第屆日本數(shù)學奧林匹克競賽試題及答案

1、第七屆日本數(shù)學奧林匹克競賽試題問題1 兩個整數(shù)相加時，得到的數(shù)是一個兩位數(shù)，且兩個數(shù)字相同；相乘時，得到的數(shù)是一個三位數(shù)，且三個數(shù)字相同。請寫出所有滿足上述條件的兩個整數(shù)。（12分）問題2 把26個玻璃球分裝在a、b、c、d、e五個袋子里，每個袋里的球數(shù)不同且都裝了1個以上。用一臺天平稱重量，當稱到裝有11個玻璃球的袋子時，超重警鈴就會響?？聪聢D：當、的狀態(tài)時，警鈴就響；的狀態(tài)時，警鈴不響。請按從小到大的順序寫出裝入5個袋中玻璃球的數(shù)量的組合（例如： 1、3、5、7、10），并寫出所有的組合。解答欄中有6組空，但不一定全部使用。（14分）（注：不用考慮袋子的重量）問題 3把6cm×1

2、0cm的長方形沿點線分割成4個圖形，請按下面兩個要求分割。分割后的4個圖形，面積可大可小，但它們應該互為相似形。分割后的4個圖形，可以有面積相等的，但不能都是面積相等的圖形。請回答出4種分割方法，并分別在解答欄中用實線畫出。（翻轉后如果同另一種分割重疊的話，將看做是同一種分割方法。）（20分）問題4 右圖三角形ABC是等腰三角形。AB=AC，BAC=120°。三角形ADE是正三角形，點D在BC邊上，BDDC=23。當三角形ABC的面積是50cm2時，三角形ADE的面積是多少？（14分）問題5 有一只表分不清長針和短針了，多數(shù)情況下可根據(jù)兩針所指的位置判斷出正確的時間。但有時也會出現(xiàn)兩

3、種情況，使你判斷不出正確的時間。請問從中午12點到夜里12點這段時間會遇到多少次判斷不出的情況？（12分）（注：不包括中午12點和夜里12點）問題6 把一個多邊形沿著幾條直線剪開，分割成若干個多邊形。分割后的多邊形的邊數(shù)總和比原多邊形的邊數(shù)多13條，內角和是原多邊形內角和的1.3倍。請問：原來的多邊形是幾邊形？把原來的多邊形分割成了多少個多邊形？（14分）問題7 把ABC滾到ABC的位置。求ABC滾動過的面積。（14分）（注：圓周率取3.14）分析與解 問題1 兩個整數(shù)相加時，得到的數(shù)是一個兩位數(shù)，且兩個數(shù)字相同；相乘時，得到的數(shù)是一個三位數(shù)，且三個數(shù)字相同，請寫出所有滿足上述條件的兩個整數(shù)。

4、分析與解 兩位數(shù)中，數(shù)字相同的兩位數(shù)有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九個，它們中的每個數(shù)都可以表示成兩個整數(shù)相加的形式，例如33=1+32=2+31=3+30=16+17，共有16種形式，如果把每個數(shù)都這樣分解，再相乘，看哪兩個數(shù)的乘積是三個數(shù)字相同的三位數(shù)，顯然太繁瑣了?？梢詮某朔e入手，因為三個數(shù)字相同的三位數(shù)有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每個數(shù)都是111的倍數(shù)，而111=37×3，因此把這九個數(shù)表示成一個兩位數(shù)與一個一位數(shù)或兩個兩位數(shù)相乘時，必有一個因數(shù)是37或37的倍數(shù)，但只能是37的2倍（想想為什么？）把九個

5、三位數(shù)分解：111=37×3 222=37×6=74×3333=37×9 444=37×12=74×6555=37×15 666=37×18=74×9777=37×21 888=37×24=74×12999=37×27把兩個因數(shù)相加，只有（74+3=）77和（37+18=）55的兩位數(shù)字相同。所以滿足見意的答案是74和3，37和18。問題2 把26個玻璃球分裝在a、b、c、d、e五個袋子里，每個袋子里的球數(shù)不同且都裝了1個以上。用一臺天平稱重量，當稱到裝有11個玻璃

