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1、備用國(guó)1J題型4幾何探究型問(wèn)題 一“j一 _ _"""類型一動(dòng)點(diǎn)探究題1 .(1)發(fā)現(xiàn)如圖,點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn),且BC =a, AB=6填空:當(dāng)點(diǎn)A 位于 時(shí),線段AC的長(zhǎng)取得最大值,且最大值為 (用含a, b的式子表示);第1邈圖應(yīng)用 點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn),且BC=3. AB=1如圖所示,分別以AB,AC為邊,作等邊三角形 ABDffi等邊三角形ACE連接CD BE.請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段,并說(shuō)明理由;直接寫(xiě)出線段BE長(zhǎng)的最大值;P 國(guó)圖第1題圖(3)拓展如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) A的坐標(biāo)為(2, 0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5, 0),點(diǎn)P為線段AB外一
2、動(dòng)點(diǎn),且PA = 2, PM= PB/BPM = 900請(qǐng)直 接寫(xiě)出線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).2 .請(qǐng)完成如下探究系列的有關(guān)問(wèn)題:探究1:如圖,&ABC是等腰直角三角形,/BAC=90。,點(diǎn)D為BC上一動(dòng) 點(diǎn),連接AD以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF連接CF.則線段CR BD 之間的位置關(guān)系為 ,數(shù)量關(guān)系為;探究2:如圖,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段BC的延長(zhǎng)線上,其余條件不變,探究 1 中的兩條結(jié)論是否仍然成立?為什么?(請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程)探究3:如圖,如果AB A AC , /BAC于90口,NBCA仍然保留為45° ,點(diǎn)D 在線段BC上運(yùn)動(dòng).請(qǐng)你判斷線段CR BD之間
3、的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.圖圖圖扉2即圖13 .如圖,在正萬(wàn)形ABCDK 點(diǎn)E, G分別是邊AD BC的中點(diǎn),AF =-AB.4(1)求證:EF_LAG;(2)若點(diǎn)F, G分別在射線AB, BC上同時(shí)向右、向上運(yùn)動(dòng),點(diǎn) G運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)速度的2倍,EF LAG是否成立?(只寫(xiě)結(jié)果,不需說(shuō)明理由)(3)正方形ABCDJ邊長(zhǎng)為4, P是正方形ABCDJ一點(diǎn),當(dāng)SAB = SAB時(shí),求APAB 周長(zhǎng)的最小值.4.在直角坐標(biāo)系中,過(guò)原點(diǎn) D及點(diǎn)A(8, 0) , C(O, 6)作矩形OABC連接OB點(diǎn)D為OB的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),連接DE彳DFIDE,交OAT點(diǎn)F, 連接EF,已知點(diǎn)E從A
4、點(diǎn)出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段 AB上移動(dòng), 設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.如圖,當(dāng)t=3時(shí),求DF的長(zhǎng);(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)的過(guò)程中,/DEF的大小是否發(fā)生變化? 如果變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;如果不變,請(qǐng)求出 tan/DEF的值;(3)連接AD當(dāng)AD將ADEF分成的兩部分的面積之比為1: 2時(shí),求相應(yīng)t的 化5 .如圖,矩形ABCD勺對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)D, &COD于CD的對(duì)稱圖形為ACED (1)求證:四邊形OCEDI菱形;連接 AE,若 AB =6 cm, BC = 75cm.求sin/EAD的值;若點(diǎn)P為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),連接OP. 一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D 出
5、發(fā),以1cm/s的速度沿線段OP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再以1.5 cm/s的速 度沿線段PA勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)p沿上述路線 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A需要的時(shí)間最短時(shí),求 AP的長(zhǎng)和點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間.第5糜圉類型二 平移、旋轉(zhuǎn)、折疊探究題6 .如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD勺邊AD在x軸上,點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上,直線BC / AD ,且BC=3, OD=2,將經(jīng)過(guò)A, B兩點(diǎn)的直線l : y = -2x -10向右平移,平移后的直線與x軸交于點(diǎn)E,與直線BC交于點(diǎn)F,設(shè)AE的長(zhǎng)為t(t -0).四邊形ABCD勺面積為(2)設(shè)四邊形ABCLM直線f掃過(guò)的面積(陰影部分)為S,請(qǐng)直
