第7章二階電路

1、第7章 二階電路本章主要內(nèi)容：1.二階電路的零輸入響應(yīng)；2.二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)和階躍響應(yīng)；3.二階電路的階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)；4.卷積積分；5.狀態(tài)方程。本章學(xué)習(xí)要求：1.理解二階電路、二階電路零輸入、零狀態(tài)、全響應(yīng)、階躍響應(yīng)、沖激響應(yīng)等概念；2.掌握二階電路各種響應(yīng)的特點及其分析計算方法；3.了解卷積的含義，掌握卷積在求解電路響應(yīng)中的應(yīng)用；4.了解網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程在分析電路響應(yīng)中的作用，掌握電路狀態(tài)方程和電路輸出方程的列寫方法。本章重點：1.二階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)的概念及求解；2.二階電路的階躍響應(yīng)概念及求解。本章難點：1.二階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)的概念及求解；

2、2.二階電路的階躍響應(yīng)概念及求解。計劃課時：7.1 二階電路的零輸入響應(yīng)二階(線性)電路：能用二階線性常系數(shù)微分方程描述的動態(tài)電路。在二階電路中，一般既有電容又有電感。分析其動態(tài)過程時也一般需要給定兩個由儲能元件初值決定的初始值。在右圖所示的RLC串聯(lián)二階電路中，若給定如下兩個初始條件：，(或)。電路方程為：。電路特征方程為：，解得兩個特征根：。電路方程的解具有以下形式：。其中、根據(jù)初始條件確定：，解之得：從而有：討論：1.時，過阻尼(非振蕩過程)由于特征根、均為實數(shù)，且可設(shè)，故此時有如圖、的表達(dá)式及波形。結(jié)論：(1)電路中電容的放電為非振蕩放電過程，并稱此時電路處于過阻尼狀態(tài)；(2)在整個放

3、電過程中，始終不改變方向，電容一直釋放其原來存儲的電場能，并且放電電流在時達(dá)到極大值；0b(3)在整個過程中僅改變一次方向，在時電感吸收能量建立磁場，在后釋放能量直至消失；并且由可計算得到：在時，達(dá)到極小值。2.時，欠阻尼(振蕩過程)特征根、為共軛復(fù)根，令，則有，從而求得、的表達(dá)式及其波形如下圖。tp-b2p-b2pp0U0b結(jié)論：(1)此時電路的放電過程為衰減振蕩放電過程，電路處于欠阻尼狀態(tài)；并且稱為衰減指數(shù)，為固有振蕩角頻率，為諧振角頻率；(2)是以為振幅包絡(luò)線的衰減正弦函數(shù)，時，時；(3)是以為振幅包絡(luò)線的衰減正弦函數(shù)，在的極值點處即處，而在的零點處即處獲得極值；(4)在整個放電過程中，

4、均周期性地改變方向，L與C之間周期性地交換能量(電阻仍總消耗能量)，并且期間，C放出能量，L吸收能量；期間，L、C都放出能量；期間，L放出能量，C吸收能量。(5)當(dāng)時，因而時電路處于等幅振蕩狀態(tài)。3.時，臨界阻尼(非振蕩過程)此時，。利用羅必塔法則，對過阻尼情況下的取時的極限，即得到臨界阻尼情況下的：，()，并且臨界阻尼情況下，。結(jié)論：(1)仍屬非振蕩放電過程，電路處于臨界振蕩狀態(tài)；(2)與過阻尼情況相比，臨界振蕩與非振蕩的包絡(luò)線不同。例：電路如圖，時打開開關(guān)。求并畫出其變化曲線。wt0uC356255100mF2010100.5H50V+-+-iLuC解：，開關(guān)打開為RLC串聯(lián)電路，方程為：

5、特征方程為：，解得特征根為：據(jù)此特征根，令因為，即，所以故，其波形如上。7.2二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)一、二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)二階電路的初始儲能為零，僅由外施激勵引起的響應(yīng)稱為二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)。RLC+-uCiLUSe (t)+-二階電路如圖，其初始狀態(tài)為，。顯然電路方程為特征方程為由于電路方程的解：，而特解，所以的解形式為：(1)；(2)；(3)根據(jù)初始條件、確定系數(shù)后，即可得到該二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)。+u1-0.5u12W1/6F1HS2W2W2Aii12-i穩(wěn)態(tài)模型+u1-2Wi2A0.5u12W+u1-0.5u12W2W+0+電路模型-uL(0+)例：在時將開關(guān)斷開，求電流的零

6、狀態(tài)響應(yīng)。解：(1)求電路微分方程：，又據(jù)：，從而整理后得到電路方程為：(2)求特解，即求穩(wěn)態(tài)下的電流：畫出穩(wěn)態(tài)電路后知，所以，(3)確定通解：特征根為，所以通解形式為(4)確定系數(shù)和：根據(jù)(2)(3)有，并且，。為求，畫出電路模型并由此得到：所以，解之得：故。二、二階電路的全響應(yīng)由外施激勵和二階電路初始儲能共同作用引起的響應(yīng)稱為二階電路的全響應(yīng)。全響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)的疊加，可以通過把零狀態(tài)方程的解帶入非零的初始條件求得全響應(yīng)。其求解的一般步驟為：1.列寫電路的微分方程；2.求通解；3.求特解；4.全響應(yīng)=強(qiáng)制分量+自由分量；5.由初值、定常數(shù)。RiR-50 V50W100mF0.5

