淺談數(shù)學(xué)建模活動中信息的提取、加工處理及其利用

1、淺談數(shù)學(xué)建?；顒又行畔⒌奶崛　⒓庸ぬ幚砑捌淅?洪魯平  數(shù)學(xué)建?；顒右话阋?jīng)過三個步驟，一是根據(jù)問題的特點，構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，二是對得到的數(shù)學(xué)模型進行推理和演算，求出所需的解，三是聯(lián)系原來的問題對得到的解答作出解釋和評價，再返回到原問題中去作出最終的判斷，這一過程，從信息學(xué)的角度來啟是不斷重復(fù)利用，信息的提取，信息的加工處理和信息的輸出的過程。在數(shù)學(xué)建?；顒又姓_地捕捉信息并對獲得地信息加工處理是順利完成數(shù)?；顒拥幕A(chǔ)。一、問題信息獲取的途徑 從信息的來源看，獲取信息主要從以下幾個方面獲得。首先，從問題的題設(shè)和題斷中提取，在這里提取的信息主要有問題體現(xiàn)的位置特征、數(shù)值特征與結(jié)構(gòu)

2、特征。歸納起來就是問題中體現(xiàn)的“圖形信息”與“數(shù)的信息”。其次是從解題者自身的記憶庫中獲取，從這提取的信息主要有：數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識。例如與問題有關(guān)的數(shù)學(xué)定義、概念、定理以及數(shù)學(xué)模型，問題涉及到的數(shù)學(xué)思想方法。二、對獲得的信息應(yīng)進行加工處理和利用 數(shù)學(xué)模型面臨的是實際問題，它往往是用實際生活中的語言描述的，不是現(xiàn)成的數(shù)學(xué)語言描述的問題，因而問題的題設(shè)與題戀灳?斷提取的信息可以有許多，往往不是唯一的，這些信息有時是有價值的，有時則起干擾解題的作用，因此，必須對獲得的信息進行分析，篩選和有效組合。 1、從整體上把握問題，對問題進行數(shù)學(xué)抽象 數(shù)學(xué)建模面臨的是實際問題，它往往是實際生活中的語言描述的，因而

3、我們必須回繞要解決的問題，對問題進行數(shù)學(xué)抽象，即對真實事物或現(xiàn)象進行必要的簡化和完善化，使之變成數(shù)學(xué)中理想元素（如幾何中的點、線、面等）與理想的模型（即數(shù)學(xué)模型）。 例如：哥尼斯堡七橋問題。 哥尼斯堡位于普累格爾河的兩條支流之間，座落在離他們匯合處不遠(yuǎn)的山丘上，市內(nèi)有七座各具特色的搭橋，橫跨普累格爾河（如圖1），問能否在一次散步中把每座橋都起一次，而且只走一次，最后又會到原來的 位置。 在這問題中有橋、河、陸地等元素，但橋連接陸地等。歐拉在解決這問題的思路是：既然島與三處陸地是橋梁的連接點，不妨將其理想化，而把島與三處陸地抽象成四個點，并把七座橋抽象成七條線（如圖2）。這樣，橋與陸地的結(jié)構(gòu)關(guān)系

4、正是對所要解決問題的本質(zhì)特征的數(shù)學(xué)抽象，于是，一次重復(fù)地走 完七座橋地問題就等價于一筆畫出圖形地問題。 2、對獲取地信息應(yīng)進行篩選、區(qū)分、取其精華，去其糟粕。 數(shù)學(xué)模型面臨的問題是較復(fù)雜的，信息也是雜亂無章的，有些信息是有用的，有些信息是干擾問題解決的因而為了順利解決問題有必要將問題中獲取的信息進行篩選區(qū)分，取其精華、去其糟粕，將問題解決有關(guān)的信息從問題中無關(guān)的信息中區(qū)分出來，從而使問題得到正確的解決。 例如：一生物學(xué)家要想計算一個湖中魚的條數(shù)，在五月一日，她隨機地捕捉了60條魚，并對他們作了標(biāo)記后防回湖中，再九月一日，她再隨機地捕捉了70條魚發(fā)現(xiàn)期中3條魚是有標(biāo)記地，為了計算五月一日這湖中魚

5、地條數(shù)，她假定五月一日湖中魚的25%到九月一日已不在湖中（由于死亡和遷出）九月一日湖中魚的40%五月一日時并不在湖中（由于出生和遷入），而且九月一日抽樣所得的文標(biāo)記及有標(biāo)記的魚都是有代表性的，這位生物學(xué)家算出的五月一日湖中的魚數(shù)時多少？ 分析：從信息角度看，本題的信息主要有：1五月一日捕捉了60條魚作了標(biāo)記。2九月一日捕捉70條魚中有三條是有標(biāo)記的。3五月一日湖中魚有25%到九月一日已不在湖中。4九月一日湖中魚40%五月一日不在湖中。5兩次捕捉的具有代表性。6要計算五月一日湖中的魚數(shù)。 對這些信息應(yīng)進行分析，之后發(fā)現(xiàn)，第4條信息是不切題，即與解決的問題最終要求是無的，應(yīng)將其舍去，從而列出正確的

6、式子。 即五月一日湖中的點數(shù)是840條。 從此例中可以發(fā)現(xiàn)實際問題的建模材料具有一定的隱蔽性，要求解題者具有較強的理解與篩選能力。 三、對獲取的信息進行有效整合轉(zhuǎn)化，使問題的解決更簡潔與流暢。 數(shù)學(xué)建模面臨的是實際問題，因而從中獲取的信息是復(fù)雜的、多樣的，故將獲得的信息進行加工處理中，須有一個優(yōu)化整合信息與信息轉(zhuǎn)換的過程，從而發(fā)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)建立數(shù)學(xué)模型。例如：現(xiàn)有流量約為300m3/s的兩條河流A、B匯合與某處后不斷混合，他們的含沙量分別為2kg/m3和0.2kg/m3,假設(shè)從匯合處開始沿岸設(shè)有若干觀測點，兩股水在流經(jīng)相鄰的兩個觀測點的過程中其混合效果相當(dāng)于兩股水戀灳?在1秒鐘內(nèi)交換100

7、m3的水量，即從A股注入B股100m3水，經(jīng)混合后又從B股注入A股100m3的水量，問：從第幾個觀測點兩股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3(不考慮泥沙沉淀)。 要解決此問題，需根據(jù)題意將它抽象為一個具體的數(shù)學(xué)問題，建一個恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，從題目所給的信息：若干觀測點的測得的A，B兩股水流的含沙量不同，同時水流中的含沙量在兩股水流不斷的混合之中，每個觀測點的兩河A、B含沙量在不斷的接近。將兩點綜合考慮之后，可知此問題是可歸結(jié)為一個數(shù)列問題，其次在第n個觀測點測得的含沙量an、bn是由于前一個觀測點的含沙量an-1、bn-1經(jīng)交換100m3水量而混合而測得。因而可以進一步將問題歸結(jié)為一個遞推關(guān)系給出的遞推數(shù)列問題，這樣我們要建的數(shù)學(xué)模型就清楚了，同時還需