高中新課程概率中若干易錯(cuò)點(diǎn)分析及應(yīng)對(duì)之策

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中新課程概率學(xué)習(xí)中幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)分析江蘇省運(yùn)河高等師范學(xué)校 彭玉忠概率歷來(lái)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，而新課程又增加了幾何概型和條件概率，且在概率的必修部分學(xué)習(xí)時(shí)，還沒(méi)有學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)原理，這些，都又進(jìn)一步增加了概率的難度。本文根據(jù)教學(xué)實(shí)踐，對(duì)概率學(xué)習(xí)中的幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)加以剖析，供參考。一、逐個(gè)抽取和一次抽取例1 在一個(gè)盒子中有大小一樣的20個(gè)球，其中10個(gè)紅球，10個(gè)白球。（1）從中不放回地逐個(gè)抽取連抽兩次，求先抽到紅球后抽到白球的概率；（2）從中不放回地逐個(gè)抽取連抽兩次，求所抽兩球?yàn)橐粋€(gè)紅球一個(gè)白球的概率；（3）從中任意抽取兩球，求所抽兩球一個(gè)是紅球一個(gè)是白球的概率。解 ：（1）所

2、進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)是“不放回連抽兩次”，每抽一次是完成這件事的一個(gè)步驟，故適宜用乘法原理思考。第一次抽有20種可能，第二次抽有19種可能，故完成這件事共有種方法，即這一試驗(yàn)共有個(gè)等可能的結(jié)果（基本事件），其中事件A：“所抽兩球先紅后白”共含有基本事件 個(gè)，所以，（2）隨機(jī)試驗(yàn)及所得的基本事件總數(shù)與（1）相同，其中事件B：“所抽兩球一紅一白”包括“先紅后白”和“先白后紅”兩種情況，共含有基本事件 個(gè)，所以，（3）所進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)是“一次抽兩球”，所抽兩球與順序無(wú)關(guān)，屬組合問(wèn)題。所有可能結(jié)果（基本事件）共有 種，其中，事件C：“所抽兩球一紅一白”含有的基本事件為種，所以，本例是古典概型中學(xué)生易錯(cuò)的一類(lèi)

3、題型，錯(cuò)誤的主要原因是對(duì)何時(shí)看成有序何時(shí)看成無(wú)序弄不清楚。上述解法是（1）、（2）都看作有序，（3）看作無(wú)序。但顯然（2）與（3）的意義相同，因而（3）的解法也適用于（2），這說(shuō)明（2）也可以看成無(wú)序來(lái)解。一般地，在涉及逐次抽取與一次抽取、有序與無(wú)序等概率問(wèn)題時(shí)，可提醒學(xué)生參考這樣的思路：逐次抽取（抽后不知結(jié)果，下同）按有序處理，一次抽取按無(wú)序處理；無(wú)論有序還是無(wú)序，計(jì)算總基本事件數(shù)與所論事件含有的基本事件數(shù)須持同一看法。二、事件積的概率與條件概率例2 在一個(gè)盒子中有大小一樣的20個(gè)球，其中10個(gè)紅球，10個(gè)白球。（1）從中不放回地逐個(gè)抽取連抽兩次，求先抽到紅球后抽到白球的概率；（2）從中不放

4、回地逐個(gè)抽取連抽兩次，求先抽到紅球的情況下后抽到白球的概率。解 ：本題（1）題和例1（1）相同，只是換一個(gè)角度思考：把一個(gè)事件的兩個(gè)步驟看成兩個(gè)事件的積。記“第一次抽到紅球”為事件A，“第二次抽到白球”為事件B，則“先抽到紅球后抽到白球”為事件積AB，（2）“先抽到紅球的情況下后抽到白球”為條件事件，故本題為條件概率，事件積的概率和條件概率是學(xué)生學(xué)習(xí)的又一易錯(cuò)點(diǎn)，錯(cuò)誤的主要原因是學(xué)生面對(duì)具體問(wèn)題，往往分不清什么是事件積的概率？什么是條件概率？如本例，如把（1）和（2）放在一起比較，學(xué)生可能能夠知道（1）是事件積的概率，（2）是條件概率。但若孤立地看（1），學(xué)生很可能也認(rèn)為是條件概率。教學(xué)中，應(yīng)

