矩陣及其運算[1]

1、線性代數(shù) 第二章 矩陣及其運算 16第二章 矩陣及其運算矩陣是線性代數(shù)的一個最基本的概念，也是數(shù)學的最基本的一個工具。它在二十世紀得到飛速發(fā)展，成為在物理學、生物學、地理學、經(jīng)濟學等中有大量應用的數(shù)學分支，現(xiàn)在矩陣比行列式在數(shù)學中占有更重要的位置。矩陣這個詞是英國數(shù)學家西勒維斯特在1850年首先使用的，但歷史非常久遠，可追溯到東漢初年（公元一世紀）成書的九章算術，其方程章第一題的方程實質上就是一個矩陣，所用的解法就是矩陣的初等變換。矩陣的運算是線性代數(shù)的基本內容。1849年英國數(shù)學家凱萊介紹了可逆方陣對乘法成群。凱萊 畢業(yè)于劍橋三一學院，他與西勒維斯特長期合作作了大量的開創(chuàng)性的工作創(chuàng)立了矩陣論

2、；與維爾斯特拉斯一起創(chuàng)立了代數(shù)型理論，奠定了代數(shù)不變量的理論基礎；他對幾何學的統(tǒng)一也有重大貢獻，一生發(fā)表近千篇論文。本章首先引入矩陣概念，繼而介紹矩陣的基本運算和可逆陣的概念，最后介紹簡化矩陣運算的技巧矩陣分塊法。本章要求掌握矩陣的運算，會求可逆陣的逆矩陣。§1 矩 陣 一. 矩陣的定義1、 引例 10 求解線性方程組是一個重要問題，但僅僅寫方程組就很麻煩，我們的想法是能否找到與線性方程組一一對應的等價形式，從而化減線性方程組的求解運算。設含個m方程、n個未知數(shù)的線性方程組為 (1)(1)的系數(shù)共有m×n個數(shù)，可排成一個m行n列的矩形的數(shù)陣 Þ 且這個數(shù)陣與(1)

3、式左端構成一一對應，稱為線性方程組(1)的系數(shù)矩陣。20 列昂杰夫投入產(chǎn)出模型 從經(jīng)濟角度來看，每個部門都有雙重身份： 作為生產(chǎn)部門生產(chǎn)出各種產(chǎn)品以滿足各種需要 產(chǎn)出 作為消費者又消費著其他部門生產(chǎn)的產(chǎn)品 投入 設某國民經(jīng)濟(或某地區(qū)的經(jīng)濟)有n個經(jīng)濟部門。為簡單起見，假定每部門只生產(chǎn)一類產(chǎn)品。為便于比較，用貨幣來表示各部門所生產(chǎn)的產(chǎn)品與消耗的商品:表示每生產(chǎn)1萬元第j類商品要消耗掉萬元的第i類商品，稱為投入系數(shù)，顯然。例如：表示每生產(chǎn)1萬元第四類商品要消耗掉0.45萬元的第三類商品。所有的投入系數(shù)共n´n個，可排成一個n行、n列的數(shù)表，將數(shù)表用一括號括起來，即有稱為投入產(chǎn)出矩陣。例

4、如 運行正常！但效益最好的是生產(chǎn)第2類產(chǎn)品的部門。A: 第一列元素分別表示生產(chǎn)第一類商品所消耗的第一類商品、第二類商品及第三類商品的價值（用貨幣表示）；同理，第二（三）列的元素則分別表示生產(chǎn)第二（三）類商品所消耗的各類商品的值。若>1，則表明每生產(chǎn)1萬元的第i類產(chǎn)品就要消耗掉1萬多元的第j類產(chǎn)品虧損！若A的某列元素的和 > 1意味著每生產(chǎn)1萬元此類產(chǎn)品消耗了1萬多元虧損！這種由m行n列個數(shù)構成的數(shù)表在數(shù)學上就被抽象成矩陣的概念。定義 由m×n個數(shù)排成的m行n列的數(shù)表 稱為m行n列矩陣，簡稱m´n矩陣，記為A.這m´n個數(shù)稱為矩陣A的元素，也簡稱為元，元

