詳解十五道高中立體幾何典型易錯題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上典型例題一例1 設有四個命題：底面是矩形的平行六面體是長方體；棱長都相等的直四棱柱是正方體；有兩條側棱都垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體；對角線相等的平行六面體是直平行六面體其中真命題的個數是（ ）A1 B2 C3 D4分析：命題是假命題因為底面是矩形的直平行六面體才是長方體底面是矩形，側棱不垂直于底面，這樣的四棱柱仍是斜平行六面體；命題是假命題底面是菱形，底面邊長與棱長相等的直四棱柱不是正方體；命題是假命題因為有兩條側棱垂直于義面一邊不能推出側棱與底面垂直命題是真命題，如圖所示，平行六面體中所有對角線相等，對角面是平行四邊形，對角線，所以四邊形是矩形，即，同

2、理四邊形是矩形，所以，由知底面，即該平行六面體是直平行六面體故選A說明：解這類選擇題的關鍵在于理清各種棱柱之間的聯系與區(qū)別，要緊扣底面形狀及側棱與底面的位置關系來解題下面我們列表來說明平行四邊形與平行六面體的性質的“類比”，由此，我們可以發(fā)現立體幾何與平面幾何許多知識是可以進行類比的見表表平行四邊形平行六面體對邊平行且相等相對的側面平行且全等對角線交于一點，且在這一點互相平分對角線交于一點且在這一點互相平分四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和十二條棱的平方和等于四條對角線的平方和典型例題二例2 如圖，正四棱柱中，對角線，與側面所成角為，求：（1）與底面所成角；（2）異面直線與所成角；（3）正四

3、棱柱的全面積分析：正四棱柱是一種特殊的長方體，它的兩底面、是正方形，長方體中有比較多的線面垂直關系，而線面垂直關系往往是解決立體幾何問題的關鍵條件題中無論是已知線面成角，還是求線面成角，都要把它們轉化為具體的角，落實線面成角，先要找線面垂直關系異面直線與所成角通過，落實為具體的正四棱柱各個面都是矩形，求面積只要用矩形面積公式解：（1）在正四棱柱中，面，是與側面所成角，即 ， ， 是正方形，平面， 是與底面所成角，在中，即與底面所成角為（2），是與所成角（或補角）平面， ，中，即異面直線與所成角為（3）中， ， 說明：長方體是一種特殊的棱柱，充分感受其中豐富的線面垂直、線線垂直關系是靈活解題的關

4、鍵，各種垂直關系是解決立體幾何中證明和計算的重要條件典型例題三例3 如圖，已知長方體中，棱長，求直線與平面的距離分析：求直線到平面的距離，首先要找直線上的點到平面的垂線，而找平面的垂線的一個很有用的思路是，找平面內一條直線與某一平面垂直，這里我們不難看出，長方體中有平面，這樣，只要作，又有，得到平面解：長方體中，有平面，過作于，又有， 平，即是到平面的距離在中，由已知可得， ，即是到平面的距離為說明：長方體中有棱與面的線面垂直關系，正方體除此之外，還有對角線與對角面的線面垂直關系，比如，求正方體中，與面所成角這里，要找與所成角，必須找到平面的垂線，因為面，在對角面內，過作于，則，所以面，可以得

5、到為與面所成角，在對角面中可計算典型例題四例4 如圖，已知直三棱柱中，為側棱上一點，（1）若為的中點，為上不同于、的任一點，求證：；（2）若，求與平面所成角的大小分析：點在上變化，為平面內變化的一組相交直線（都過定點），要證明與垂直，必有平面求與平面所成角的關鍵是找到面的垂線，從而落實線面成角，直三棱柱中，側棱平面給找點到面的垂線創(chuàng)造了方便的條件解：（1），且是的中點，又 直三棱柱中平面， 平面，在矩形中，即，平面，（2）過作于，平面，平面，連接，是與平面所成角在等腰中，在等腰中，由面積相等可得，又，在中，即與平面所成角為說明：由于點在上變化，給思考增加了難度，但仔細思考，它又提供了解題的突破

