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文檔簡介
1、直線與雙曲線的位置關系和拋物線及其標準方程知識點1:直線與雙曲線的位置關系1.直線與雙曲線的位置關系的判斷設直線y=kx+b,雙曲線1 (a>0,b>0)聯(lián)立消去y得Ax2+Bx+C=0(a0),=B2 4AC。若A=0即,直線與雙曲線漸近線平行,直線與雙曲線相交于一點;若>0,直線與雙曲線相交,有兩個交點;若=0,直線與雙曲線相切,有一個交點;若<0,直線與雙曲線相離,無交點;直線與雙曲線有一個公共點是直線與雙曲線相切的必要不充分條件。2.弦長問題設直線l:y=kx+n,圓錐曲線:F(x,y)=0,它們的交點為P1 (x1,y1),P2 (x2,y2),且由,消去ya
2、x2+bx+c=0(a0),=b2 4ac。弦長公式:(k為直線斜率)例題選講:例1:直線l:ykx1與雙曲線C:2x2y21的右支交于不同的兩點A、B求實數(shù)k的取值范圍;解(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.依題意,直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點,故解得k的取值范圍是2<k<.例2:已知中心在原點,頂點在軸上,離心率為的雙曲線經過點()求雙曲線的方程;()動直線經過的重心,與雙曲線交于不同的兩點,問是否存在直線使平分線段。試證明你的結論。 例3:已知橢圓C1的方程為y21,雙曲線C2的左、右焦點分別是C
3、1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點(1)求雙曲線C2的方程;(2)若直線l:ykx與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B,且·>2 (其中O為原點),求k的取值范圍解(1)設雙曲線C2的方程為1,則a2413,c24,由a2b2c2,得b21,故C2的方程為y21.(2)將ykx代入y21,得(13k2)x26kx90.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點,得k2且k2<1.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,x1x2. x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又·>2,得x1x2y1
4、y2>2,>2,即>0,解得<k2<3,由得<k2<1. 故k的取值范圍為.例4:已知雙曲線的中心在原點,焦點在坐標軸上,離心率為,且過點(1)求雙曲線方程;(2)若點在雙曲線上,求證:;(3)對于(2)中的點,求的面積解:(1)由題意,可設雙曲線方程為,又雙曲線過點,解得 雙曲線方程為; (2)由(1)可知, , , ,又點在雙曲線上, , , 即; (3)的面積為6 知識點2:拋物線及其標準方程1拋物線定義平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線,點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線2拋物線的標準方程與幾
5、何性質標準方程y22px(p0)y22px(p0)圖形范圍x0,yRx0,yR對稱軸x軸頂點坐標原點O(0,0)焦點坐標準線方程xx離心率e1題型1:拋物線的定義靈活應用例1:(1)(2011·遼寧高考)已知F是拋物線y2x的焦點,A,B是該拋物線上的兩點,|AF|BF|3,則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為()A.B1C. D.(2)(2012·曲阜師大附中質檢)在拋物線C:y2x2上有一點P,若它到點A(1,3)的距離與它到拋物線C的焦點的距離之和最小,則點P的坐標是()A(2,1) B(1,2)C(2,1) D(1,2)自主解答(1)如圖,由拋物線的定義知,|AM|BN|
6、AF|BF|3,|CD|,所以中點C的橫坐標為.(2)由題知點A在拋物線內部,根據(jù)拋物線定義,問題等價于求拋物線上一點P,使得該點到點A與到拋物線的準線的距離之和最小,顯然點P是直線x1與拋物線的交點,故所求P點的坐標是(1,2)答案(1)C(2)B練習1:(2012·安徽高考)過拋物線y24x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點若|AF|3,則|BF|_.解析:由題意知,拋物線的焦點F的坐標為(1,0),又|AF|3,由拋物線定義知,點A到準線x1的距離為3,點A的橫坐標為2.將x2代入y24x得y28,由圖知,y2,A(2,2),直線AF的方程為y2(x1)又解得或由圖知,點B的
7、坐標為,|BF|(1).答案:題型2:拋物線的標準方程及幾何性質例2:(1)(2012·山東高考)已知雙曲線C1:1(a>0,b>0)的離心率為2.若拋物線C2:x22py (p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為()Ax2yBx2yCx28y Dx216y(2)(2012·四川高考)已知拋物線關于x軸對稱,它的頂點在坐標原點O,并且經過點M(2,y0)若點M到該拋物線焦點的距離為3,則|OM|()A2 B2C4 D2自主解答(1)雙曲線C1:1(a0,b0)的離心率為2,2,ba,雙曲線的漸近線方程為x±y0,拋物線