5、素位于矩陣的第i行第j列，稱為矩陣的(i,j)元，矩陣A也常簡記為()，m´n矩陣A也記為或.注 矩陣和行列式不一樣！ 矩陣是一個數(shù)表，而行列式是一個實數(shù)！實矩陣元素均為實數(shù)的矩陣。 復矩陣元素中有復數(shù)的矩陣。 注 我們只研究實矩陣，如不特別申明，今后所提到的矩陣均為實矩陣。 方陣行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣稱為n階矩陣，或強調稱為n階方陣，常記為.行矩陣只有一行的矩陣AB，又稱行向量，也記為.列矩陣只有一列的矩陣，又稱列向量。同型矩陣行數(shù)相等，列數(shù)也相等的矩陣。矩陣的相等若A、B為同型矩陣，且對應元素相等，即就稱矩陣A與B相等，記作A = B.零矩陣元素均為零的矩陣，記為O. 注意：不同

6、型的零陣是不相等的。例1 某廠向三個商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量就可用矩陣表示 A，其中表示工廠向第i店發(fā)送第j種產(chǎn)品的數(shù)量。單價單位重量 且這四種產(chǎn)品的單價和單件重量也可表示為矩陣 ，其中為第i種產(chǎn)品的單價，為第i種產(chǎn)品的單件重量。例2 四城市間的單線航線通航圖如右圖所示，令 則此航線圖可用矩陣表示為 ， 一般地，有限多個點之間的單向或雙向通道圖都可以這樣用矩陣表示，它實際上就是用矩陣作工具進行研究的一個數(shù)學分支圖論的內容。方陣A稱為圖的鄰接矩陣。例3 若個n變量與m個變量之間有變換關系 ， (2)稱(2)為一個從n個變量到m個變量的線性變換，其中為常數(shù)，顯然(2)的系數(shù)可構成一矩陣，稱為線性變換

7、(2)的系數(shù)矩陣。給定線性變換(2)，其系數(shù)矩陣就可被唯一確定；反過來，給定一矩陣作為線性變換的系數(shù)矩陣，則就唯一確定一個線性變換。這表明線性變換與矩陣之間存在著一一對應的關系，這使得我們可將對線性變換的研究轉化到對矩陣的研究上，或說通過研究矩陣理論達到研究線性變換理論的目的，體現(xiàn)了矩陣理論的一個應用。因此對一些特殊線性變換對應的矩陣應有足夠的認識是重要的。例如恒等變換n階單位陣： 兩個變量到兩個變量的線性變換可給出幾何解釋： 平面上(x, y)到()的坐標變換對角陣diag 投影變換 旋轉變換 Þ .這表明這個線性變換將平面上的點變?yōu)椋蛘f將極坐標系中坐標為(r,q )的點P變?yōu)闃O

8、坐標為(r,q +j)的點P1，從幾何上看就是將向量的幅角增加j長度保持不變，即這是一個以原點為中心旋轉j 角的變換，稱為旋轉變換。 §2 矩陣的運算只有賦予數(shù)四則運算，數(shù)才有了生命力一樣，也只有賦予矩陣運算，它才能有生命力，才能得到更好的應用。我們從最簡單運算入手：一、 矩陣的加法即對應元素相加定義2 設有兩個m´n矩陣，矩陣 稱為矩陣A與B的和，記為A+B. 即有注 同型陣之間才能進行加法運算。 稱矩陣-A =為矩陣A的負陣，利用復矩陣的概念可定義矩陣的減法運算：. 矩陣的加法實際上是轉化為實數(shù)的加法來定義的，故其運算性質同于實數(shù)加法的運算性質。運算規(guī)律： 交換律；請自

