用平均值定理求某些問題的最值

1、文件 sxgdja0020.doc科目 數(shù)學(xué)年級 高中章節(jié) 關(guān)鍵詞 平均值/最值/函數(shù)標(biāo)題 用平均值定理求某些問題的最值內(nèi)容石景山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 賈光輝教學(xué)目標(biāo)1.掌握平均值定理并能初步應(yīng)用它求某些函數(shù)的最值2.通過利用平均值定理解決一些有關(guān)問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析問題解決問題的能力3.培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想4.通過理解平均值定理的使用條件，學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識現(xiàn)實世界中的量不等是普遍的，相等是局部的，對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義教育教學(xué)重點與難點重點：用平均值定理求某些函數(shù)的最值及解決有關(guān)的應(yīng)用問題難點：注意定理的使用條件，正確地應(yīng)用平均值定理教學(xué)過程設(shè)計(一)引入新課師：對于某個給出的函數(shù)

2、，要問這個函數(shù)在指定的區(qū)間上有無最值及如何求出是我們經(jīng)常遇到的數(shù)學(xué)問題解決這類問題在初等數(shù)學(xué)的范圍內(nèi)并沒有通用的方法，只能解決一些特殊函數(shù)的最值問題因此，同學(xué)們要隨著知識的增加，不斷地總結(jié)一些常用方法前面，我們學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)、證明不等式與函數(shù)的最值有無聯(lián)系呢?舉個例子生甲：有聯(lián)系如(x+1)20這個不等式就給出了函數(shù)y(x+1)2在定義域R上的最小值0生乙：有聯(lián)系如求函數(shù)y的最值，可以用判別式法構(gòu)造0這個不等式達(dá)到了求函數(shù)最值的目的師：這兩個同學(xué)所舉的例子說明不等式既是描述函數(shù)最值問題的數(shù)學(xué)語言，又是求解函數(shù)最值的有力工具其實，不等式刻畫的是數(shù)量之間的大小關(guān)系和變量的變化范圍，而函數(shù)的最值

3、則是通過數(shù)量大小的比較所反映的變量在一定范圍內(nèi)變動時所能達(dá)到的界值因此，它們之間有密切聯(lián)系讓我們來看一個實際問題(出示投影)(投影片1)引例 用籬笆圍一塊面積為50m2的一邊靠墻的矩形籬笆墻，問籬笆墻三邊分別長多少米時，所用籬笆最省?此時，籬笆墻長為多少米?師：這是一個實際問題，問題的實質(zhì)是什么?可抽象成怎樣的數(shù)學(xué)問題?生：問題的實質(zhì)是求籬笆墻三邊分別長多少米時，其和的最小值如果設(shè)矩形寬為xm，那么由已知可得矩形的長為m再設(shè)籬笆墻長為ym，把這個實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題是：求函數(shù)y2x+ (x0)的最小值并求取得最值時相應(yīng)的x值師：很好!這個函數(shù)的最值用我們以前學(xué)過的判別式方法可以求出嗎?生：點

4、頭示意師：它是最佳解法嗎?除了構(gòu)造不等式0求出此函數(shù)的最值以外，同學(xué)們能否利用不等式的有關(guān)知識構(gòu)造出其它不等式呢?仔細(xì)觀察這個函數(shù)生：用平均值不等式的變形式a+b就可以求出這個函數(shù)的最小值y2x+此函數(shù)的最小值為20師：使用平均值不等式變形式有條件限制嗎?生：有要求a，bR+，本題中x0，0，滿足條件師：此函數(shù)何時取得最小值?生：當(dāng)2x，即x5時，這個函數(shù)取得最小值師：此時，問題解決了嗎?生：應(yīng)該把這個數(shù)學(xué)問題還原成實際問題，籬笆墻三邊分別長5m，10m，5m時，所用籬笆最省此時，籬笆墻長20m師：回顧解題過程，求得這個函數(shù)最值的關(guān)鍵是什么?生：2x0，0且2x是一個常數(shù)師：問題的關(guān)鍵抓得很準(zhǔn)