6、球的袋子時，超重警鈴就會響?？聪聢D。當、的狀態(tài)時，警鈴就響；的狀態(tài)時，警鈴不響。請按從小到大的順序寫出裝入5個袋中玻璃球的數(shù)量的組合（例如：1、3、5、7、10），并寫出所有的組合。分析與解 根據(jù)題意，a、b、c、d、e袋中裝的玻璃球的數(shù)量各不相同。a、b、c、d、e五個袋子里共裝有26個玻璃球，這26個玻璃球的重量應是相同的，所以五個袋子的重量各不相同。用一臺天平稱重，當稱到裝有11個玻璃球的袋子時，超重警鈴就會響，這一條件，應理解為天平稱得的玻璃球個數(shù)是11或多于11個時，超重警鈴就會響。從給出的條件可知：比較（2）、（3）、（4）式可知，ab，ad。由（1）+（3），（1）+（4），（5

7、）式可得：由上面的三個式子可知，b、d兩袋中球的數(shù)量是4或3或2或1個，但由于ab，ad，所以a袋中球的數(shù)量是2或1個，b、d兩袋中的球只能是4或3或2個。進一步由（2）、（3）、（4）式可知，c袋中球的數(shù)量只能是8或9個。由此可列舉出符合題意的數(shù)組，它們是：（1、2、3、9、11）（1、2、4、9、10）（1、3、4、8、10）（2、3、4、8、9）問題3 把6cm×10cn的長方形沿點線分割成4個圖形，請按下面兩個要求分割。分割后的4個圖形，面積可大可小，但它們應該互為相似形；分割后的4個圖形，可以有面積相等的，但不能都是面積相等的圖形。請回答出4種分割方法，并分別在解答欄中用實

8、線畫出（翻轉后如果同另一種分割重疊的話，將看做是同一種分割方法）。分析與解 先來解釋一下什么是相似形。把一個多邊形的各邊都擴大或縮小相同的倍數(shù)后與另一個多邊形的每一對應邊都完全重合，這樣的兩個多邊形就是相似形。例如，所有的等邊三角形都是相似的，所有的正方形都是相似的。把大長方形沿點線分割成4部分，可以將其分成四個長方形。根據(jù)長方形長與寬的不同比值，結合題意，枚舉出每一類可能分割出的長方形，看用哪一類中的4個長方形（面積不同的）能拼出6cm×10cm的長方形（為了敘述方便，下面省去單位）。（一）1×n形（即長方形長與寬的比是1：n，n是整數(shù)）（l）最小的長方形是1×

9、1，與它相似的長方形有2×2，3×3，4×4，5×5，6×6?？梢苑指畛?×6的長方形（見圖1）。不能分割出5×5的長方形（見圖2），因為不論把5 × 5的長方形放在6 × 10的長方形中的哪一位置，在這個5×5的長方形的上邊（或下邊）的5個小正方形，只能分割成5塊1×1的長方形，這顯然不合題意。分割出的長方形中最大的不可能是4×4或更小的。因為（4 × 4）× 4= 64 6 × 10，（4 × 4） × 3+（3 

10、5; 3）×1=57 6 × 10。（2）最小的長方形是1×2，與其相似的長方形有2×4，3 × 6，4 × 8，5 × 10。不能分割出5×10的長方形（分析同（1）中 5×5）。也不能分割出4×8的長方形（見圖3），因為6×10-（4 × 8） ×1=32，（2 × 4）×3= 2432。還不能分割出3×6的長方形。不能分出4個3×6的長方形，因為（3 × 6）× 4=72 6 × 10。不能

11、分出3個3×6的長方形，因為6×10-（3×6）×3=6， 1×2=2 6，2 × 4 = 86。不能分出2個3×6的長方形，因為60-（3×6）×2=24，（2×4）×2=1624，也不能分出1個 3×6的長方形，因為（3×6）×l+（2×4）×3=4260。更不能分割出2×4或回1×2的長方形，因為（2×4） × 4=32 6×10。（3）最小的長方形是1×3，與其相似的長

12、方形有2×6，3×9?？梢苑指畛?×9的長方形（見圖4）。不能分割出2×6的長方形，因為（2×6）×4=48 6×10。（4）最小的長方形是1×4，與其相似的長方形有2×8，這樣的兩個長方形都不能分割出來。因為（2×8）×4=646×10，（2×8）×3+（1×4）×1=526×10。（5）最小的長方形是1×5，與其相似的長方形有2×10，這樣的兩個長方形都不能分割出來。因為（2 ×10）