9、己給出證明 結合律； ； A + O = A. 即用數(shù)l遍乘矩陣A的每一個元素也是轉化為數(shù)的相乘二、 數(shù)與矩陣相乘定義3 矩陣 稱為數(shù)l與矩陣A的乘積，記為，或. 即有運算規(guī)律：請自己給出證明 結合律； 矩陣關于數(shù)加法的分配律； 數(shù)關于矩陣加法的分配律.注 利用數(shù)乘也可以定義負陣和減法。三、 矩陣與矩陣相乘我們回到矩陣的一個抽象背景線性變換，看其一個實際問題：設有兩個線性變換 (3)， (4)，要求從變量到變量的線性變換，只需將(4)代入(3)：, (5)線性變換(5)是先作線性變換(4)，再作線性變換(3)的結果，在線性變換里稱線性變換(5)是(3)與(4)的乘積，從矩陣的角度分析看：線性變

10、換(5)的矩陣C是由(3)的矩陣A與(4)的矩陣B按一定的運算規(guī)律得到的：乘積矩陣的元素 = 左矩陣的第i行元素與右矩陣的第j列對應元素乘積之和： .將這個現(xiàn)象在矩陣理論里反應出來，即從中抽象出矩陣乘法的一般定義。但首先要注意：要想做出左矩陣的第i行元素與右矩陣的第j列對應元素乘積之和必須要求左矩陣的列數(shù)=右矩陣的行數(shù)。定義4 設是A一個m´s矩陣，B是一個s´n矩陣，記矩陣A與B的乘積為，其中C是一個m´n矩陣， ，注 矩陣乘法定義相當復雜，能否簡單些，比如定義成對應元素相乘豈不很容易接受，從而更方便嗎？歷史上確有人給出過這種形式的定義阿達瑪定義，但由于它毫無實

11、際意義，從而沒有研究價值，自然消亡了。我們的乘法定義是源于實踐，具使用價值。雖然復雜點，但多練習一樣應用自如。 回頭看引例，所謂求兩個線性變換的乘積，實際上只需求它們對應矩陣的乘積：C=AB. 類似與矩陣的加減法，并非任兩個矩陣都能相乘，能相乘的關鍵是：左矩陣的列數(shù) = 右矩陣的列數(shù)。例如例4 求矩陣的乘積。解 . 注意兩個特殊矩陣的乘積結果，一個1´s的行矩陣與一個s´1的列矩陣的乘積是一個1´1的一階矩陣，即是一個實數(shù)：；. 類似于數(shù)的運算，利用矩陣的乘法可定義矩陣的乘方運算矩陣的冪：定義 設A是n階方陣，定義 ，k為正整數(shù)。顯然只有方陣的冪才有意義， 矩陣乘

12、法與實數(shù)乘法有不同的地方：10 矩陣乘法不滿足交換律，即交換相乘順序可導致不同的結果(注)，或交換后無法相乘。即便是很特殊的情形也未必可交換：例5 矩陣的乘積AB與BA Þ .20 有非零的零因子 上例A, B¹ O，但BA = O.30 不滿足消去律 ，但.請記?。哼@就是矩陣與數(shù)的不同之處。但它仍有不少相同之處：請自己給出證明運算規(guī)律： 結合律 ； 數(shù)乘結合律 ； 分配律 左分配律：；右分配律：.理解為什么叫單位陣了 乘單位陣不變 . 乘方的性質 ；.注 有了以上定義的所有運算即其性質，在運算可運行的條件下，矩陣就可以類似代數(shù)運算進行了，如 ，但要注意乘法無交換律。例6

13、證明旋轉變換的乘方從幾何直觀上看：將向量連續(xù)轉動n次角j 等同于將其一次轉動角nj.證 用數(shù)學歸納法。顯然當n = 1時結論成立。假設當n = k時結論成立，往證n = k+1時結論也成立： .注 從幾何角度看：是將向量一次旋轉角n，而是將向量連續(xù)旋轉n次角，效果一致，故等式的成立是毫無問題的。我們也回頭看一下矩陣的乘法在其它實際中的應用：上節(jié)例1中向三個店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量構成了矩陣A，四種產(chǎn)品的單價與單件重量構成總重量總值了矩陣B，作它們的乘積： ，第一列的元素分別表示向三個店發(fā)送產(chǎn)品的總值；第二列的元素分別表示向三個店所發(fā)送產(chǎn)品的總重量。上節(jié)例2四城市間的單線航線通航圖可用矩陣A表示，因