6、接寫(xiě)出5關(guān)于 t的函數(shù)解析式;當(dāng)t=2時(shí),直線EF上有一動(dòng)點(diǎn)P,作PM _L直線BC于點(diǎn)M交x軸于點(diǎn)N, 將APMF沿直線EF折疊得到APTF .探究:是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)T恰好落 在坐標(biāo)軸上?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn) P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.7 .已知,在 RtiABC, /ACB =90°, AC=4,BC =2 , D是 AC 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將ABD沿BD所在直線折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處.(1)如圖,若點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),連接PC.寫(xiě)出BP, BD的長(zhǎng);求證:四邊形BCP北平行四邊形;如圖,若BD = AD ,過(guò)點(diǎn)P作PH 1 BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,求PH的長(zhǎng).8 .如圖,正方
7、形ABCD勺邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn),連接CE并將其繞點(diǎn)C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CF,連接DF,以CE CF為鄰邊作矩形CFGE GE與AD AC分別交于點(diǎn)H、M GF交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.(1)證明:點(diǎn)A、D F在同一條直線上;(2)隨著點(diǎn)E的移動(dòng),線段DH是否有最小值?若有,求出最小值;若沒(méi)有,請(qǐng) 說(shuō)明理由;(3)連接EF、MN當(dāng)MN /EF時(shí),求AE的長(zhǎng),C B第8題圖9 .我們定義:如圖,在 MBC中,把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)«(0° 5 <180°)得至IJAB',把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)P得至lj AC',連接BC
8、9;,當(dāng)a +P =180%寸,我們稱AABC'是&ABC的“旋補(bǔ)三角形".AAB'C'邊BC上的中線 AD叫做ABC的“旋補(bǔ)中線”,點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.特例感知在圖、圖中,AABC, AABC的“旋補(bǔ)三角形",AD是AABC的“旋補(bǔ)中線”,如圖,當(dāng) ABCJ等邊三角形時(shí),AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD= BC ;如圖,當(dāng)NBAC =90° , BC =8時(shí),則AD長(zhǎng)為猜想論證在圖中,當(dāng)AABC為任意三角形時(shí),猜想 AD與BC的數(shù)量關(guān)系,并給予證明;拓展應(yīng)用 如圖,在四邊形 ABCDK /C =90°,/D =150?BC
9、=12,CD =273 , DA=6 在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)P,使&PDC是APAB的“旋補(bǔ)三角形”?若存在,給予證明,并求APAB的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.?10 .問(wèn)題背景:已知上EDF的頂點(diǎn)D在的邊AB所在直AABC線上(不與A, B重合),DE交AC所在直線于點(diǎn)M, DF交BC所在直線于點(diǎn)N,記的面積為 MDM的面積為S1 ABND的面積為S2.(1)初步嘗試:如圖,當(dāng)是等邊三角形,AB=6, &ABC ,且DE,EDF =2A時(shí),則BC,AD=2, S1 S2=.類比探究:在(1)的條件下,先將點(diǎn)D沿AB平移,使AD =4,再將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至如圖所示位置,求
10、的值;S1 8二(3)延伸拓展:當(dāng)是等腰三角形時(shí),設(shè) AABC(I)如圖,當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)/B=/A = /EDF =".的表AD =a,BD =b, Si顯達(dá)式(結(jié)果用a, b和a的三角函數(shù)表示).(H)如圖,當(dāng)點(diǎn) D在BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè) AD = a, BD = b,直接寫(xiě)出S1 S2的表達(dá)式,不必寫(xiě)出解答過(guò)程.圖閨圖圖第、】0題圖11 .如圖,AABC是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形,邊 AB在射AABC線OMI上,且 OA=6cm.點(diǎn)D從。點(diǎn)出發(fā),沿OM勺方向以1cm/s速度運(yùn)動(dòng).當(dāng)D不與點(diǎn)A 重合時(shí),將AACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到ABCE ,
11、連接DE.(1)求證:&BCE是等邊三角形;(2)如圖,當(dāng)6<t<10時(shí),ABDE的周長(zhǎng)是否存在最小值?若存在,求出BDE的最小周長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)如圖,當(dāng)點(diǎn)D在射線OMI上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在以 D E、B為頂點(diǎn)的三角形 是直角三角形?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.但由國(guó)第H題圖12.如圖,四邊形 ABCD的對(duì)角線 AC, BD相交于點(diǎn)O, OB=OD OC =OA AB, AD =m, BC =n, ABD ADB ='ACB.(1)填空:/BAD, NACB的數(shù)量關(guān)系為,(2)求m的值; n(3)將AACD沿CD3折,得到AA'
