氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子振動的研究

1、T。阻尼振13-1所示。x時(shí)，m只受彈氣效導(dǎo)軌k(x X0) k(x X0) mx 氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子振動的研究力學(xué)實(shí)驗(yàn)最困難的問題就是摩擦力對測量的影響。氣墊導(dǎo)軌就是為消除摩擦而設(shè)計(jì)的力學(xué)實(shí)驗(yàn)的裝置，它使物體在氣墊上運(yùn)動，避免物體與導(dǎo)軌表面的直接接觸，從而消除運(yùn)動物體與導(dǎo)軌表的摩擦，也就是說，物體受到的摩擦阻力幾乎可以忽略。利用氣墊導(dǎo)軌可以進(jìn)行許多力學(xué)實(shí)驗(yàn)，如測速度、加速度，驗(yàn)證牛頓第二定律、動量守恒定律，研究簡諧振動、動等，本實(shí)驗(yàn)采用氣墊導(dǎo)軌研究彈簧振子的振動。一、必做部分：簡諧振動實(shí)驗(yàn)?zāi)康? .測量彈簧振子的振動周期2 .求彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k和有效質(zhì)量m0。儀器儀器氣墊導(dǎo)軌、滑塊、附加祛碼

2、、彈簧、光電門、數(shù)字毫秒計(jì)。實(shí)驗(yàn)原理在水平的氣墊導(dǎo)軌上，兩個(gè)相同的彈簧中間系一滑塊，滑塊做往返振動，如圖如果不考慮滑塊運(yùn)動的阻力，那么，滑塊的振動可以看成是簡諧振動。設(shè)質(zhì)量為m的滑塊處于平衡位置，每個(gè)彈簧的伸長量為太，當(dāng)m距平衡點(diǎn)性力k1(xX0)與k1(xk1是彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)。根據(jù)牛頓第二定律，其運(yùn)動方程為圖13-1簡諧運(yùn)動原理圖k2kl方程（1）的解為 x Asin（ 0t 0）(2)說明滑塊是做簡諧振動。式中:A一振幅;0一初相位。0叫做振動系統(tǒng)的固有頻率。而式中：m計(jì)振動系統(tǒng)的有效質(zhì)量;mm0(4)m一彈簧的有效質(zhì)量；m滑塊和祛碼的質(zhì)量。0由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)所決定。振動周期T與0有下

3、列關(guān)系:m1m0k在實(shí)驗(yàn)中，我們改變 m,測出相應(yīng)的T,考慮T與m的關(guān)系，從而求出 k和m0。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1 .按氣墊導(dǎo)軌和計(jì)時(shí)器的使用方法和要求，將儀器調(diào)整到正常工作狀態(tài)。2 .測量圖13-1所示的彈簧振子的振動周期T,重復(fù)測量6次，與T相應(yīng)的振動系統(tǒng)的有效質(zhì)量是mm1m0,其中m就是滑塊本身（未加祛碼塊）的質(zhì)量，m為彈簧的有效質(zhì)量。3 .在滑塊上對稱地加兩塊祛碼，再按步驟2測量相應(yīng)的周期T,這時(shí)系統(tǒng)的有效質(zhì)量mm2m0,其中m2應(yīng)是滑塊本身質(zhì)量加上兩塊祛碼的質(zhì)量和。4 .再用mm3m0和mm4m0測量相應(yīng)的周期T。式中：m3m1“4塊祛碼的質(zhì)量”；m4m1“6塊祛碼的質(zhì)量”。（注意記錄每次所加

4、祛碼的號數(shù)，以便稱出各自的質(zhì)量。）5 .測量完畢，先取下滑塊、彈簧等，再關(guān)閉氣源，切斷電源，整理好儀器。6 .在天平上稱衡兩彈簧的實(shí)際質(zhì)量與其有效質(zhì)量進(jìn)行比較。7.求出彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k和有效質(zhì)量mo,以及彈簧的有效質(zhì)量與實(shí)際質(zhì)量之比。數(shù)據(jù)處理1 .用逐差法處理數(shù)據(jù)。由下列公式:T124, (mik4 2,-(m2 k4 2,-(m3 k4 2(m4 kmo)mo)mo)mo)(6)4k4k-(m32-(m4m1)m2)4 2(m3 m1)T32 T14 2(m4m2)2(k(8)如果由（7）式得到卜和卜的數(shù)值是一樣的（即兩者之差不超過測量誤差的范圍），說明（5）式中T與m的關(guān)系是成立的。將平均

5、值k代入（6）式，得moikTi2mi(i=1,4)(9)m0moi4ii(10)平均值m0就是彈簧的有效質(zhì)量。mO2 .用作圖法處理數(shù)據(jù)_2_2T為縱坐標(biāo)，m為橫坐標(biāo)，作Timi圖，得直線。其斜率為k,截距為k由此可求出k和m。思考題仔細(xì)觀察，可以發(fā)現(xiàn)滑塊的振幅是不斷減小的，那么為什么還可以認(rèn)為滑塊是做簡諧振動?實(shí)驗(yàn)中應(yīng)如何盡量保證滑塊做簡諧振動？二、選做部分：阻尼振動實(shí)驗(yàn)?zāi)康? .觀測彈簧振子在有阻尼情況下的振動，測定表征阻尼振動特性的一些參量，如對數(shù)減縮、馳豫時(shí)間、品質(zhì)因數(shù)Q的方法;2 .利用動態(tài)法測定滑塊和導(dǎo)軌之間粘性阻尼常量bo實(shí)驗(yàn)儀器氣墊導(dǎo)軌，滑塊，彈簧，光電門，數(shù)字毫秒計(jì)，附加物