13、5;3=6×10，（2×10）×2+（1×5）×2=50 6×10。（6）同樣可以證明不能分割出 1×6、1×7、1×8、1×9、1×10這些長方形。（二）對于2×n、3×n、4×n、5×n形的長方形，按照（一）的分析方法，可以找到一種符合題意的分割方法（見圖5）。也可以把6×10的長方形沿點線分割成其他多邊形（見圖6）。問題4 下圖三角形ABC是等腰三角形。ABAC，BAC120°。三角形ADE是正三角形，點D在BC邊上，B

14、DDC23。當三角形ABC的面積是50cm2時，三角形ADE的面積是多少？分析與解 以點A為中心，由三個三角形ABC可拼成右圖：連結QE、RF、GD，則DEQFRG是一個正六邊形。連結RD、DQ、RQ，顯然RDQ是一個等邊三角形，并且它的面積是正六邊形面積的一半。SPBC=SABC×3=150cm2，SRDQ=SPBC-SDQC×3=42cm2，SADE=S正六邊形÷6=2×SRDQ÷6=14cm2。問題5 有一只表分不清長針和短針了，多數(shù)情況下可根據(jù)兩針所指的位置判斷出正確的時間。但有時也會出現(xiàn)兩種情況，使你判斷不出正確的時間。請問從中午12

15、點到夜里12點這段時間會遇到多少次判斷不出的情況？（注：不包括中午12點和夜里12點）分析與解 當表在某點某分時，經(jīng)過一段時間后，如果時針恰好走到原來分針的位置，而分針恰好走到原來時針的位置，即兩針位置互換，由于分針、時針分辨不清，所以凡能發(fā)生兩針位置互換的兩個時刻都不能正確的判斷當時的時間（如下圖）。兩針位置互換，當時針、分針共走60格時，由于時針走1格，分針走午12點多至1點多，1點多至2點多，2點多至3點多夜里10點多至11點多，共11次。同樣可以算出兩針位置互換時針、分針共走120、180、240、300、360、420、480、540、600、660格時，可以出現(xiàn)兩針位置互換的次數(shù)分

16、別是10、9、8、7、6、5、4、3、2、1次，所以分辨不出正確時間的次數(shù)共有（1110987654321）×2=132次。注：題目只要求我們算出分辨不清時間的次數(shù)，所以沒有必要算出具體的時間。問題6 把一個多邊形沿著幾條直線剪開，分割成若干個多邊形。分割后的多邊形的邊數(shù)總和比原多邊形的邊數(shù)多13條，內角和是原多邊形內角和的1.3倍。請問：原來的多邊形是幾邊形？把原來的多邊形分割成了多少個多邊形？分析與解 先來觀察下面這組圖形：容易看出，n邊形有n個頂點，n邊形是由（n2）個三角形組成的。因此，知道了一個多邊形的邊數(shù)或頂點數(shù)（n），就可以求出它的內角和（n2）×180

17、76;，知道了一個多邊形由多少個三角形（m）組成的，就可以求出它的邊數(shù)或頂點數(shù)（m2）。設原多邊形是由a個三角形組成的，分割后的多邊形共由b個三角形組成，a和b都是整數(shù)，根據(jù)題意有：1.3×a×180°b×180°，于是有1.3a=b。由于b是整數(shù)，所以1.3a也是整數(shù)，a必是10的倍數(shù)，于是1.3a是13的倍數(shù)，b也是13的倍數(shù)。（一）設a=10，則b=13，進而可知原多邊形有12個頂點（12條邊），而分割后的多邊形有15個頂點（15條邊）。由于連結一個多邊形的兩頂點時，將一個多邊形分成兩個多邊形后，頂點的數(shù)目不變，而分出的兩個多邊形比原來增

18、多2條邊。連結多邊形的一個頂點與一邊上一點時，頂點數(shù)目增多1個，而分出的兩個多邊形比原來增多3條邊。連接兩邊上一點時，頂點數(shù)目增多2個，而邊數(shù)比原來增多4條。要增多（1512=）3個頂點，增多13條邊，有兩種連線方法。（見下圖）顯然原多邊形是12邊形，兩種連結方法都將12邊形分成了6個多邊形。（二）如果a=20，則b26，原多邊形有22個頂點，而分割后的多邊形有28個頂點，增多了（2822=）6個頂點，不論怎樣連結都不能使分割后的多邊形邊數(shù)總和比原來的多邊形增多13條邊。因此原多邊形不是22邊形。如果a更大，則分割后增加的頂點個數(shù)更多，不論怎樣連結都不符合題目要求。因此原多邊形只能是12邊形。問題7