14、為分別表示i (k)市到k(j)市有無單向航線，即非0即1，故它們的乘積非0即1，且僅當都為1時其乘積才為1，即有0 i市到k市或k市到j市無單向航線；1 i市到k市和k市到j市都有單向航線，所以表示從i市經(jīng)一次中轉到j市的所有單向航線的總條數(shù)； 時，表示i市與其它3個市雙向航線的條數(shù)。如表明從市經(jīng)一次中轉到市的單向航線只有一條： ；表明從市經(jīng)一次中轉到市的單向航線有兩條： 和 ；表明市與其它市的雙向航線有兩條： 和 ；表明市于其它市無雙向航線。上節(jié)例3中的線性變換(2)中記系數(shù)矩陣A，n個變量X，m個變量Y ，則線性變換(2)可用矩陣的乘法簡單地表示為 . 也就是說，線性變換(2)把變量X變

15、成Y，相當于用矩陣A去左乘向量X得到向量Y. 類似地，線性變換(3)與(4)的乘積變換(5)可用矩陣表示為 ，其中X，Y ，T，A,B，.投影變換可表示為，其中,，旋轉變換則可表示為.四、 矩陣的轉置類似于行列式轉置的定義，可以給出矩陣轉置的概念。定義5 把矩陣A的行換成同序號的列得到的新矩陣叫做A的轉置矩陣，記為AT.例如，的轉置矩陣為。矩陣的轉置實際是關于矩陣的一種運算，它滿足的運算規(guī)律： (轉置再轉置)； (和的轉置) ； (數(shù)乘的轉置) ； (乘積的轉置) .注 乘積的轉置等于轉置的交換乘積，這個等式給出了求乘積的轉置的兩種方法，看例7：例7(P.50) 請自讀。利用轉置概念可得到對稱

16、陣的概念：定義 若n階方陣A滿足，即，則稱A為對稱陣。例8 設列矩陣X滿足，E為n階單位陣，證明H是對稱陣，且.證 ， H為對稱陣。.注 ，即任一方陣A與它的轉值的乘積與和都是對稱陣。問題？.注 類似地可給出反對稱陣的定義：若n階方陣A滿足，或. 如 ，關于反對稱陣有兩個有用的結論：10 任一方陣A都可以分解成對稱陣與反對稱陣的和， .20 奇數(shù)階反對稱陣的行列式為零(請自證)。即.注 方陣是很重要的一類矩陣，有它獨特的概念與性質。關于方陣，我們已介紹了乘方運算、對稱陣和反對稱陣的概念，本節(jié)的最后繼續(xù)再介紹幾個與方陣關聯(lián)的概念。五、方陣的行列式定義6 方陣A的元素位置不變構成的行列式稱為方陣A

17、的行列式，記為或A. 注 設，則. 實際上，方陣的行列式若按其值分類就兩類：0,或非0. 若方陣的行列式 ¹ 0，則稱其為非奇異方陣，否則稱為奇異方陣。你能舉一些非奇異和奇異矩陣的例子嗎？，單位陣都是非奇異陣，對角線元素均不為零的對角陣和三角陣也都是非奇異陣。運算規(guī)律 (轉置陣的行列式)； (數(shù)乘的行列式) ； (乘積的行列式) .注 性質就是行列式的性質1轉置性質。 強調 ，只是用 l 去乘行列式的某一行或列，則是用 l 遍乘的每一行或列！ 關于性質強調幾點：10 只有兩個同階方陣相乘時，性質猜成立，即，因為后者就不存在；20 雖然，但；分塊下三角行列式30 由性質立即可得乘方的行