8、C2:x22py(p0)的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2,p8.所求的拋物線方程為x216y.(2)依題意,設拋物線方程是y22px(p>0),則有23,得p2,故拋物線方程是y24x,點M的坐標是(2,±2),|OM|2.答案(1)D(2)B練習2:若拋物線的頂點在原點,開口向上,F(xiàn)為焦點,M為準線與y軸的交點,A為拋物線上一點,且,求此拋物線的方程解析 設點是點在準線上的射影,則,由勾股定理知,點A的橫坐標為,代入方程得或4,拋物線的方程或題型3:直線與拋物線的位置關系1設拋物線方程為y22px(p0),直線AxByC0,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去x得到關于y的方程m
9、y2nyq0.(1)若m0,當0時,直線與拋物線有兩個公共點;當0時,直線與拋物線只有一個公共點;當0時,直線與拋物線沒有公共點(2)若m0,直線與拋物線只有一個公共點,此時直線與拋物線的對稱軸平行2與焦點弦有關的常用結論(以右圖為依據(jù))(1)y1y2p2,x1x2.(2)|AB|x1x2p(為AB的傾斜角)(3)SAOB(為AB的傾斜角)(4)為定值.(5)以AB為直徑的圓與準線相切(6)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切(7)CFD90°.例3:(2012·福建高考)如圖,等邊三角形OAB的邊長為8,且其三個頂點均在拋物線E:x22py(p>0)上(1)求拋物線E的
10、方程;(2)設動直線l與拋物線E相切于點P,與直線y1相交于點Q.證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點自主解答(1)依題意,|OB|8,BOy30°.設B(x,y),則x|OB|sin 30°4,y|OB|cos 30°12.因為點B(4,12)在x22py上,所以(4)22p×12,解得p2.故拋物線E的方程為x24y.(2)證明:由(1)知yx2,yx.設P(x0,y0),則x00,y0x,且l的方程為yy0x0(xx0),即yx0xx.由得所以Q為.設M(0,y1),令·0對滿足y0x(x00)的x0,y0恒成立由于(x0,y0y1),由
11、·0,得y0y0y1y1y0,即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式對滿足y0x(x00)的y0恒成立,所以解得y11.故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1)練習3:(2012·泉州模擬)如圖,點O為坐標原點,直線l經過拋物線C:y24x的焦點F.(1)若點O到直線l的距離為,求直線l的方程;(2)設點A是直線l與拋物線C在第一象限的交點點B是以點F為圓心,|FA|為半徑的圓與x軸的交點,試判斷AB與拋物線C的位置關系,并給出證明解:(1)拋物線的焦點F(1,0),當直線l的斜率不存在時,即x1不符合題意當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為:yk(x1
12、),即kxyk0.所以,解得k±.故直線l的方程為:y±(x1),即x±y10.(2)直線AB與拋物線相切,證明如下:設A(x0,y0),則y4x0.因為|BF|AF|x01,所以B(x0,0)所以直線AB的方程為:y(xx0),整理得:xx0把方程代入y24x得:y0y28x0y4x0y00,64x16x0y64x64x0,所以直線AB與拋物線相切基礎練習: 1(2012·濟南模擬)拋物線的焦點為橢圓1的下焦點,頂點在橢圓中心,則拋物線方程為()Ax24yBy24xCx24y Dy24x解析:選A由橢圓方程知,a29,b24,焦點在y軸上,下焦點坐標為
13、(0,c),其中c.拋物線焦點坐標為(0,),拋物線方程為x24y.2(2012·東北三校聯(lián)考)若拋物線y22px(p0)上一點P到焦點和拋物線的對稱軸的距離分別為10和6,則p的值為()A2 B18C2或18 D4或16解析:選C設P(x0,y0),則362p,即p220p360,解得p2或18.3(2013·大同模擬)已知拋物線y22px(p0)的準線與曲線x2y26x70相切,則p的值為()A2 B1C. D.解析:選A注意到拋物線y22px的準線方程是x,曲線x2y26x70,即(x3)2y216是圓心為(3,0),半徑為4的圓于是依題意有4.又p0,因此有34,解
14、得p2.4(2012·鄭州模擬)已知過拋物線y26x焦點的弦長為12,則此弦所在直線的傾斜角是()A.或 B.或 C.或 D.解析:選B由焦點弦長公式|AB|得12,所以sin ,所以或.5(2012·唐山模擬)拋物線y22px的焦點為F,點A、B、C在此拋物線上,點A坐標為(1,2)若點F恰為ABC的重心,則直線BC的方程為()Axy0 Bxy0C2xy10 D2xy10解析:選C點A在拋物線上,42p,p2,拋物線方程為y24x,焦點F(1,0)設點B(x1,y1),點C(x2,y2),則有y4x1,y4x2,由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)得kBC.又0,y
15、1y22,kBC2.又1,x1x22,BC中點為(1,1),則BC所在直線方程為y12(x1),即2xy10.6(2013·湖北模擬)已知直線yk(xm)與拋物線y22px(p0)交于A、B兩點,且OAOB,ODAB于D.若動點D的坐標滿足方程x2y24x0,則m()A1 B2C3 D4解析:選D設點D(a,b),則由ODAB于D,得則b,abk;又動點D的坐標滿足方程x2y24x0,即a2b24a0,將abk代入上式,得b2k2b24bk0,即bk2b4k0,4k0,又k0,則(1k2)(4m)0,因此m4.7(2012·安徽模擬)已知橢圓C1:1(0b2)的離心率為,拋物線C2:x22py(p0)的焦點是橢圓的頂點(1)求拋物線C2的方程;(2)過點M(1,0)的直線l與拋物線C2交于E,F(xiàn)兩點,過E,F(xiàn)作拋物線C2的切線l1,l2,當l1l2時,求直線l的方程解:(1)橢圓
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