5、怎樣求得函數(shù)取得最小值時相應(yīng)的x值呢?生：當(dāng)2x時，函數(shù)取得最小值師：假如滿足2x的x值不在函數(shù)的定義域內(nèi)，如函數(shù)y2x+ (x6)，當(dāng)2x時，函數(shù)能取得最小值嗎?生：只有在2x0，0且2x50x為常數(shù)的前提下，當(dāng)2x且求得的x在函數(shù)的定義域內(nèi)，函數(shù)取得最小值師：概括得很好，這正是這節(jié)課我們要研究的用平均值定理求某些函數(shù)的最值(板書課題)(二)推證定理師：(板書)平均值定理：若a，bR+則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，取“”號；若a，b，cR+，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，取“”號師：我們把平均值定理改寫成求某些函數(shù)(如引例中的函數(shù))最值的命題(板書) 已知兩個正變數(shù)的積是一個常數(shù)那么當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等時，它

6、們的和取最小值師：類似地，你能否說出求某些函數(shù)最大值的命題呢?生：已知兩個正變數(shù)的和是一個常數(shù)，那么當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等時，它們的積取最大值(教師板書)師：下面請同學(xué)們證明這個命題生：設(shè)這兩個正變數(shù)為x和y如果xyP(常數(shù))，那么由兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，得x+y當(dāng)且僅當(dāng)xy時，有x+y這就是說，當(dāng)xy時，x+y有最小值如果x+yS(常數(shù))，那么由兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，得，即xy當(dāng)且僅當(dāng)xy時，有xy這就是說，當(dāng)xy時，xy有最大值師：既然已經(jīng)證明了上述命題為真命題，那么我們把它叫做定理1類似地，由三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，誰能說出求

7、某些函數(shù)最值的定理2呢?生：定理2 已知三個正變數(shù)和積(和)是一個常數(shù)，那么當(dāng)且僅當(dāng)這三個數(shù)相等時，它們的和(積)取得小(大)值(投影片2)師：利用這兩個定理，可以解決許多定積或定和條件下，若干個正變量的和或積的極值問題但是，必須注意使用定理的條件，要注意哪幾個條件?生：注意三個條件(1)這兩個或三個變數(shù)必須是正變數(shù)；(2)當(dāng)它們的和是定值時，其積 取得最大值；當(dāng)它們的積是定值時，其和取最小值；(3)當(dāng)且僅當(dāng)這兩個或三個數(shù)相等時，取“”號師：很好看來從定理中也反映出現(xiàn)實世界中的量不等是普遍的，絕對的，而相等是局部的，相對的，必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得此類函數(shù)的最

8、值(三)應(yīng)用定理例1(板書) 求函數(shù)yx+ (x0)的最小值，并求相應(yīng)的x值師：求兩項和的最小值，可以考慮試用定理1但是，此函數(shù)具備使用定理1的條件嗎?生：不具備因為這個函數(shù)中的兩項不都是正數(shù)且x與的積也不是常數(shù)師：能否創(chuàng)造條件?(學(xué)生討論)生甲：把函數(shù)變形為y(x+1)+ -1，這時，正數(shù)x+1，的積是常數(shù)1，可以用定理1求得這個函數(shù)的最小值師：使用定理1的條件都具備了嗎?生乙：當(dāng)且僅當(dāng)x+1時，這個函數(shù)能夠取得最小值師：是只要求出方程x+1的解x0就能保證此函數(shù)能夠最得最小值嗎?生丙：還要注意解出的x0是否屬于函數(shù)的定義域師：這一點也很重要，不容忽視(教師板演，學(xué)生練習(xí)，共同完成解題過程)