5、注意結(jié)合實(shí)例，使學(xué)生學(xué)會(huì)區(qū)別事件積的概率和條件概率。事實(shí)上，事件積表達(dá)的是兩個(gè)事件同時(shí)并列共處情況，事件積中的兩個(gè)事件都是隨機(jī)事件，在用語(yǔ)言敘述時(shí)，這兩個(gè)事件可能分先后用一句話(huà)連貫表述，也可能中間用逗號(hào)或頓號(hào)分開(kāi)；而條件概率表達(dá)的是一個(gè)事件已發(fā)生的條件下另一個(gè)事件發(fā)生的情況，這兩個(gè)事件不是平等的，一個(gè)是確定性事件，已發(fā)生，另一個(gè)是隨第一個(gè)變化的隨機(jī)事件。因此，區(qū)別事件積的概率和條件概率的方法主要是注意兩點(diǎn)：一是看題目中是否有“發(fā)生的條件下”之類(lèi)的詞語(yǔ)；二是根據(jù)題意結(jié)合生活常識(shí)分析事件間的關(guān)系。例3（蘇教版選修23習(xí)題2.4）在電路中，電壓超過(guò)額定值的概率為，在電壓超過(guò)額定值的情況下，電氣設(shè)備被

6、燒壞的概率為。求由于電壓超過(guò)額定值而使電氣設(shè)備被燒壞的概率。解：設(shè)“電壓超過(guò)額定值”為事件A，“電氣設(shè)備被燒壞”為事件B，則根據(jù)題目的文字表述可知，是條件概率，“由于電壓超過(guò)額定值而使電氣設(shè)備被燒壞”是事件積AB，所以有，。例4（蘇教版選修42習(xí)題2.3）假設(shè)某市的天氣分為晴和陰兩種狀態(tài)，若今天晴，則明天晴的概率為，陰的概率為；若今天陰，則明天晴的概率為，陰的概率為。如果清晨天氣預(yù)報(bào)報(bào)告今天陰的概率為，那么明天的天氣預(yù)報(bào)會(huì)是什么？后天呢？解 ：記“今天晴”為事件A，“明天晴”為事件B，則“今天陰”為，“明天陰”為。根據(jù)題意和生活常識(shí)可知均為條件概率，。所以，同法求得。一般地，利用條件概率構(gòu)成天

7、氣變化趨勢(shì)的轉(zhuǎn)移矩陣，利用矩陣乘法，可依次推算以后每天天氣晴、陰的概率。三、超幾何分布和二項(xiàng)分布例5 有一批產(chǎn)品共100件，其中有5件不合格品。（1）從中一次任取50件，求所取50件中有兩件不合格品的概率。（2）從中每次任取一件，取后不放回，連取50件，求所取50件中有兩件不合格品的概率。（3）從中每次任取一件，取后放回，連取50件，求所取50件中有兩件不合格品的概率。解：（1）是超幾何分布問(wèn)題。設(shè)X為抽取的50件中不合格品的個(gè)數(shù)，則XH(50,5,100)，；（2）是無(wú)放回逐個(gè)抽取，可按乘法原理思考，由此可見(jiàn)，（2）與（1）雖取法不同，但實(shí)際意義相同。（3）是有放回抽取，各次抽取相互獨(dú)立且每

8、次抽取都只有互相對(duì)立的兩種結(jié)果，故是二項(xiàng)分布問(wèn)題，設(shè)X為抽取的50件中不合格品的個(gè)數(shù)，則XB(50,0.05)，本題的幾個(gè)小題涉及超幾何分布和二項(xiàng)分布，也是學(xué)生的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)。錯(cuò)誤的主要原因是對(duì)一次抽取與逐次抽取的區(qū)別和聯(lián)系、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征、超幾何分布與二項(xiàng)分布的主要區(qū)別等問(wèn)題認(rèn)識(shí)不清。教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合實(shí)例，使學(xué)生弄清如下問(wèn)題：超幾何分布，是指N件產(chǎn)品中有M件次品，從中任取n件，其中次品件數(shù)X的概率分布，。其中，抽取的n件一般是指一次性抽取。若是無(wú)放回逐個(gè)抽取，則由乘法原理，結(jié)果與一次性抽取相同。故在超幾何分布中，抽取的n件也可認(rèn)為是逐個(gè)無(wú)放回抽取。但無(wú)放回逐個(gè)抽取與一次抽取也并不完全相同，前

