矩陣及其運(yùn)算[1]

1、線性代數(shù) 第二章 矩陣及其運(yùn)算 16第二章 矩陣及其運(yùn)算矩陣是線性代數(shù)的一個(gè)最基本的概念，也是數(shù)學(xué)的最基本的一個(gè)工具。它在二十世紀(jì)得到飛速發(fā)展，成為在物理學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等中有大量應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，現(xiàn)在矩陣比行列式在數(shù)學(xué)中占有更重要的位置。矩陣這個(gè)詞是英國(guó)數(shù)學(xué)家西勒維斯特在1850年首先使用的，但歷史非常久遠(yuǎn)，可追溯到東漢初年（公元一世紀(jì)）成書的九章算術(shù)，其方程章第一題的方程實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)矩陣，所用的解法就是矩陣的初等變換。矩陣的運(yùn)算是線性代數(shù)的基本內(nèi)容。1849年英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊介紹了可逆方陣對(duì)乘法成群。凱萊 畢業(yè)于劍橋三一學(xué)院，他與西勒維斯特長(zhǎng)期合作作了大量的開創(chuàng)性的工作創(chuàng)立了矩陣論

2、；與維爾斯特拉斯一起創(chuàng)立了代數(shù)型理論，奠定了代數(shù)不變量的理論基礎(chǔ)；他對(duì)幾何學(xué)的統(tǒng)一也有重大貢獻(xiàn)，一生發(fā)表近千篇論文。本章首先引入矩陣概念，繼而介紹矩陣的基本運(yùn)算和可逆陣的概念，最后介紹簡(jiǎn)化矩陣運(yùn)算的技巧矩陣分塊法。本章要求掌握矩陣的運(yùn)算，會(huì)求可逆陣的逆矩陣。§1 矩 陣 一. 矩陣的定義1、 引例 10 求解線性方程組是一個(gè)重要問(wèn)題，但僅僅寫方程組就很麻煩，我們的想法是能否找到與線性方程組一一對(duì)應(yīng)的等價(jià)形式，從而化減線性方程組的求解運(yùn)算。設(shè)含個(gè)m方程、n個(gè)未知數(shù)的線性方程組為 (1)(1)的系數(shù)共有m×n個(gè)數(shù)，可排成一個(gè)m行n列的矩形的數(shù)陣 Þ 且這個(gè)數(shù)陣與(1)

3、式左端構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，稱為線性方程組(1)的系數(shù)矩陣。20 列昂杰夫投入產(chǎn)出模型 從經(jīng)濟(jì)角度來(lái)看，每個(gè)部門都有雙重身份： 作為生產(chǎn)部門生產(chǎn)出各種產(chǎn)品以滿足各種需要 產(chǎn)出 作為消費(fèi)者又消費(fèi)著其他部門生產(chǎn)的產(chǎn)品 投入 設(shè)某國(guó)民經(jīng)濟(jì)(或某地區(qū)的經(jīng)濟(jì))有n個(gè)經(jīng)濟(jì)部門。為簡(jiǎn)單起見，假定每部門只生產(chǎn)一類產(chǎn)品。為便于比較，用貨幣來(lái)表示各部門所生產(chǎn)的產(chǎn)品與消耗的商品:表示每生產(chǎn)1萬(wàn)元第j類商品要消耗掉萬(wàn)元的第i類商品，稱為投入系數(shù)，顯然。例如：表示每生產(chǎn)1萬(wàn)元第四類商品要消耗掉0.45萬(wàn)元的第三類商品。所有的投入系數(shù)共n´n個(gè)，可排成一個(gè)n行、n列的數(shù)表，將數(shù)表用一括號(hào)括起來(lái)，即有稱為投入產(chǎn)出矩陣。例

4、如 運(yùn)行正常！但效益最好的是生產(chǎn)第2類產(chǎn)品的部門。A: 第一列元素分別表示生產(chǎn)第一類商品所消耗的第一類商品、第二類商品及第三類商品的價(jià)值（用貨幣表示）；同理，第二（三）列的元素則分別表示生產(chǎn)第二（三）類商品所消耗的各類商品的值。若>1，則表明每生產(chǎn)1萬(wàn)元的第i類產(chǎn)品就要消耗掉1萬(wàn)多元的第j類產(chǎn)品虧損！若A的某列元素的和 > 1意味著每生產(chǎn)1萬(wàn)元此類產(chǎn)品消耗了1萬(wàn)多元虧損！這種由m行n列個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)表在數(shù)學(xué)上就被抽象成矩陣的概念。定義 由m×n個(gè)數(shù)排成的m行n列的數(shù)表 稱為m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱m´n矩陣，記為A.這m´n個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，也簡(jiǎn)稱為元，元