9、解：yx+(x+1)+ -1由x0，知x+10，0，且(x+1)1(常數(shù))因此由定理1得：當(dāng)且僅當(dāng)x+1，即x0時，yx+ (x0)有最小值，最小值是y-11師：也可以書寫成如下格式(投影片3)解：yx+(x+1)+ -1由x0，知x+10，0所以y(x+1)+ -1當(dāng)且僅當(dāng)x+1，即x0時，yx+ (x0)取得最小值，最小值是1師：回顧解題過程，同學(xué)們根據(jù)此函數(shù)的特點，通過恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃畏植鹱兞?，確定了符合定理1條件的正變量(x+1)與，把問題轉(zhuǎn)化為定積條件下的兩個正變量的和的最小值問題，使問題得以解決下面請大家再解決一個問題例2 設(shè)0x，求x為何值時，函數(shù)yx(5-2x)2有最大值?最大值

10、是多少?(投影片4)師：這是一個什么問題?生：求三個正變量積的最大值師：這三個正變量的和為定值嗎?若不為定值，怎樣轉(zhuǎn)化?(學(xué)生討論)生：雖然x+(5-2x)+(5-2x)常數(shù)，但是要保證5-2x5-2x，因此5-2x不宜再變，要使這三個正變量和為定值只需考慮4x+(5-2x)+(5-2x)常數(shù)師：這個想法很好!是必不可少的思維過程這樣，原函數(shù)的變形方向就非常明確了生：原函數(shù)變形為y4x(5-2x)2師：具備使用定理2的條件了嗎?生：具備了4x0，5-2x0且4x+(5-2x)+(5-2x)10，還有當(dāng)4x5-2x時，求得的x值在函數(shù)的定義域內(nèi)師：回答得很全面我們要學(xué)會善于全方位地把握問題，培養(yǎng)

11、自己良好的思維品質(zhì)(學(xué)生完成解答，教師巡視并用實物投影展示學(xué)生甲的解題過程、講評)師：由例1、例2可以看出，用平均值定理可以解決哪類函數(shù)的最值問題?生：解決定積或定和條件下的兩個或三個正變量的和或積的最值問題師：多數(shù)情況下，題設(shè)中具備使用定理的條件并未直接給出，怎樣促成使用定理的三個條件，選配好正變量?生：通過恒等變形，如例1中使用的拆分變量的方法，例2中使用的匹配系數(shù)的方法等，促成使用定理的三個條件師：當(dāng)然，這些方法都是服務(wù)于使用定理的，正確使用定理 解決問題是關(guān)鍵下面請同學(xué)們觀察兩個題目的解法是否正確?(四)易錯解法討論(投影片5) 例3 求函數(shù)y1-2x-的最值，下面解法是否正確?為什么

12、?解：y1-2x-1-(2x+)因2x+，則y，所以ymin (學(xué)生討論)生甲：解法錯誤因為在不能斷定2x與為正數(shù)的前提下，不能使用定理1求函數(shù)的最值師：不能斷定2x與的正負(fù)應(yīng)該怎么辦?生乙：可以對x和0為標(biāo)準(zhǔn)分類討論師：這是一個解決問題的好辦法請你說說怎樣解?生乙：當(dāng)x0時，2x0，0且2x6定理1，得當(dāng)且僅當(dāng)2x，即x時，y1-2x-1-(2x+)有最大值，最大值是y當(dāng)x0時，-2x0，-0且(-2x)(- )6由定理1，得當(dāng)且僅當(dāng)-2x-，即x-62時，y1-2x-有最小值，最小值是y師：很好既然同學(xué)們的眼光很敏銳，那么自己解題時可不能只見樹木，不見森林，僅套用“積為定值，和有最小值”的