6、口，使得線線垂直成為了與一組直線垂直本題的證明還有一個可行的思路，雖然在上變化，但是由于平面，所以點在平面上的射影是定點，在平面上射影為定直線，使用三垂線定理，可由，直接證明三垂線定理是轉化空間線線垂直為平面內線線垂直的一個有力工具，再看一個例子，正方體中，是底面的中心，是上動點，是中點，求與所成角我們取中點，雖然點變化，但在面上射影為定直線，在正方形中，易證，所以，即與所成角為典型例題五例5 如圖，正三棱柱的底面邊長為4，側棱長為，過的截面與底面成的二面角，分別就（1）；（2）計算截面的面積分析：要求出截面的面積，首先必須確定截面的形狀，截面與底面成的二面角，如果較大，此時截面是三角形；但是

7、如果較小，此時截面與側棱不交，而與上底面相交，截面為梯形解：截面與側棱所在直線交于點，取中點，連、，是等邊三角形，平面，為截面與底面所成二面角的平面角，等邊邊長為4，在中，（1）當時，點在側棱上，截面為，在中，（2）當時，點在延長線上，截面為梯形，是的中位線，說明：涉及多面體的截面問題，都要經過先確定截面形狀，再解決問題的過程，本例通過改變側棱長而改變了截面形狀，我們也可以通過確定側棱長，改變截面與底面成角而改變截面形狀典型例題六例6 斜三棱柱中，平面底面，且（1）求與平面所成角；（2）求平面與平面所成二面角的大??；（3）求側棱到側面的距離分析：按照一般思路，首先轉化條件中的面面垂直關系，由，

8、取的中點，連，則有，從而有平面，在此基礎上，與底面所成角以及平面與底面所成二面角都能方便地找到，同時底面也為尋找點到面的垂線創(chuàng)造了條件解：（1）取的中點，連接，平面底面，底面，為與底面所成角且，（2）取中點，則，連，底面，在平面上射影為，為側面與底面所成二面角的平面角在等腰中，在中，在中，即側面與底面所成二面角的大小為（3）過作于，底面，平面，在中，即到平面的距離為說明：簡單的多面體是研究空間線面關系的載體，而線面垂直關系又是各種關系中最重要的關系，立體幾何中的證明與計算往往都與線面垂直發(fā)生聯系，所以在幾何體中發(fā)現并使用線面垂直關系往往是解題的關鍵典型例題七例7 斜三棱柱的底面是直角三角形，在

9、底面上的射影恰好是的中點，側棱與底面成角，側面與側面所成角為，求斜棱柱的側面積與體積分析：在底面上射影為中點，提供了線面垂直平面，另外又有，即，又可以得到平面，利用這兩個線面垂直關系，可以方便地找到條件中的線面角以及二面角的平面角解：在底面上，射影為中點平面為側棱與底面所成角，即，即，又，平面，過作于，連接，則是側面與側面所成二面角的平面角，在直角中，在直角中，在直角中，側面積為體積為說明：本例中是斜棱柱的一個截面，而且有側棱與該截面垂直，這個截面稱為斜棱柱的直截面，我們可以用這個截面把斜棱柱分成兩部分，并且用這兩部分拼湊在一個以該截面為底面的直棱柱，斜棱柱的側面積等于該截面周長乘以側棱長，體

10、積為該截面面積乘以側棱長典型例題八例8如圖所示，在平行六面體中，已知，又(1)求證：截面；(2)求對角面的面積分析：(1)由題設易證，再只需證，即證而由對稱性知，若，則，故不必證(2)關鍵在于求對角面的高證明：(1)，在中，由余弦定理，得再由勾股定理的逆定理，得同理可證：平面又，平面解：(2)，平行四邊形為菱形為的平分線作平面于，由，知作于，連，則在中，在中，在中，又在中，由余弦定理，得說明：本題解答中用到了教材習題中的一個結論經過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線如果斜線和這個角兩邊的夾角相等，那么斜線在平面上的射影是這個角的平分線所在的直線另外，還有一個值得注意的結論就是：如果一個角所在平