5、素位于矩陣的第i行第j列，稱為矩陣的(i,j)元，矩陣A也常簡(jiǎn)記為()，m´n矩陣A也記為或.注 矩陣和行列式不一樣！ 矩陣是一個(gè)數(shù)表，而行列式是一個(gè)實(shí)數(shù)！實(shí)矩陣元素均為實(shí)數(shù)的矩陣。 復(fù)矩陣元素中有復(fù)數(shù)的矩陣。 注 我們只研究實(shí)矩陣，如不特別申明，今后所提到的矩陣均為實(shí)矩陣。 方陣行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣稱為n階矩陣，或強(qiáng)調(diào)稱為n階方陣，常記為.行矩陣只有一行的矩陣AB，又稱行向量，也記為.列矩陣只有一列的矩陣，又稱列向量。同型矩陣行數(shù)相等，列數(shù)也相等的矩陣。矩陣的相等若A、B為同型矩陣，且對(duì)應(yīng)元素相等，即就稱矩陣A與B相等，記作A = B.零矩陣元素均為零的矩陣，記為O. 注意：不同

6、型的零陣是不相等的。例1 某廠向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量就可用矩陣表示 A，其中表示工廠向第i店發(fā)送第j種產(chǎn)品的數(shù)量。單價(jià)單位重量 且這四種產(chǎn)品的單價(jià)和單件重量也可表示為矩陣 ，其中為第i種產(chǎn)品的單價(jià)，為第i種產(chǎn)品的單件重量。例2 四城市間的單線航線通航圖如右圖所示，令 則此航線圖可用矩陣表示為 ， 一般地，有限多個(gè)點(diǎn)之間的單向或雙向通道圖都可以這樣用矩陣表示，它實(shí)際上就是用矩陣作工具進(jìn)行研究的一個(gè)數(shù)學(xué)分支圖論的內(nèi)容。方陣A稱為圖的鄰接矩陣。例3 若個(gè)n變量與m個(gè)變量之間有變換關(guān)系 ， (2)稱(2)為一個(gè)從n個(gè)變量到m個(gè)變量的線性變換，其中為常數(shù)，顯然(2)的系數(shù)可構(gòu)成一矩陣，稱為線性變換

7、(2)的系數(shù)矩陣。給定線性變換(2)，其系數(shù)矩陣就可被唯一確定；反過(guò)來(lái)，給定一矩陣作為線性變換的系數(shù)矩陣，則就唯一確定一個(gè)線性變換。這表明線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這使得我們可將對(duì)線性變換的研究轉(zhuǎn)化到對(duì)矩陣的研究上，或說(shuō)通過(guò)研究矩陣?yán)碚撨_(dá)到研究線性變換理論的目的，體現(xiàn)了矩陣?yán)碚摰囊粋€(gè)應(yīng)用。因此對(duì)一些特殊線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣應(yīng)有足夠的認(rèn)識(shí)是重要的。例如恒等變換n階單位陣： 兩個(gè)變量到兩個(gè)變量的線性變換可給出幾何解釋： 平面上(x, y)到()的坐標(biāo)變換對(duì)角陣diag 投影變換 旋轉(zhuǎn)變換 Þ .這表明這個(gè)線性變換將平面上的點(diǎn)變?yōu)?，或說(shuō)將極坐標(biāo)系中坐標(biāo)為(r,q )的點(diǎn)P變?yōu)闃O

8、坐標(biāo)為(r,q +j)的點(diǎn)P1，從幾何上看就是將向量的幅角增加j長(zhǎng)度保持不變，即這是一個(gè)以原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)j 角的變換，稱為旋轉(zhuǎn)變換。 §2 矩陣的運(yùn)算只有賦予數(shù)四則運(yùn)算，數(shù)才有了生命力一樣，也只有賦予矩陣運(yùn)算，它才能有生命力，才能得到更好的應(yīng)用。我們從最簡(jiǎn)單運(yùn)算入手：一、 矩陣的加法即對(duì)應(yīng)元素相加定義2 設(shè)有兩個(gè)m´n矩陣，矩陣 稱為矩陣A與B的和，記為A+B. 即有注 同型陣之間才能進(jìn)行加法運(yùn)算。 稱矩陣-A =為矩陣A的負(fù)陣，利用復(fù)矩陣的概念可定義矩陣的減法運(yùn)算：. 矩陣的加法實(shí)際上是轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的加法來(lái)定義的，故其運(yùn)算性質(zhì)同于實(shí)數(shù)加法的運(yùn)算性質(zhì)。運(yùn)算規(guī)律： 交換律；請(qǐng)自

