第十章定積分及其應(yīng)用

1、第十章 定積分及其應(yīng)用1 定積分的概念1 已知下列函數(shù)在指定區(qū)間上可積，用定義求下列積分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 2 設(shè)在可積，證明在上可積，且.3 設(shè)求證. 4 若函數(shù)在上可積，其積分是，今在內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)上改變的值使它成為另一函數(shù)，證明也在上可積，并且積分仍為.2 定積分的基本性質(zhì)1 設(shè)在連續(xù)，不恒為零，證明.2 設(shè)在連續(xù)，證明在上恒為零.3 舉例說明在可積，但在不可積.4 比較下列各對(duì)定積分的大?。?1) ；(2) ；(3) . 5 證明下列不等式（設(shè)所給的積分存在）； (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 6 證明： (1) ； (2) . 7 設(shè)在連續(xù)

2、，證明，其中.8 設(shè)在連續(xù)，且，求證：.9 設(shè)，求證. 10(1)設(shè)在上連續(xù)，且對(duì)上任一連續(xù)函數(shù)均有，證明. (2)設(shè)在上連續(xù)，且對(duì)所有那些在上滿足附加條件的連續(xù)函數(shù)，有.證明：在上同樣有. 11 設(shè)在連續(xù)，求證：，而且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)(或)，其中為常數(shù)。12 設(shè)在連續(xù)，求證：，而且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)(常數(shù)).13 設(shè)在連續(xù)，求證：.14 設(shè)是嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，是它的反函數(shù)，證明15 用一致連續(xù)定義驗(yàn)證： (1) 在上是一致連續(xù)的； (2) 在上是一致連續(xù)的； (3) 在上一致連續(xù)，但在上不一致連續(xù)； (4) 在上不一致連續(xù).3 微積分基本定理1 計(jì)算下列定積分： (1) ； (2) ；

3、(3) ； (4) ； (5) ； (6) ； 2 求下列極限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 3 若連續(xù)，求： (1) ； (2) ； (3) ； 4 求下列極限： (1) ； (2) ； 5 設(shè)在連續(xù)且單調(diào)遞增，求證：函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)遞增。4 定積分的計(jì)算1 計(jì)算下列定積分(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ；(11) ；(12) ；(13) ；(14) ；(15) ；(16) ；(17) ；(18) ；(19) ；(20) ；2 計(jì)算下列定積分(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；3

4、 證明連續(xù)的奇函數(shù)的一切原函數(shù)皆為偶函數(shù)，連續(xù)的偶函數(shù)的原函數(shù)中有且只有一個(gè)為奇函數(shù). 4 設(shè)在所示區(qū)間上是連續(xù)函數(shù)，證明： (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；5 計(jì)算積分.6 利用分部積分法證明：7 設(shè)在連續(xù)，且，求證：(1) ；(2) ；8 設(shè)在時(shí)連續(xù)，對(duì)任意，積分值與a無關(guān)，求證：（c為常數(shù)）.9 設(shè)在任一有限區(qū)間上可積分，且求證：5 定積分在物理中的應(yīng)用初步1 有一薄版，長(zhǎng)軸沿鉛直方向一半浸入水中，求水對(duì)板的壓力.2 修建大橋橋墩時(shí)要先下圍囹。設(shè)一圓柱形圍囹的直徑為20m，水深27m，圍囹高出水面3m，要把水抽盡，計(jì)算克服重力所作的功。3 某水庫(kù)的閘門是一梯形，上底6m，下底2m，高10m，求水灌滿時(shí)閘門所要的力。設(shè)水的比重為1000.4 半徑為r的球沉入水中，它與水面相接，球的比重為1，現(xiàn)將球從水中取出，要作多少功？5 把彈簧拉長(zhǎng)所需的力與彈簧的伸長(zhǎng)成正比。已知1的力能使彈簧伸長(zhǎng)1cm，問把彈簧拉長(zhǎng)10cm要作多少功？6 有一長(zhǎng)為a的細(xì)棒，它在各點(diǎn)處的線密度與相距某一端點(diǎn)的距離平方成正比，求此細(xì)棒的平均密度.6 定積分的近似計(jì)算1 已知，試把積分區(qū)間分成10等分，分別用梯形公式和