實(shí)變函數(shù)試卷13

1、實(shí)變函數(shù)測試題11、設(shè) 。2、證明：為上連續(xù)函數(shù)的充分必要條件是對任意實(shí)數(shù)，集和都是閉集。證明：必要性：若是上連續(xù)函數(shù)，由第二章習(xí)題8可知和是閉集。充分性：若和E都是閉集。若有，在點(diǎn)不連續(xù)。則存在，或，不妨設(shè)出現(xiàn)第一種情況。令，則，而（因?yàn)椋?，此與是閉集相矛盾。所以在上是連續(xù)的。證畢。3、 設(shè)是任意可測集，則一定存在可測集型集，使得,且由外側(cè)度定義，對任意正整數(shù)，存在開集,使，令，則為型集，且 故。證畢。5、寫出魯津定理及其逆定理。并證明魯津定理的逆定理。6、設(shè)是上的可測函數(shù)，為開集，為閉集，試問與是否是可測集，為什么？由已知 則開集可寫成直線上可列個(gè)開集的并集，即，則可知是可測集。由，則可知

2、也是可測集。證畢。7、設(shè)在Cantor集上定義函數(shù)=0，而在的余集中長為的構(gòu)成區(qū)間上定義為（）,試證可積分，并求出積分值。8、設(shè)為上非負(fù)可積函數(shù)列，若則。對任意，由于非負(fù)可知： ，即證畢。9、 設(shè)是上a.e. 有限的可測函數(shù)，。試證明對，存在上a.e. 有界的可測函數(shù)，使得 。因?yàn)槭巧系腶.e.有限的可測函數(shù)，設(shè)，令故有所以，故，使得令g(x)= 故。證畢。10、求證 , 。解答：1. 解：；設(shè)，則存在N，使，因此時(shí)，即，所以x屬于下標(biāo)比N大的一切偶指標(biāo)集，從而x屬于無限多，得又顯然，所以。；若有，則存在A，使任意,有。因此若時(shí)，即.令得，此不可能，所以。2證明：必要性：若是上連續(xù)函數(shù)，由第二

3、章習(xí)題8可知和是閉集。充分性：若和E都是閉集。若有，在點(diǎn)不連續(xù)。則存在，或，不妨設(shè)出現(xiàn)第一種情況。令，則，而（因?yàn)椋?，此與是閉集相矛盾。所以在上是連續(xù)的。證畢。3由外側(cè)度定義，對任意正整數(shù)，存在開集,使，令，則為型集，且 故。證畢。4證明：先證可測：存在型集使得。令。.。因?yàn)?即,又,所以,所以.，所以 ,因?yàn)榭蓽y，可測，所以可測。同理可證可測。證畢。5魯津定理：設(shè)是上a.e.有限的可測函數(shù)，則對任意，存在閉子集，使在上是連續(xù)函數(shù)，且.逆定理：設(shè)是上的函數(shù)，對，總存在閉子集，使得在上是連續(xù)函數(shù)，且，則，是上a.e.有限的可測函數(shù)。證明：對任意，存在閉子集,使在上連續(xù)且,令，則對任意，有。令，得。對任意實(shí)數(shù)a， ，由在上連續(xù)，可知可測，而，所以也可測，從而是可測的。因此是可測的。因?yàn)樵谏嫌邢蓿试谏嫌邢?，所以a.e.有限。證畢。6.由已知 則開集可寫成直線上可列個(gè)開集的并集，即，則可知是可測集。由，則可知也是可測集。證畢。7f(x)是非負(fù)可測函數(shù)，因而積分確定，只要證明積分有限即可。設(shè)是的余集中長為的構(gòu)成區(qū)間之并，則，因此，所以可積，且積分值為3。證畢。8對任意，由于非負(fù)可知： ，即證畢。9因?yàn)槭巧?/p>