9、己給出證明 結(jié)合律； ； A + O = A. 即用數(shù)l遍乘矩陣A的每一個(gè)元素也是轉(zhuǎn)化為數(shù)的相乘二、 數(shù)與矩陣相乘定義3 矩陣 稱為數(shù)l與矩陣A的乘積，記為，或. 即有運(yùn)算規(guī)律：請(qǐng)自己給出證明 結(jié)合律； 矩陣關(guān)于數(shù)加法的分配律； 數(shù)關(guān)于矩陣加法的分配律.注 利用數(shù)乘也可以定義負(fù)陣和減法。三、 矩陣與矩陣相乘我們回到矩陣的一個(gè)抽象背景線性變換，看其一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：設(shè)有兩個(gè)線性變換 (3)， (4)，要求從變量到變量的線性變換，只需將(4)代入(3)：, (5)線性變換(5)是先作線性變換(4)，再作線性變換(3)的結(jié)果，在線性變換里稱線性變換(5)是(3)與(4)的乘積，從矩陣的角度分析看：線性變

10、換(5)的矩陣C是由(3)的矩陣A與(4)的矩陣B按一定的運(yùn)算規(guī)律得到的：乘積矩陣的元素 = 左矩陣的第i行元素與右矩陣的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積之和： .將這個(gè)現(xiàn)象在矩陣?yán)碚摾锓磻?yīng)出來(lái)，即從中抽象出矩陣乘法的一般定義。但首先要注意：要想做出左矩陣的第i行元素與右矩陣的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積之和必須要求左矩陣的列數(shù)=右矩陣的行數(shù)。定義4 設(shè)是A一個(gè)m´s矩陣，B是一個(gè)s´n矩陣，記矩陣A與B的乘積為，其中C是一個(gè)m´n矩陣， ，注 矩陣乘法定義相當(dāng)復(fù)雜，能否簡(jiǎn)單些，比如定義成對(duì)應(yīng)元素相乘豈不很容易接受，從而更方便嗎？歷史上確有人給出過(guò)這種形式的定義阿達(dá)瑪定義，但由于它毫無(wú)實(shí)

11、際意義，從而沒有研究?jī)r(jià)值，自然消亡了。我們的乘法定義是源于實(shí)踐，具使用價(jià)值。雖然復(fù)雜點(diǎn)，但多練習(xí)一樣應(yīng)用自如。 回頭看引例，所謂求兩個(gè)線性變換的乘積，實(shí)際上只需求它們對(duì)應(yīng)矩陣的乘積：C=AB. 類似與矩陣的加減法，并非任兩個(gè)矩陣都能相乘，能相乘的關(guān)鍵是：左矩陣的列數(shù) = 右矩陣的列數(shù)。例如例4 求矩陣的乘積。解 . 注意兩個(gè)特殊矩陣的乘積結(jié)果，一個(gè)1´s的行矩陣與一個(gè)s´1的列矩陣的乘積是一個(gè)1´1的一階矩陣，即是一個(gè)實(shí)數(shù)：；. 類似于數(shù)的運(yùn)算，利用矩陣的乘法可定義矩陣的乘方運(yùn)算矩陣的冪：定義 設(shè)A是n階方陣，定義 ，k為正整數(shù)。顯然只有方陣的冪才有意義， 矩陣乘

12、法與實(shí)數(shù)乘法有不同的地方：10 矩陣乘法不滿足交換律，即交換相乘順序可導(dǎo)致不同的結(jié)果(注)，或交換后無(wú)法相乘。即便是很特殊的情形也未必可交換：例5 矩陣的乘積AB與BA Þ .20 有非零的零因子 上例A, B¹ O，但BA = O.30 不滿足消去律 ，但.請(qǐng)記?。哼@就是矩陣與數(shù)的不同之處。但它仍有不少相同之處：請(qǐng)自己給出證明運(yùn)算規(guī)律： 結(jié)合律 ； 數(shù)乘結(jié)合律 ； 分配律 左分配律：；右分配律：.理解為什么叫單位陣了 乘單位陣不變 . 乘方的性質(zhì) ；.注 有了以上定義的所有運(yùn)算即其性質(zhì)，在運(yùn)算可運(yùn)行的條件下，矩陣就可以類似代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行了，如 ，但要注意乘法無(wú)交換律。例6

