1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 2. 解： 其中是多項(xiàng)式的因式。 說明：先正確分解，再判斷。 3. 解：設(shè) 則 解得： 且 說明：待定系數(shù)法是處理多項(xiàng)式問題的一個(gè)重要辦法，所給多項(xiàng)式是三次式，已知有一個(gè)一次因式，則另一個(gè)因式為二次式，由多項(xiàng)式乘法法則可知其二次項(xiàng)系數(shù)為1。 4. 解：簡(jiǎn)析：由于項(xiàng)數(shù)多，直接分解的難度較大，可利用待定系數(shù)法。 設(shè) 比較同類項(xiàng)系數(shù)，得： 解得： 5. 解： 說明

6、：用因式分解可簡(jiǎn)化計(jì)算。1 過兩點(diǎn)有且只有一條直線 2 兩點(diǎn)之間線段最短 3 同角或等角的補(bǔ)角相等 4 同角或等角的余角相等 5 過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直 6 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短 7 平行公理 經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行 8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行 9 同位角相等，兩直線平行 10 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 11 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 12兩直線平行，同位角相等 13 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 14 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) 15 定理 三角形兩邊的和大于第三邊 16 推論 三角形兩邊的差小于第三邊

7、17 三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180° 18 推論1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余 19 推論2 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 20 推論3 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角 21 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等 22邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 23 角邊角公理( ASA)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 24 推論(AAS) 有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 25 邊邊邊公理(SSS) 有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 26 斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)

8、直角三角形全等 27 定理1 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等 28 定理2 到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上 29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合 30 等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等 (即等邊對(duì)等角） 31 推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊 32 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合 33 推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（等角對(duì)等邊） 35 推論1 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三

9、角形 36 推論 2 有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形 37 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半 38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半 39 定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 40 逆定理 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上 41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合 42 定理1 關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形 43 定理 2 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線 44定理3 兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線

10、相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上 45逆定理 如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱 46勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2 ，那么這個(gè)三角形是直角三角形 48定理 四邊形的內(nèi)角和等于360° 49四邊形的外角和等于360° 50多邊形內(nèi)角和定理 n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）×180° 51推論 任意多邊的外角和等于360° 52平行四邊形性質(zhì)定理1 平行四邊形的對(duì)角相等 53平行四邊形性質(zhì)定理2 平行四邊形的對(duì)邊相等 54推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等 55平行四邊形性質(zhì)定理3 平