9、者常表示有序，產(chǎn)生的可能結(jié)果較復(fù)雜，而后者表示無(wú)序，產(chǎn)生的可能結(jié)果相對(duì)較簡(jiǎn)單。如本題（2）題，可以研究“所取50件中第40、45兩件是次品”的概率，而一次性抽取的（1）題則不能研究這類(lèi)似的問(wèn)題。二項(xiàng)分布須具備兩個(gè)條件：一是n次試驗(yàn)相互獨(dú)立；二是每次試驗(yàn)都只有兩個(gè)結(jié)果，。無(wú)放回逐個(gè)抽取滿(mǎn)足第二個(gè)條件，但不滿(mǎn)足第一個(gè)條件。例如，若設(shè)“取到次品”為事件A，則無(wú)論是無(wú)放回抽取的（2）題還是有放回抽取的（3）題，每次抽取都只有兩種可能，且都有。但（2）題的各次抽取不獨(dú)立，因而不是二項(xiàng)分布，而（3）題是二項(xiàng)分布。當(dāng)總量N很大且抽取的數(shù)量n相對(duì)較小時(shí)，無(wú)放回抽取與有放回抽取差別不大。此時(shí)，本來(lái)服從超幾何分布

10、的，可近似看成服從二項(xiàng)分布。四、關(guān)于幾何概型例6 在單位圓內(nèi)任作一弦，求其長(zhǎng)度大于圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率。設(shè)AB是任意一弦，記“”為事件A。則有：解法1 （如圖1）作圓的直徑PQ垂直于AB并和AB交于H，分別以P、Q為頂點(diǎn)作圓的內(nèi)接等邊三角形，這兩個(gè)三角形的邊分別交PQ于點(diǎn)M、N，則當(dāng)點(diǎn)H在線(xiàn)段MN上時(shí)，有，否則，。而容易證明，所以，.解法2（如圖2）以A為頂點(diǎn)作圓的內(nèi)接正三角形AMN，則若點(diǎn)B落在所夾的之所以會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果，是由于兩種解法所依據(jù)的基本事件構(gòu)成的點(diǎn)集不同，前者的點(diǎn)集是線(xiàn)段，后者的點(diǎn)集是圓弧。這也是學(xué)生在解幾何概型問(wèn)題時(shí)容易致錯(cuò)的主要原因。因此，教學(xué)中，應(yīng)注意提醒學(xué)生，要根據(jù)

11、題意，弄清兩個(gè)關(guān)鍵性的集合：一是所考查的基本事件構(gòu)成的全集，二是事件A所對(duì)應(yīng)的在全集中的子集。只要這兩個(gè)集合搞清楚，那么用其測(cè)度比求概率就水到渠成了。例7 在等腰直角三角形ABC中，（1）在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AMAC的概率；（2）過(guò)直角頂點(diǎn)C在內(nèi)部任作一條射線(xiàn)CM，與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)M，求AMAC的概率。解：如圖3，對(duì)（1）來(lái)說(shuō)，變動(dòng)的是點(diǎn)M，所構(gòu)成的全集為線(xiàn)段AB，其中，滿(mǎn)足AMAC的子集為線(xiàn)段（），故有；而對(duì)于（2）來(lái)說(shuō)，變動(dòng)的是射線(xiàn)CM，所構(gòu)成的全集為，滿(mǎn)足AMAC的子集為（），從而有本文的幾點(diǎn)看法，不一定恰當(dāng)，盼與老師們進(jìn)一步研討。參考文獻(xiàn)：1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū).數(shù)學(xué)M.北京.人民教育出版社A版.20042、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū).數(shù)學(xué)M.北京.人民教育出版社B版.20