13、結(jié)論，造成如此錯誤(投影片6) 例4 求函數(shù)y2x2+ (x0)的最小值，下面解法是否正確?為什么?解法1：由x0，知2x20，0，則y2x2+當(dāng)且僅當(dāng)2x2，即x時，ymin解法2：由x0，知2x20，0，0，則y則ymin(學(xué)生討論)生甲：解法1是錯誤的因為正變數(shù)2x2與的積不是常數(shù)，不滿足定理1的使用條件師：為什么利用不等式求函數(shù)最值時，必須注意不等式中一端是變量，另一端必須是常量呢?請同學(xué)們看投影片(投影片7)師：如果不等式兩端都是變量f(x)g(x)，如圖5-4，可知f(x)g(x)恒成立，且“”在xa時，能取到，這時能說f(a)是函數(shù)f(x)的最小值嗎?生乙：解法2也是錯誤的因為“

14、”成立的條件是2x2，而由得知方程無解也就是說不存在的x00使y02x20+成立，y取不到，因此不是此函數(shù)的最小值師：求解定和、定積條件下的最值問題，最值的取得必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件如果僅把注意力集中在選取或設(shè)置符合定值條件下的正變量，而對相等條件忽略，那么就會造成這種錯誤這道題大家怎么解?生：把拆成相等的兩項和，同時也保證了2x20，0且2x2，與的積是常數(shù)，這時，可以應(yīng)用定理2求出此函數(shù)的最小值(教師用投影展示解法3)(投影片8) 解法3：y2x2+2x2+由x0，知2x20，0故2x2+當(dāng)且僅當(dāng)2x2，即x時，ymin師：同學(xué)們可以回顧與反思一下，當(dāng)我們求幾項和

15、的最值時，如果這幾項中的整式，也有分式，且其乘積的分子或分母中至少有一仍帶變量，如例4中函數(shù)y2x2+ (x0)，再比如函數(shù)yx+ (x0)，那么你會嘗試分析哪個正變量以保證各項積為常數(shù)呢?生：如果分拆整式或分式的分母中次數(shù)較高的正變量，那么各項積的次數(shù)不會為0；看來可以嘗試分拆整式或分式的分母中次數(shù)較低的正變量才能保證各項為常數(shù)缺圖5-5師：很好同學(xué)們在用不等式的知識求某些函數(shù)的最值時，不僅需要從理論上理解，而且還要在具體運用時善于總結(jié)一些規(guī)律，這也是養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的一個方面下面請同學(xué)們運用所學(xué)知識解決一個實際問題(五)解決實際問題(投影片9) 例5 在一個直徑是50mm的球形器材中，嵌入

16、一根圓軸(如圖5-5)，為了使圓軸不易脫出，應(yīng)該使它與球有最大的接觸面積，問圓軸的直徑應(yīng)是多少?師：解應(yīng)用題首先要認(rèn)真審題，認(rèn)清問題的已知條件，需求解的對象，各種量之間的相互聯(lián)系緊緊抓住變量之間的關(guān)系，分析各種制約條件，然后建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，如函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學(xué)問題，再用已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識解決這個數(shù)學(xué)問題，最后回到實際問題本題實質(zhì)上是一個什么問題?生：圓軸與球的接觸面積應(yīng)是所需圓柱的側(cè)面積本題實質(zhì)上求當(dāng)所需圓柱的直徑為多少毫米時，此圓柱的側(cè)面積最大師：怎樣用題中的量表示此圓柱的側(cè)面積?生：設(shè)圓軸的半徑為xmm，與球接觸的圓軸的高為hmmm，圓柱與球的接觸面積是y

17、mm2因為圓軸與球的接觸面積是一個圓柱的側(cè)面積，所以y2xh師：我們的目標(biāo)是求使側(cè)面積y為最大的條件，常把函數(shù)y=2xh。稱為“目標(biāo)函數(shù)”，這里的目標(biāo)函數(shù)是二元函數(shù)，能否消去一元?生：如圖，在RtOAB中，OA2+AB2OB2，即. 由得h，代入式得y師：式給出了兩個“元”之間的關(guān)系，通常把這樣的關(guān)系式稱為“約束條件”，這位同學(xué)把約束條件代入目標(biāo)函數(shù)，使其化為一元函數(shù)其中，x的取值有限制嗎?生：0x25師：現(xiàn)在的問題已轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y (0x25)的最大值怎樣求?生：對于幾個正變量的積的最值問題，可以考慮利用平均值定理來求但是，本題中正變量的和卻不是常數(shù)師：聯(lián)系前面幾個例題，我們采用分拆變量或匹