6、。實(shí)驗(yàn)原理一個(gè)自由振動系統(tǒng)由于外界和內(nèi)部的原因，使其振動的能量逐漸減少，振幅因之逐漸衰減，最后停止振動，這就是阻尼振動。在單擺和天平的實(shí)驗(yàn)中我們觀察到阻尼振動，實(shí)際上不僅在力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，也不限于機(jī)械運(yùn)動，例如，電流指針的運(yùn)動，LRC振蕩電路中的電流、電壓變化等也是阻尼振動。本實(shí)驗(yàn)的阻尼諧振子由氣墊導(dǎo)軌上的滑塊和一對彈簧組成，如圖13-2。此時(shí)滑塊除受彈簧恢復(fù)力作用外，還受到滑塊與導(dǎo)軌之間的粘性阻力的作用。在滑塊速度較小時(shí)，粘性阻力F阻和滑塊的速度成正比，即F阻bvbdxdt (11)圖13-2阻尼振動原理圖kx和阻式中b為粘性阻尼常量。氣墊導(dǎo)軌上由滑塊和一對彈簧組成的振動系統(tǒng)，在彈性力尼力F阻作

7、用下，滑塊的運(yùn)動方程為d2x,dxm-rkxbdtdt（12）2式中m為滑塊質(zhì)量。令m,其中常數(shù)稱為阻尼因數(shù)，0為振動系統(tǒng)的固2有頻率，則式(12)可改寫為d2xdxdt20X0(13)當(dāng)阻力較小時(shí)，此方程的解為其中A0etcos(ft)(14)而阻尼振動周期T為2(15)由以上可知，阻尼振動的主要特點(diǎn)是:1.阻尼振動的振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減，如圖13-3,即AtA0e。顯然，振幅衰減的快慢和阻尼因數(shù)的大小有關(guān)，而因而和粘性阻尼常量b及振子質(zhì)量m有關(guān)。周期越長。為直觀地反映阻尼振動的衰減特性，常用對數(shù)減縮、弛豫時(shí)間及品質(zhì)因數(shù)Q來表不。T()2.阻尼振動周期T要比無阻尼振動周期0略長，阻尼越大

8、,而且提供了粘性阻在弱阻尼情況下，它們清楚地反映了振動系統(tǒng)的振幅及能量衰減的快慢,尼常量b的動態(tài)測量方法。(1)對數(shù)減縮是指任一時(shí)刻t的振幅A(t)和過一個(gè)周期后的振幅A(t+T)之比的對數(shù)，即A°etAe(tT)T將2m代入上式，得(16)即測出，就能求得或b。(2)弛豫時(shí)間它是振幅A)衰減至初值e -1 (=0.368)倍所經(jīng)歷的時(shí)間，即AoerAoe所以(17)(3)品質(zhì)因數(shù)Q一個(gè)振動系統(tǒng)的品質(zhì)因素又稱Q值，是一個(gè)應(yīng)用極為廣泛的概念，它在交流電系統(tǒng)及無線電電子學(xué)中是一個(gè)很常見的術(shù)語。品質(zhì)因數(shù)是指振動系統(tǒng)的總能量E與在一個(gè)周期中所損耗的能量DE之比的2P倍，用Q表示，則Q2E(2

9、-19)阻尼振動中，能量的損耗是由于克服阻尼力作功而造成的，其作功的功率等于阻尼力的大小bv乘以運(yùn)動速率v,即等于bv2。在振動時(shí)，bv2是一個(gè)變量，可用一個(gè)周期中的平均值作為這一周期中的平均效果。這樣，一個(gè)周期中的能量損耗DE等于一個(gè)周期中克服阻尼力作的功，所以2、一E(bv)平均T而對于振動系統(tǒng)而言，一個(gè)周期中的平均動能等于平均勢能，且均等于總能量的一半，即/1212、1(2mv)平均(2kx)平均-E(v)平均Eb-T因而(20)綜合式(20)、(17)、(19),得出Q一)從以上的討論可知，只要測出阻尼振動的對數(shù)減縮，就能求出反映阻尼振動特性的其它量,如b、Q。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1 .利用半衰期法求。測定滑塊、彈簧組成的阻尼諧振子的對數(shù)減縮，弛豫時(shí)間及品質(zhì)因數(shù)Q半衰期是指阻尼振動的振幅從初值A(chǔ)減到A/2時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間，記為Th,則AoA°eTh由此可得ln2Tln2參照式（16）可得，Th（22）用停表測出阻尼諧振子的振幅從A減小到A/2的時(shí)間Th及周期T,計(jì)算對數(shù)減縮，進(jìn)而求出和Q值以及阻尼常量b值。2 .考查振子質(zhì)量及彈簧的勁度系數(shù)k對阻尼振動各常數(shù)的影響。在滑塊上附加質(zhì)量、改換不同勁度系數(shù)的彈簧再測b、&Q值，從對比中分析其影響。思考題1 .阻尼振動周期比無阻尼（或阻尼很小時(shí)）振動周期長，你能否利用此實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)法加以證明？2