18、列式性質：.證 設A, B，令二階行列式，由第一章例10知 ； 另一方面通過行列式的運算，還可將D變成一個分塊的副三角行列式，即要將D右下角的矩陣B變?yōu)榱憔仃嘜 ： ，要將B的第1列元素變成0，只需作運算 ，要將B的第2列元素變成0，只需作運算 ，,要將B的第n列元素變成0，只需作運算 ，即作行列式運算：，相應地就有，這表明 ，又，所以，故結論成立。例9 由行列式各元素的代數(shù)余子式構成的矩陣即將放在位上注意E不可缺少 稱為A的伴隨矩陣。試證： . (*)展開定理最后的重要結論證 設A， 記(bij)，即(bij).即 ， 所以 ；同理可證 akj ). 注 在下節(jié)中會看到伴隨矩陣是一個與方陣相

19、關的重要概念，(*)式稱為伴隨矩陣的重要公式。§3 逆 矩 陣實數(shù)有四則運算：，除加、減、乘之外還有除法，且可利用乘法定義除法：對任一非零的實數(shù)a，都存在唯一的實數(shù)，滿足，稱為a的逆元，并定義 .在矩陣理論中，我們已定義了加、減、乘法，且也有單位元的概念單位陣，那么我們能不能模仿實數(shù)運算，給出矩陣的逆元概念，即對于任一矩陣A，有沒有矩陣使得。先看個引例。1、 引例 設有一個n個變量到n個變量的線性變換 ， (1)對應用展開定理其系數(shù)矩陣為一n階方陣A，記X， Y ，則(1)可用矩陣乘法表示為 ，若，由克萊姆法則知， . 記 ，即有，其中 ， (2)(2)式表明，變量可用變量線性表示，

20、且這個表示式是唯一的。稱線性變換(2)是(1)的逆變換，記逆變換(2)的系數(shù)矩陣為B，則(2)可用矩陣乘法表示為. 我們知道線性變換與其系數(shù)矩陣構成一一對應。下面的關鍵是看看線性變換(1)與它逆變換(2)的系數(shù)矩陣之間有什么關系？首先提醒一下：一組變量自身到自身的線性變換是恒等變換，它的系數(shù)矩陣是單位陣。因為 Þ ； 另一方面，又因為 Þ， Þ （）.但應注意，得到這個等式是有限制條件的： A必須是方陣； ¹ 0. 除去其實際背景，由此抽象出逆陣的概念：2、 定義定義7 對于n階方陣A，若存在n階方陣B，使得，則稱矩陣A是可逆的，稱矩陣B是A的逆矩陣。注

21、 (唯一性)若A可逆，則A的逆陣是唯一的。因為若B,C都是A的逆陣，即， 則 .所以逆陣是唯一的。既然唯一，就用一個符號記，記A的逆陣為. 并非每個方陣都是可逆的，如 A， 若A可逆， 設A-1， 則有 Þ 0 = 1， 故A不可逆。問題： (存在性)方陣A滿足什么條件時可逆? (如何求)可逆時，怎樣求逆陣？3、 可逆的等價條件定理 n 階方陣A可逆的充要條件是，且可逆時.證 “Þ”： 若A可逆 Þ Þ Þ ¹ 0.“Ü”： 若¹ 0，由伴隨矩陣重要公式知 ，由可逆陣定義知 . 注 定理不僅解決了逆陣的存在問題，而

22、且給出了一個求逆陣的方法：.推論 若存在B，使得(或)，則A可逆，且B =.證 由條件可得 Þ ¹ 0，由定理知A可逆，且有 ，同理可證的情形。 注 推論實際上是定義的簡化形式，今后它完全替代了可逆的定義，再驗證可逆時，只需驗證滿足推論的條件：(或). 注意積累可逆的等價條件：A可逆 Û Û (或) Û ¹ 0 Û A是非奇異陣。4、 逆矩陣的運算性質 可逆陣A的逆矩陣仍可逆，且； l ¹ 0時，可逆陣的數(shù)乘仍可逆，且 數(shù)l的逆元與A的逆陣的乘積； 若A、B為同階可逆矩陣，則仍可逆，且 逆陣的交換積； 可逆陣A的乘