18、配系數(shù)的方法，恰當(dāng)?shù)剡x配滿足定值條件的正變量，促使問題解決此函數(shù)呢?(學(xué)生討論)生甲：前幾個例題中函數(shù)的解析式?jīng)]有帶根號的，我想把解析式轉(zhuǎn)化為有理式又因為x0時，y與y2同時有最大值，所以先求出y2162x2(625-x2)的最值，再求y的最值生乙：觀察正變量x與的和不是常數(shù)，但是，x2與(625-x2)的和是常數(shù)所以把函數(shù)解析式變形為y)，求出zx2(625-x2)的最值，就可得到y(tǒng)的最值師：這兩種變形是否都同時滿足“正數(shù)”“定值”“相等”三個條件?生：點頭示意師：同學(xué)們把要解決的問題與舊知識建立聯(lián)系，抓住要保證兩個正變量的和為常數(shù)這一關(guān)鍵實現(xiàn)轉(zhuǎn)化我們的學(xué)習(xí)就是在這種不斷聯(lián)系、轉(zhuǎn)化中取得進(jìn)步

19、的下面請同學(xué)們完成解答過程(教師巡視，用實物投影展示某學(xué)生的解法)（投影片10） 解：設(shè)圓軸的半徑為xmm，與球接觸的圓軸的高為hmm，圓軸與球的接觸面積是ymm2則圓軸與球的接觸面積是一個圓柱的側(cè)面積且有y2xh ，其中0x25-x2 由得，h代入得y于是y162x2（625-x2）162462522 當(dāng)且僅當(dāng)x2625-x2，即x時，等號成立此時ymax1250（mm2）.因此圓柱的直徑是2x25235.4（mm） 答：圓柱的直徑應(yīng)約為35.4mm （六）鞏固練習(xí)（學(xué)生練習(xí)，教師巡視，糾正錯誤） A組 （1）求函數(shù)y（1-2x）x（0x的最大值（） （2）求函數(shù)y4x2+（x0）的最小值

20、（A組題檢查教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)到） B組 設(shè)x0，y0且3x+4y12，求lgx+lgy的最大值（lg3） （B組題供學(xué)有余力的學(xué)生使用） （七）小結(jié)師：這節(jié)課我們討論了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值的問題現(xiàn)在，我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值的方法這是平均值定理的一個重要應(yīng)用，也是本章的重點內(nèi)容，同學(xué)們要牢固掌握應(yīng)用定理時，同學(xué)們要注意些什么呢?生:應(yīng)注意同時滿足三個條件,(1)兩個(或三個)變數(shù)都是正數(shù);(2)這兩個(或三個)正變數(shù)的積(或和)是一個常數(shù);(3)這兩個(或三個)正變數(shù)能夠相等.三個條件缺一不可.師:不能直接利用定理時,要善于轉(zhuǎn)化.這里關(guān)鍵是掌握好轉(zhuǎn)化的條件,通過運用有關(guān)變形的具體方法,以達(dá)到化歸的目的.（八）布置作業(yè) 組（1）設(shè)x1，求x取何值時，ylog2x+logx4取最小值，最小值是多少?（當(dāng)x時 ，ymi。） （2）求函數(shù)y2x（x0）的最大值，以及相應(yīng)的x值（當(dāng)x時，ymax100）（A組題為基本題目，獨立完成） B組 （1）設(shè)xR，求函數(shù)y的最值（當(dāng)x0時，ymin2） （2）求函數(shù)ysinxcos2x，x