第五章_多目標(biāo)問題的最優(yōu)化方法

1、第五章 多目標(biāo)問題的最優(yōu)化方法 5.1 5.1 引言引言 5.2 5.2 協(xié)調(diào)函數(shù)法協(xié)調(diào)函數(shù)法 5.3 5.3 統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法 5.4 5.4 功效系數(shù)法功效系數(shù)法5.15.1 引言引言一一. . 多目標(biāo)問題的數(shù)學(xué)模型：多目標(biāo)問題的數(shù)學(xué)模型： 設(shè)設(shè) X =x1, x2 , ,xnT min. F (x) XRn s.t. gu(x) 0 u = 1,2,m hv(x) = 0 v = 1,2, p 。個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值表示希望或?qū)憺椋浩渲校簈xfxfxfxfxfxfxFqTq,.min,2121二二. . 最優(yōu)解與選好解、劣解與非劣解：最優(yōu)解與選好解、劣解與非劣解：0f2f1

2、1 3 2 4 6 5 對(duì)于對(duì)于f1(x)，1最好，其次為最好，其次為3，2，4，5，6； 對(duì)于對(duì)于f2(x)，2最好，其次為最好，其次為3，1，5，4，6。 綜合考慮，綜合考慮，1，2，3為為非劣解非劣解，4，5，6為為劣解劣解。5.15.1 引言引言非劣解非劣解 x* 的定義的定義： 多目標(biāo)優(yōu)化中，多目標(biāo)優(yōu)化中，x*是其中一個(gè)解，對(duì)是其中一個(gè)解，對(duì)于于 xD D ，若下式成立，為，若下式成立，為 x* 非劣解。非劣解。多目標(biāo)優(yōu)化的多目標(biāo)優(yōu)化的 K-T 非劣解：非劣解： x*D D ，若不存在搜索方向，若不存在搜索方向S，能同時(shí)滿足：，能同時(shí)滿足： muxgtsqjxfxfujj, 2 ,

3、10*. ., 2 , 1min*例：圖中的例：圖中的 T、P點(diǎn)。點(diǎn)。0*0*SxgSxfTT則則 x*為為K-T非劣解。例，圖中的非劣解。例，圖中的 Q、S點(diǎn)。點(diǎn)。 nqnqqqnxfxfxfxfxfxfxf2112111 nrnrrrnxgxgxgxgxgxgxg2112111其中：5.15.1 引言引言劣解劣解： 除去非劣解的其它解，即為劣解。除去非劣解的其它解，即為劣解。選好解選好解：非劣解中，滿足工程實(shí)用目的的最好解。：非劣解中，滿足工程實(shí)用目的的最好解。最優(yōu)解最優(yōu)解：使各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)值的解。：使各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)值的解。多目標(biāo)函數(shù)問題的優(yōu)化設(shè)計(jì)過程多目標(biāo)函數(shù)問題

4、的優(yōu)化設(shè)計(jì)過程： 1、先求非劣解；、先求非劣解； 2、從非劣解中選出選好解。、從非劣解中選出選好解。常用的求選好解的方法常用的求選好解的方法： 1、協(xié)調(diào)曲線法：協(xié)調(diào)曲線法： 2、統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法：目標(biāo)規(guī)劃法、線性加權(quán)因子法、統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法：目標(biāo)規(guī)劃法、線性加權(quán)因子法 3、功效系數(shù)法：、功效系數(shù)法： 另外，還有分層序列法、詞典編輯法、邊界目標(biāo)函數(shù)法等另外，還有分層序列法、詞典編輯法、邊界目標(biāo)函數(shù)法等5.25.2 協(xié)調(diào)函數(shù)法協(xié)調(diào)函數(shù)法一一. . 基本思想：基本思想： 在多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，當(dāng)各分目標(biāo)函數(shù)的在多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，當(dāng)各分目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值出現(xiàn)矛盾時(shí)，先求出一組非劣解，以最優(yōu)值出現(xiàn)矛盾時(shí)，先求出

5、一組非劣解，以其集合得出其集合得出協(xié)調(diào)曲線協(xié)調(diào)曲線，再根據(jù)恰當(dāng)?shù)钠ヅ潢P(guān)，再根據(jù)恰當(dāng)?shù)钠ヅ潢P(guān)系得到系得到滿意曲線滿意曲線，沿著滿意程度的增加的方，沿著滿意程度的增加的方向，各分目標(biāo)值下降，直至獲得選好解。向，各分目標(biāo)值下降，直至獲得選好解。二二. . 協(xié)調(diào)曲線與滿意曲線協(xié)調(diào)曲線與滿意曲線： 協(xié)調(diào)曲線協(xié)調(diào)曲線： 雙目標(biāo)函數(shù)的協(xié)調(diào)曲線雙目標(biāo)函數(shù)的協(xié)調(diào)曲線 。時(shí)，得到的最優(yōu)點(diǎn)集合當(dāng)加權(quán)因子從021021muxgtsxWfxfxfu,.min5.25.2 協(xié)調(diào)函數(shù)法協(xié)調(diào)函數(shù)法 滿意曲線滿意曲線：是一個(gè)指標(biāo)，根據(jù)各分目標(biāo)函數(shù)之間互相作出讓步后，得是一個(gè)指標(biāo)，根據(jù)各分目標(biāo)函數(shù)之間互相作出讓步后，得出恰當(dāng)?shù)钠?/p>