23、方仍可逆，且 乘方的逆陣等于逆陣的乘方，記為； 可逆陣A的轉置仍可逆，且 求逆運算與轉置運算可交換； 可逆陣A的逆陣的行列式 逆陣的行列式等于原陣行列式的倒置。證 即證 的逆陣是A：按定義的簡化形式只需證，這是顯然成立的。 同上只需證：. 由數(shù)乘結合律知：，故結論成立。 同理也應用定義簡化形式即可證得、和. A可逆， ¹ 0，且 Þ . 5、逆陣的求法舉例例1 求矩陣A的逆陣.解 .例2 求對角陣的逆矩陣。解 對角陣只有乘對角陣才能等于對角陣，故猜，直接用簡化定義驗證： ， .注 例1和例2可作為公式用，如，則A，B可逆，且. 關于對角陣的運算有它自己特殊的性質，例如：對角

24、陣與對角陣的乘積是對角元素對應乘積構成的對角陣。習題中也有介紹，應注意總結積累。例3 求的逆矩陣。解 P.56 例10 自讀。注 三階以上矩陣用伴隨陣方法求逆陣除非有較多的元素為零，否則計算量很大，要計算n2個n-1階行列式和一個n階行列式。所以實際應用價值不大，以后必須另找辦法解決逆陣的求法。 小結求逆矩陣方法，現(xiàn)有兩種方法：方法一 用伴隨陣求。主要應用于二階矩陣和一些含零較多的矩陣中。方法二：用定義(簡化形式)，如例2，主要用于與抽象矩陣的相關題目中。例如：例4 設方陣A滿足，證明A可逆，并求.證 Þ Þ A可逆，且. 利用逆陣，還可以解某些矩陣方程，例如例5(P.57

25、例11) 設，求矩陣X使?jié)M足 AXB = C .解 （分析：若A, B可逆，則用左乘上式，右乘上式，有） ， A, B可逆，且 ， ，.例6（編碼應用）A B C D E F G H I J K L M N O1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15P Q R S T U V W X Y Z ! 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28Welcome!shanshida： 23 5 12 3 15 13 5 27 28 19 8 1 14 19 8 9 4 1將發(fā)送數(shù)字排成 6×3的矩陣: 。為增加破譯難度，收發(fā)雙方可

26、約定一個保密矩陣：，則.發(fā)送者將CA的18個數(shù)字按序發(fā)出，接收者將收到的數(shù)字排成6×3矩陣CA，再右乘A-1：CAA-1 = C.6、伴隨矩陣的性質： 可逆 Û A可逆，且； ； ； ； .課后可自己試著證明。 §4 矩陣的分塊作用： 簡化高階矩陣運算； 簡化矩陣運算的表達形式。一、分塊矩陣的概念將矩陣用若干縱橫直線分成若干個小塊，每一小塊稱為矩陣的子塊(或子陣)，以子塊為元素形成的矩陣稱為分塊矩陣。例如A， 或.并也可稱為矩陣A的(i, j)塊。 注 分塊的方式不唯一。二、分塊矩陣的運算1、線性運算(加法與數(shù)乘) 設矩陣A, B為同型陣，且分塊方式相同，l,m為數(shù)，則 ，即對應子塊作相應的線性運算。分開說就是：加法是對應子塊相加，數(shù)乘實用數(shù)遍乘。2、乘法運算 設A為m´ l矩陣，B為l´ n矩陣，并分塊成， 其中A每行子塊的列數(shù)等于B每列子塊的行數(shù)，則 ，注 分塊陣能進行乘法運算要求兩條： A的列數(shù) =