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1、實(shí)變函數(shù)測試題11、設(shè) 。2、證明:為上連續(xù)函數(shù)的充分必要條件是對任意實(shí)數(shù),集和都是閉集。證明:必要性:若是上連續(xù)函數(shù),由第二章習(xí)題8可知和是閉集。充分性:若和E都是閉集。若有,在點(diǎn)不連續(xù)。則存在,或,不妨設(shè)出現(xiàn)第一種情況。令,則,而(因?yàn)椋?,此與是閉集相矛盾。所以在上是連續(xù)的。證畢。3、 設(shè)是任意可測集,則一定存在可測集型集,使得,且由外側(cè)度定義,對任意正整數(shù),存在開集,使,令,則為型集,且 故。證畢。5、寫出魯津定理及其逆定理。并證明魯津定理的逆定理。6、設(shè)是上的可測函數(shù),為開集,為閉集,試問與是否是可測集,為什么?由已知 則開集可寫成直線上可列個(gè)開集的并集,即,則可知是可測集。由,則可知
2、也是可測集。證畢。7、設(shè)在Cantor集上定義函數(shù)=0,而在的余集中長為的構(gòu)成區(qū)間上定義為(),試證可積分,并求出積分值。8、設(shè)為上非負(fù)可積函數(shù)列,若則。對任意,由于非負(fù)可知: ,即證畢。9、 設(shè)是上a.e. 有限的可測函數(shù),。試證明對,存在上a.e. 有界的可測函數(shù),使得 。因?yàn)槭巧系腶.e.有限的可測函數(shù),設(shè),令故有所以,故,使得令g(x)= 故。證畢。10、求證 , 。解答:1. 解:;設(shè),則存在N,使,因此時(shí),即,所以x屬于下標(biāo)比N大的一切偶指標(biāo)集,從而x屬于無限多,得又顯然,所以。;若有,則存在A,使任意,有。因此若時(shí),即.令得,此不可能,所以。2證明:必要性:若是上連續(xù)函數(shù),由第二
3、章習(xí)題8可知和是閉集。充分性:若和E都是閉集。若有,在點(diǎn)不連續(xù)。則存在,或,不妨設(shè)出現(xiàn)第一種情況。令,則,而(因?yàn)椋?,此與是閉集相矛盾。所以在上是連續(xù)的。證畢。3由外側(cè)度定義,對任意正整數(shù),存在開集,使,令,則為型集,且 故。證畢。4證明:先證可測:存在型集使得。令。.。因?yàn)?即,又,所以,所以.,所以 ,因?yàn)榭蓽y,可測,所以可測。同理可證可測。證畢。5魯津定理:設(shè)是上a.e.有限的可測函數(shù),則對任意,存在閉子集,使在上是連續(xù)函數(shù),且.逆定理:設(shè)是上的函數(shù),對,總存在閉子集,使得在上是連續(xù)函數(shù),且,則,是上a.e.有限的可測函數(shù)。證明:對任意,存在閉子集,使在上連續(xù)且,令,則對任意,有。令,得。對任意實(shí)數(shù)a, ,由在上連續(xù),可知可測,而,所以也可測,從而是可測的。因此是可測的。因?yàn)樵谏嫌邢蓿试谏嫌邢?,所以a.e.有限。證畢。6.由已知 則開集可寫成直線上可列個(gè)開集的并集,即,則可知是可測集。由,則可知也是可測集。證畢。7f(x)是非負(fù)可測函數(shù),因而積分確定,只要證明積分有限即可。設(shè)是的余集中長為的構(gòu)成區(qū)間之并,則,因此,所以可積,且積分值為3。證畢。8對任意,由于非負(fù)可知: ,即證畢。9因?yàn)槭巧?/p>
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