相約2012期末高中數學 點線面的位置關系期末知識梳理 新人教A版必修2

1、第二章 點、線、面的位置關系平面 平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的； 平面的表示：通常用希臘字母、表示，如平面（通常寫在一個銳角內）；也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。 點與平面的關系：點A在平面內，記作；點不在平面內，記作點與直線的關系：點A的直線l上，記作：Al； 點A在直線l外，記作Al；直線與平面的關系：直線l在平面內，記作l；直線l不在平面內，記作l。公理(1)公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線是所有的點都在這個平面內。（即直線在平面內，或者平面經過直線）應用：檢驗桌面是否平； 判斷直線是否在平面內用符號語言表示公理1：（2）公理2：經過

2、不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用：它是空間內確定平面的依據；它是證明平面重合的依據（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線符號：平面和相交，交線是a，記作a。符號語言：公理3的作用：它是判定兩個平面相交的方法。它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系：交線必過公共點。它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據。（4）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行空間直線與直線之間的位置關系 異面直線定義：不同在任何一個平面內的兩條直線

3、異面直線性質：既不平行，又不相交。 異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經過空間任意一點O，分別引直線aa，bb，則把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0，90，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條 異面直線互相垂直。說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：根據異面直線的定義；異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位置無關。求異面直線所成角步驟：A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位

4、置，頂點選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來求角等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補?？臻g直線與平面之間的位置關系直線在平面內有無數個公共點 三種位置關系的符號表示：a aA a平面與平面之間的位置關系：平行沒有公共點；相交有一條公共直線。b空間中的平行問題（1）直線與平面平行的判定及其性質線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內一條直線平行,則該直線與此平面平行。 線線平行線面平行線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行（2）平面與平面平行的判

5、定及其性質兩個平面平行的判定定理（1）如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（線面平行面面平行），（2）如果在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，那么這兩個平面平行。（線線平行面面平行），（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質定理（1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內的直線與另一個平面平行。（面面平行線面平行）（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行線線平行）空間中的垂直問題（1）線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。線面垂直：如果一條直線和一個

6、平面內的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。（2）垂直關系的判定和性質定理線面垂直判定定理和性質定理判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。面面垂直的判定定理和性質定理判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面?？臻g角問題（1）直線與直

7、線所成的角兩平行直線所成的角：規(guī)定為。兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。（2）直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為。 平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為。平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。在“作角”時依定義關鍵作射影，由射影定義知關鍵在于斜線上一點

8、到面的垂線，在解題時，注意挖掘題設中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角求二面角的方法定義法：在棱上選擇有

9、關點，過這個點分別在兩個面內作垂直于棱的射線得到平面角垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角空間直角坐標系（1）定義：如圖，是單位正方體.以A為原點，分別以OD,O,OB的方向為正方向，建立三條數軸。這時建立了一個空間直角坐標系Oxyz.1）O叫做坐標原點 2）x 軸，y軸，z軸叫做坐標軸. 3）過每兩個坐標軸的平面叫做坐標面。（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指向為x軸正方向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。（3）任意點坐標表示：空間一點M的坐標可以用有

10、序實數組來表示，有序實數組 叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作（x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標）（4）空間兩點距離坐標公式：例3、兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN，求證MN平面BCE 證法一 作MPBC，NQBE，P、Q為垂足，則MPAB，NQAB MPNQ，又AM=NF，AC=BF，MC=NB，MCP=NBQ=45，RtMCPRtNBQMP=NQ,故四邊形MPQN為平行四邊形MNPQ，PQ平面BCE，MN在平面BCE外，MN平面BCE 證法二 如圖過M作MHAB于H，則MHBC，連結NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得 NH/AF/BE，由MH/BC，NH/BE得平面MNH/平面BCE，MN平面BCE例4、如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E在AB1上，F(xiàn)在BD上，且B1EBF求證：EF平面BB1C1C證法一：連AF延長交BC于M，連結B1M.ADBC，AFDMFB，又BDB1A，B1EBF，DFAE，EFB1M，B1M平面BB1C1C，EF平面BB1C1C證法二：作FHAD交AB于H，連結HE，ADBC，F(xiàn)HBC，BCBB1C1C，F(xiàn)H平面BB1C1C由FHAD可得，又BFB1E，BDAB1，EHB1B，B1B平面BB1C1C，EH平面BB1C1C，EHFHH平面FHE平面