11、面外一點到角的兩邊所在直線的距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線所在的直線上典型例題九例9如圖所示，已知：直三棱柱中，是的中點求證：分析：根據條件，正三棱柱形狀和大小及點的位置都是確定的，故可通過計算求出與兩異面直線所成的角因為，所以側面是斜線在平面的射影，設與的交點為，只需證得即可證明：，與交于點，面為的中點，在中，在中，在中，又且，在中，說明：證明兩直線垂直，應用三垂線定理或逆定理是重要方法之一證明過程中的有關計算要求快捷準確，不可忽視本題證明兩異面直線垂直，也可用異面直線所成的角，在側面的一側或上方一個與之全等的矩形，平移或，確定兩異面直線所成的角，然后在有關三角形中通過計

12、算可獲得證明典型例題十例10長方體的全面積為11，十二條棱長度之和為24，求這個長方體的一條對角線長分析：要求長方體對角線長，只要求長方體的一個頂點上的三條棱的長即可解：設此長方體的長、寬、高分別為、，對角線長為，則由題意得：由得：，從而由長方體對角線性質得：長方體一條對角線長為5說明：(1)本題考查長方體的有關概念和計算，以及代數式的恒等變形能力在求解過程中，并不需要把、單個都求出來，而要由方程組的從整體上導出，這需要同學們掌握一些代數變形的技巧，需要有靈活性(2)本題采用了整體性思維的處理方法，所謂整體性思維就是在探究數學問題時，應研究問題的整體形式，整體結構或對問題的數的特征、形的特征、

13、結構特征作出整體性處理整體思維的含義很廣，根據問題的具體要求，需對代數式作整體變換，或整體代入，也可以對圖形作出整體處理典型例題十一例11如圖，長方體中，并且求沿著長方體的表面自到的最短線路的長分析：解本題可將長方體表面展開，可利用在平面內兩點間的線段長是兩點間的最短距離來解答解：將長方體相鄰兩個展開有下列三種可能，如圖三個圖形甲、乙、丙中的長分別為：，故最短線路的長為說明：(1)防止只畫出一個圖形就下結論，或者以為長方體的對角線是最短線路(2)解答多面體表面上兩點間，最短線路問題，一般地都是將多面體表面展開，轉化為求平面內兩點間線段長典型例題十二例12設直平行六面體的底面是菱形，經下底面的一

14、邊及與它相對的上義面的一邊的截面與底面成的二面角，面積為，求直平行六面體的全面積分析：如圖，由于面作出截面與底面所成的二面角的平面角后，因中，可分別求出、和的值又上下底面的邊長是相等的，便可進一步求出全面積解：設平行六面體為，過作，為垂足，連結平面，又在菱形中，有，截面的面積為：側面的面積為：底面的面積為：所以典型例題十三例13設有三個命題：甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；乙：底面是矩形的平行六面體是長方體；丙：直四棱柱是直平行六面體以上命題中，真命題的個數是（）A0B1C2D3解：甲命題是真命題，因為它就是平行六面體的定義；乙命題不是真命題，因為平行六面體的側棱不一定垂直于底面；丙

15、命題也不是真命題，因為四棱柱的底面不一定是平行四邊形應選B說明：要認真搞清平行六面體、直平行六面體、長方體等特殊四棱柱的有關概念及性質典型例題十四例14如圖，是直三棱柱，點、分別是、的中點若，則與所成角的余弦值是（）ABCD解：可將異面直線所成角轉化為相交直線的角，取的中點，并連結、，是與所成角設，則，應選A說明：本題主要考查棱柱的性質，以及兩條異面直線所成的角、勾股定理、余弦定理等內容：對運算能力和空間想象能力也有較高的要求典型例題十五例15如圖，已知是正三棱柱，是的中點(1)證明：平面；(2)假設，求以為棱，與為面的二面角的度數(1)證明：是正三棱柱，四邊形是矩形連結交于，則是的中點連結、分別是、的中點，又平面，平面，平面(2)解：作于，則平面，連結則是在平面上的射影又根據三垂線定理的逆定理，得從而是二面角的平面角，即，設，則是正三角形，在中，有，取的中點，在中，而，在中，即從而所求二面角的大小為說明：(1)縱觀近十年高考題，其中解答題大多都是以多面體進行專利權查，解答此