6、配關(guān)系。出恰當(dāng)?shù)钠ヅ潢P(guān)系。 多目標(biāo)函數(shù)的協(xié)調(diào)超曲面：多目標(biāo)函數(shù)的協(xié)調(diào)超曲面： 的讓步。為理想的合理值，是其中*,.,.minxffxffjvqvfxfxhmuxgtsqjxfvjvvvvvuj00121021021用以上數(shù)學(xué)模型依次求得各分目標(biāo)函數(shù)的變化范圍。用以上數(shù)學(xué)模型依次求得各分目標(biāo)函數(shù)的變化范圍。選好解選好解：包括：包括 x* 和和 f1(x*)，f2(x*)，fq(x*)。5.25.2 協(xié)調(diào)函數(shù)法協(xié)調(diào)函數(shù)法例例：徑向動(dòng)壓軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)。：徑向動(dòng)壓軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)。角速度徑向載荷小功率損失油壓足夠油流量油膜溫升油粘度油膜厚度長(zhǎng)徑比軸承間隙FMPaPQtsPammhDLDDcfo26. 9

7、150006859. 000127. 0125. 0min1設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)要求選好解選好解0.04820.3滿足0.0068597.518cm3/sec5.25.2 協(xié)調(diào)函數(shù)法協(xié)調(diào)函數(shù)法協(xié)調(diào)曲線協(xié)調(diào)曲線：Q - t 曲線曲線 包括了所有滿足包括了所有滿足 K-T 條件的非劣解。條件的非劣解。分析分析： 設(shè)計(jì)變量為：設(shè)計(jì)變量為：L/D、c、； 分目標(biāo)函數(shù)為：供油量分目標(biāo)函數(shù)為：供油量Q、溫升、溫升t； 約束條件：見前頁(yè)。約束條件：見前頁(yè)。性能曲線性能曲線： 是t 與其它參數(shù)之間的關(guān)系曲線，可看出各項(xiàng)指標(biāo)之間的匹配關(guān)系。選好解選好解： 從協(xié)調(diào)曲線和性能曲線中可得出結(jié)論：從協(xié)調(diào)曲線和性能曲線中可得出結(jié)

8、論： S 點(diǎn)為較好方案。點(diǎn)為較好方案。5.35.3 統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法（評(píng)價(jià)函數(shù)法評(píng)價(jià)函數(shù)法）一一. . 基本思想：基本思想： 按事先約定的某種關(guān)系，建立一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，將多目標(biāo)問按事先約定的某種關(guān)系，建立一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題求解。按構(gòu)筑新目標(biāo)函數(shù)的方法不同，有以題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題求解。按構(gòu)筑新目標(biāo)函數(shù)的方法不同，有以下不同方法。下不同方法。二二. . 目標(biāo)規(guī)劃法目標(biāo)規(guī)劃法：（理想點(diǎn)法）：（理想點(diǎn)法） 先給每個(gè)分目標(biāo)函數(shù)設(shè)定一個(gè)理想的最合理值，再設(shè)法使各分先給每個(gè)分目標(biāo)函數(shù)設(shè)定一個(gè)理想的最合理值，再設(shè)法使各分目標(biāo)盡可能達(dá)到最合理值。目標(biāo)盡可能達(dá)到最合理值。

9、步。為分目標(biāo)函數(shù)作出的讓，為分目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值其中，理想最合理值jjjjojfxfqjfxff*, 2 , 1*5.35.3 統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法1 1、平方加權(quán)和法（全局準(zhǔn)則法）：、平方加權(quán)和法（全局準(zhǔn)則法）： 以各分目標(biāo)函數(shù)值對(duì)各自的理想最合理值相對(duì)偏差的平方加權(quán)和以各分目標(biāo)函數(shù)值對(duì)各自的理想最合理值相對(duì)偏差的平方加權(quán)和趨于最小作為全局準(zhǔn)則。趨于最小作為全局準(zhǔn)則。 muxgtsqjffxfWxFuPojojjqjj,.,.min210211 其中：其中：wj 為加權(quán)因子，為加權(quán)因子，0 wj 1，取決于各分目標(biāo)函數(shù)的數(shù)量，取決于各分目標(biāo)函數(shù)的數(shù)量級(jí)和重要程度。一般級(jí)和重要程度。一般