7、H+iLiC例：已知，求，。解：1.求：(1)應(yīng)用節(jié)點電壓法得到電路方程為：，整理即：(2)分析穩(wěn)定后電路，得電路的特解為(或令、亦可)(3)由特征方程解得特征根，從而通解為(4)根據(jù)初始值有，解得所以：2.求：因，故可設(shè)解答形式為：由于電容電壓不能突變，所以，從而，解之得：所以7.3二階電路的階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)一、二階電路的階躍響應(yīng)二階電路在階躍激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)成為二階電路的階躍響應(yīng)。階躍響應(yīng)的求解方法與求解二階電路零狀態(tài)響應(yīng)相同。例：已知圖示電路中，求單位階躍響應(yīng)。0.25H0.2W2FiRiLiC0.5iC解：對電路應(yīng)用KCL列結(jié)點電流方程有因，故有電路方程：這是一個關(guān)于的二階線性非齊

8、次方程，其解為，其中特解。設(shè)通解為，、為電路方程特征根，。將初始條件：和代入后解出，。所以電路的階躍響應(yīng)為：(過阻尼性質(zhì))二、二階電路的沖激響應(yīng)RLC+-+-uCiRd (t)二階電路在沖擊函數(shù)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)稱為二階電路的沖擊響應(yīng)。其求解方法以如下RLC串聯(lián)電路為例予以說明。例：求單位沖激電壓激勵下的RLC電路的零狀態(tài)響應(yīng)。解：(1)在至期間：電路方程：對兩邊進(jìn)行積分：由于和均有限，故，即從而。注意電路在沖擊激勵下初始值發(fā)生了躍變。(2)為零輸入響應(yīng)：若，則，代入初始值有，解得故若，且令特征根，則。根據(jù)初始條件可推出。7.4卷積積分*一、卷積積分的定義與性質(zhì)定義：設(shè)函數(shù)，在時均為零，記，的

9、卷積為，則性質(zhì)：證明：激勵e(t)響應(yīng)r(t)線性網(wǎng)絡(luò)零狀態(tài)二、卷積積分的應(yīng)用對任意線性網(wǎng)絡(luò)，設(shè)其零狀態(tài)下的激勵為，響應(yīng)為，則有其中是該網(wǎng)絡(luò)的沖激響應(yīng)。例：已知，求。R C iS +uC解：(1)先求電路的沖激響應(yīng)：，所以。(2)利用卷積積分計算時響應(yīng)：7.5狀態(tài)方程*一、網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)與狀態(tài)變量網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)：指能和激勵一道唯一確定網(wǎng)絡(luò)現(xiàn)時和未來行為的最少量的一組信息。注意：這里講的為數(shù)最少的變量必須是互相獨立的。狀態(tài)變量：電路的一組獨立的動態(tài)變量，它們在任何時刻的值組成了該時刻的狀態(tài)，如獨立的電容電壓(或電荷)，電感電流(或磁通鏈)就是電路的狀態(tài)變量。二、狀態(tài)方程或狀態(tài)變量法：1.狀態(tài)方程：借助于

10、狀態(tài)變量，建立一組聯(lián)系狀態(tài)變量和激勵函數(shù)的一階微分方程組，稱為狀態(tài)方程。只要知道狀態(tài)變量在某一時刻值，再知道輸入激勵，就可以確定后電路的全部性狀(響應(yīng))。即：響應(yīng)狀態(tài)變量激勵3WLCe(t)+iLiC+-uC-uo例：圖示電路中，已知，。求、。解：同理可推廣至任一時刻：結(jié)論：(1)狀態(tài)變量和儲能元件有關(guān)；(2)有幾個獨立的儲能元件，就有幾個狀態(tài)變量；(3)狀態(tài)變量的選擇不唯一。2.狀態(tài)方程的列寫：每一個狀態(tài)方程中只含有一個狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)。對簡單電路采用直觀編寫法。例：上例圖中，以、為狀態(tài)變量，因，整理得電路狀態(tài)方程為或?qū)懗删仃囆问剑海Y(jié)論：(1)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程是聯(lián)立的一階微分方程組；(2)狀態(tài)方程左端為狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)；(3)狀態(tài)方程右端含狀態(tài)變量和輸入量；(4)狀態(tài)方程一般具有如下形式：，其中，。三、電路的輸出方程電路輸出方程用來反映電路中某些感興趣的量與狀態(tài)變量和輸入量之間的關(guān)系。例：上例中，以、為狀態(tài)變量，感興趣的量有、，則電路的輸出方程為：結(jié)論：(1)電路輸出