12、;CD (如圖),連接BA,與CDf交于點(diǎn)P.若CD =而+1 ,求PC的長(zhǎng).213.綜合與實(shí)踐背景閱讀早在三千多年前,我國(guó)周朝數(shù)學(xué)家商高就提出:將一根直尺折成一 個(gè)直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三,股四,弦 五”,它被記載于我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中.為了方便,在本 題中,我們把三邊的比為3: 4: 5的三角形稱為(3, 4, 5)型三角形.例如:三邊長(zhǎng)分別為9, 12, 15或3«。4晚,572的三角形就是(3, 4, 5)型三角形,用矩形紙片按下面的操作方法可以折出這種類型的三角形 .實(shí)踐操作 如圖,在矩形紙片 ABCm,AD =8 cm, AB =1
13、2 cm.第一步:如圖,將圖中的矩形紙片 ABCD&過(guò)點(diǎn)A的直線折疊,使點(diǎn)D落 在AB上的點(diǎn)E處,折痕為AF,再沿EF折疊,然后把紙片展平.第二步:如圖,將圖中的矩形紙片再次折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)F重合,折痕為GH然后展平,隱去AF.第三步:如圖,將圖中的矩形紙片沿 AH折疊,得到AADH ,再沿AD折 疊,折痕為AM AM與折痕EF交于點(diǎn)N,然后展平.D H E MCA G E if 困問(wèn)題解決(1)請(qǐng)?jiān)趫D中證明四邊形 AEF皿正方形;(2)請(qǐng)?jiān)趫D中判斷.NF與ND'的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;請(qǐng)?jiān)趫D中證明 MEN是(3, 4, 5)型三角形;14 .將一個(gè)直角三角形紙片ABCfit置
14、在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) A(J3,0), B(0,1),O(0,0).P是邊AB上的一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A, B重合),沿著OP折疊該紙片,得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A.(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)A,在第一象限,且滿足 AB_LOB時(shí),求點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)如圖,當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí),求AB的長(zhǎng);當(dāng)/BPA'=30°時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出結(jié)果即可)類型三圖形形狀變化探究題15 .如圖,將AABC紙片沿中位線EH折疊,使點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)D落在BC邊上, 再將紙片分別沿等腰ABED和等腰&DhC的底邊上的高線EF、HGW疊,折疊后的三個(gè)三角形拼合形成一個(gè)矩形.類似地,對(duì)多邊形進(jìn)行折疊,若翻折后的圖形恰能
15、拼合成一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的矩形,這樣的矩形稱為疊合矩形.將31雨口紙片按圖的方式折疊成一個(gè)疊合矩形AEFG則操作形成的折痕分另U是線段, ; §斯影猛死:§'nU£口工;(2) 口H8CU紙片還可以按圖的方式折疊成一個(gè)疊合矩形EFGH若EF=5, EH=12.求AD的長(zhǎng);(3)如圖,四邊形 ABCD氏片?f足 ADBC, AD < BC,AB_L BC, AB = 8,CD =10.小明把該紙片折疊,得到疊合正方形,請(qǐng)你幫助畫(huà)出疊合正方形的示意圖,并求出AD, BC的長(zhǎng),16 .如圖,分別是可活動(dòng)的菱形和平行四邊形學(xué)具,已知平行四邊形較短的邊 與菱形
16、的邊長(zhǎng)相等.(1)在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中,某小組學(xué)生將菱形的一邊與平行四邊形較短邊重合, 擺拼成如圖所示的圖形,AF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,連接DE交AF于點(diǎn)M觀察發(fā)現(xiàn): 點(diǎn)M是DE的中點(diǎn).下面是兩位學(xué)生有代表性的證明思路:思路1:不需作輔助線,直接證三角形全等;思路2:不證三角形全等,連接 BD交AF于點(diǎn)H.請(qǐng)參考上面的思路,證明點(diǎn) M是DE的中點(diǎn)(只需用一種方法證明) 如圖,在 的前提下,當(dāng)/ABE =135時(shí),延長(zhǎng)AD EF交于點(diǎn)IV,求型NE的值;AF(3)在(2)的條件下,若=k ( k為大于22的常數(shù)),直接用含k的代數(shù)式AB表示AM的值MF17 .問(wèn)題背景 如圖,在正方形 ABCD勺內(nèi)部,作/ DA
17、E =/ABF =2BCG = NCDH,根據(jù)三角形全等的條件,易得 ADAE與AABF mABCGmCDH ,從 而得到四邊形EFGK正方形.類比探究 如圖,在正4ABC的內(nèi)部,作/BAD=NCBE=NACF,AD,BE,CF兩兩相交于D, E, F三點(diǎn)(D, E, F三點(diǎn)不重合).AABDCBCEiACAF是否全等?如果是,請(qǐng)選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明;ADEF是否為正三角形?請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn),&ABD的三邊存在一定的等量關(guān)系,設(shè) BD=a,AD = b,AB=c,請(qǐng)?zhí)剿鱝, b, c滿足的等量關(guān)系,18.已知四邊形ABCD勺一組對(duì)邊AR BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.(1)如圖,若 /ABC =NADC =90°,求證:ED EA= EC EB3如圖,若 ABC =120°, cos/ADC = , CD = 5,AB = 12,求ACDE 的面積5為6,求四邊形ABCD勺面積;(3)如圖,另一組對(duì)邊 AB, DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,若cos/ABC =3cos/ADC =3, CD =5,CF = ED =n,直接寫(xiě)出 AD的長(zhǎng)(用含n的式子5表小).19.問(wèn)題背景 如圖,等腰&ABC中,AB = AC,NBAC =120口,作AD _L BC于
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