10、 P 取取 2。5.35.3 統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法2 2、標(biāo)度因子法：、標(biāo)度因子法： ojjjjjjojjojjjjjjojjjjqjjjojjjjujjqjjfxffxffxffxffxfddfxfwwfxfdodmuoxgtsqjdwxF0750750111212111.*,.,.min則的程度。表示最終解達(dá)到理想解稱為校正權(quán)。，標(biāo)函數(shù)的量級(jí)，標(biāo)度因子，調(diào)整各分目稱為本征權(quán)。，的重要程度映各分目標(biāo)函數(shù)離差值加權(quán)因子，只反稱為目標(biāo)函數(shù)的離差；其中：5.35.3 統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法3 3、偏差法：、偏差法： 使各目標(biāo)函數(shù)值偏離所定的目標(biāo)函數(shù)理想值的偏差量最小。使各目標(biāo)函數(shù)值偏

11、離所定的目標(biāo)函數(shù)理想值的偏差量最小。 的下偏差。為各目標(biāo)函數(shù)相對(duì)于的上偏差；為各目標(biāo)函數(shù)相對(duì)于其中ojjojjjjojjjjuqjpjjfdfdoddfddxfmuxgtsqjpdd0210211211,.,.min5.35.3 統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法 111jqsjjjsjjjwoxfwxfwxF.min三三. . 乘除法乘除法: : 目標(biāo)函數(shù)中有一些屬于費(fèi)用類，即目標(biāo)函數(shù)值越小越好，有一些目標(biāo)函數(shù)中有一些屬于費(fèi)用類，即目標(biāo)函數(shù)值越小越好，有一些屬于效果類，即目標(biāo)函數(shù)值越大越好?？偰繕?biāo)函數(shù)表達(dá)式中為了能屬于效果類，即目標(biāo)函數(shù)值越大越好?？偰繕?biāo)函數(shù)表達(dá)式中為了能統(tǒng)一表達(dá)，采用了乘除法、線

12、性加權(quán)組合法等方法。統(tǒng)一表達(dá)，采用了乘除法、線性加權(quán)組合法等方法。 設(shè)設(shè)q個(gè)分目標(biāo)函數(shù)中有個(gè)分目標(biāo)函數(shù)中有s個(gè)屬于費(fèi)用類，個(gè)屬于費(fèi)用類，q - s 個(gè)屬于效果類，總目個(gè)屬于效果類，總目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式如下：標(biāo)函數(shù)表達(dá)式如下：四四. . 線性加權(quán)組合法：線性加權(quán)組合法： qsjjjjSjjxfwxfwxF11)()(.min5.35.3 統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法五五. . 目標(biāo)函數(shù)規(guī)格化法：目標(biāo)函數(shù)規(guī)格化法： 當(dāng)各分目標(biāo)函數(shù)值在數(shù)量級(jí)上有很大差別時(shí)，可先做一次規(guī)格化。當(dāng)各分目標(biāo)函數(shù)值在數(shù)量級(jí)上有很大差別時(shí)，可先做一次規(guī)格化。以三角函數(shù)、指數(shù)、線性或二次函數(shù)等作為轉(zhuǎn)換函數(shù)，使目標(biāo)函數(shù)以三角函數(shù)、指

13、數(shù)、線性或二次函數(shù)等作為轉(zhuǎn)換函數(shù)，使目標(biāo)函數(shù)值規(guī)范在值規(guī)范在 0,1 0,1 之間。之間。 xfwxFxftttxfxfqjjjjjjjjjjjjjj122.minsin：總目標(biāo)函數(shù)其中取規(guī)格化函數(shù)若能估計(jì)出上、下界，例：5.35.3 統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法六六. . 線性加權(quán)法：線性加權(quán)法：1、容限值法：、容限值法： 目標(biāo)函數(shù)是平方誤差值時(shí)使用，可起平衡各目標(biāo)函數(shù)數(shù)量級(jí)的作用。目標(biāo)函數(shù)是平方誤差值時(shí)使用，可起平衡各目標(biāo)函數(shù)數(shù)量級(jí)的作用。 20120, 2 , 1jjjjjjjjjjjfwfxfqjxf則加權(quán)因子令容限值；，若不易估計(jì)，可令：估計(jì)上、下界2 2、兩項(xiàng)加權(quán)因子：、兩項(xiàng)加權(quán)因

14、子： 用于一般情況適用于有導(dǎo)數(shù)信息的情況：適用于有導(dǎo)數(shù)信息的情況： 2221211xfwwwwwwjjjjjjj目標(biāo)函數(shù)的數(shù)量級(jí)，是校正權(quán)，用于調(diào)整分函數(shù)的重要程度；是本征權(quán)，反應(yīng)分目標(biāo)其中：5.35.3 統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法 適用于無導(dǎo)數(shù)信息的情況：適用于無導(dǎo)數(shù)信息的情況：qjjjjjjqjjjjqjjjjjjxfxfxfxfwxfxfwwwwww1)0()0(21)0()0(112121*1*1 例例：有下列兩個(gè)一維的分目標(biāo)函數(shù)，試用加權(quán)因子線性組合法，求此有下列兩個(gè)一維的分目標(biāo)函數(shù)，試用加權(quán)因子線性組合法，求此多目標(biāo)函數(shù)的選好解。多目標(biāo)函數(shù)的選好解。 10.min32.min12

15、21xxxxfxxf約束區(qū)域：分目標(biāo)函數(shù)：D5.35.3 統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法解：解： 0001. .)32(1.min12212211xxtsRXxwxwxfwxfwxF 。，得，令其為零；即；，；根據(jù)時(shí)，時(shí)用誤差容限法求：25*)(1617*41*2872432144114112212312, 111,21130, 10021222122221122211122112121xfxfxxdxdFxxxxxfxfxFfwfwffxfffxffxwjjjj一一. . 基本思想：基本思想： 給每一個(gè)分目標(biāo)函數(shù)值一個(gè)評(píng)價(jià)，以功效系數(shù)給每一個(gè)分目標(biāo)函數(shù)值一個(gè)評(píng)價(jià)，以功效系數(shù)dj (0dj 1)

16、表示。對(duì)表示。對(duì)于一個(gè)設(shè)計(jì)方案于一個(gè)設(shè)計(jì)方案 xk , F(xk)，有，有q個(gè)分目標(biāo)函數(shù)值個(gè)分目標(biāo)函數(shù)值f1(xk), f2(xk), fq(xk), ，對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)q個(gè)功效系數(shù)個(gè)功效系數(shù) d1,d2,dq 。 以各功效系數(shù)的幾何平均值為方案的評(píng)價(jià)函數(shù)以各功效系數(shù)的幾何平均值為方案的評(píng)價(jià)函數(shù) d ：。，求得最理想方案：時(shí)，當(dāng)*.max21xFxxdddddkqq二二. . 功效系數(shù)和功效函數(shù)：功效系數(shù)和功效函數(shù)： 1、功效系數(shù)、功效系數(shù)dj ：表示對(duì)于分目標(biāo)函數(shù)值：表示對(duì)于分目標(biāo)函數(shù)值 fj (x) 的滿意程度。的滿意程度。 若若dj =1，表示效果最好，非常滿意；，表示效果最好，非常滿意； dj

17、 =0，表示效果極差，方案不可取。，表示效果極差，方案不可取。5.45.4 功效系數(shù)法功效系數(shù)法5.45.4 功效系數(shù)法功效系數(shù)法2、功效函數(shù)、功效函數(shù) dj = j (fj ) ：描述：描述 dj與與 fj 之間的關(guān)系。有三種類型：之間的關(guān)系。有三種類型：a) 越大越好：越大越好：fj dj ， fj dj ；b) 越小越好：越小越好：fj dj ， fj dj ；c) fj 取合適的值時(shí)取合適的值時(shí), dj 最大，最大，fj比此比此 區(qū)間大或小，區(qū)間大或小，dj 均均。5.45.4 功效系數(shù)法功效系數(shù)法例：例：門式起重機(jī)變幅四桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)門式起重機(jī)變幅四桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì) 有四個(gè)要求有四

18、個(gè)要求： 05 . 03 . 05 . 07 . 03 . 011 . 0minmax. 11111min1dmdmdmdmyhyyhyxfE點(diǎn)走水平直線要求 minmax. 3minmax. 232MxfAvxfEx小越好所引起的傾覆力矩差越貨物對(duì)支點(diǎn)的變化率越小越好點(diǎn)水平分速度這三個(gè)要求都屬于第二類功效函數(shù)。這三個(gè)要求都屬于第二類功效函數(shù)。5.45.4 功效系數(shù)法功效系數(shù)法傾覆力矩值傾覆力矩值 M = M ()： 當(dāng)變幅距離較小時(shí)，希望有負(fù)傾覆當(dāng)變幅距離較小時(shí)，希望有負(fù)傾覆力矩力矩 M1，能恢復(fù)機(jī)構(gòu)的正常位置。，能恢復(fù)機(jī)構(gòu)的正常位置。 -10M10 時(shí)，時(shí)，d4 =1 M1 20時(shí)，時(shí)，d4 =0 當(dāng)變幅距離較大時(shí)，希望有正傾覆力當(dāng)變幅距離較大時(shí)，希望有正傾覆力矩矩 M1，能恢復(fù)機(jī)構(gòu)的正常位置