13、證明旋轉(zhuǎn)變換的乘方從幾何直觀上看：將向量連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)n次角j 等同于將其一次轉(zhuǎn)動(dòng)角nj.證 用數(shù)學(xué)歸納法。顯然當(dāng)n = 1時(shí)結(jié)論成立。假設(shè)當(dāng)n = k時(shí)結(jié)論成立，往證n = k+1時(shí)結(jié)論也成立： .注 從幾何角度看：是將向量一次旋轉(zhuǎn)角n，而是將向量連續(xù)旋轉(zhuǎn)n次角，效果一致，故等式的成立是毫無(wú)問(wèn)題的。我們也回頭看一下矩陣的乘法在其它實(shí)際中的應(yīng)用：上節(jié)例1中向三個(gè)店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量構(gòu)成了矩陣A，四種產(chǎn)品的單價(jià)與單件重量構(gòu)成總重量總值了矩陣B，作它們的乘積： ，第一列的元素分別表示向三個(gè)店發(fā)送產(chǎn)品的總值；第二列的元素分別表示向三個(gè)店所發(fā)送產(chǎn)品的總重量。上節(jié)例2四城市間的單線航線通航圖可用矩陣A表示，因

14、為分別表示i (k)市到k(j)市有無(wú)單向航線，即非0即1，故它們的乘積非0即1，且僅當(dāng)都為1時(shí)其乘積才為1，即有0 i市到k市或k市到j(luò)市無(wú)單向航線；1 i市到k市和k市到j(luò)市都有單向航線，所以表示從i市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到j(luò)市的所有單向航線的總條數(shù)； 時(shí)，表示i市與其它3個(gè)市雙向航線的條數(shù)。如表明從市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到市的單向航線只有一條： ；表明從市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到市的單向航線有兩條： 和 ；表明市與其它市的雙向航線有兩條： 和 ；表明市于其它市無(wú)雙向航線。上節(jié)例3中的線性變換(2)中記系數(shù)矩陣A，n個(gè)變量X，m個(gè)變量Y ，則線性變換(2)可用矩陣的乘法簡(jiǎn)單地表示為 . 也就是說(shuō)，線性變換(2)把變量X變

15、成Y，相當(dāng)于用矩陣A去左乘向量X得到向量Y. 類似地，線性變換(3)與(4)的乘積變換(5)可用矩陣表示為 ，其中X，Y ，T，A,B，.投影變換可表示為，其中,，旋轉(zhuǎn)變換則可表示為.四、 矩陣的轉(zhuǎn)置類似于行列式轉(zhuǎn)置的定義，可以給出矩陣轉(zhuǎn)置的概念。定義5 把矩陣A的行換成同序號(hào)的列得到的新矩陣叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT.例如，的轉(zhuǎn)置矩陣為。矩陣的轉(zhuǎn)置實(shí)際是關(guān)于矩陣的一種運(yùn)算，它滿足的運(yùn)算規(guī)律： (轉(zhuǎn)置再轉(zhuǎn)置)； (和的轉(zhuǎn)置) ； (數(shù)乘的轉(zhuǎn)置) ； (乘積的轉(zhuǎn)置) .注 乘積的轉(zhuǎn)置等于轉(zhuǎn)置的交換乘積，這個(gè)等式給出了求乘積的轉(zhuǎn)置的兩種方法，看例7：例7(P.50) 請(qǐng)自讀。利用轉(zhuǎn)置概念可得到對(duì)稱

16、陣的概念：定義 若n階方陣A滿足，即，則稱A為對(duì)稱陣。例8 設(shè)列矩陣X滿足，E為n階單位陣，證明H是對(duì)稱陣，且.證 ， H為對(duì)稱陣。.注 ，即任一方陣A與它的轉(zhuǎn)值的乘積與和都是對(duì)稱陣。問(wèn)題？.注 類似地可給出反對(duì)稱陣的定義：若n階方陣A滿足，或. 如 ，關(guān)于反對(duì)稱陣有兩個(gè)有用的結(jié)論：10 任一方陣A都可以分解成對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣的和， .20 奇數(shù)階反對(duì)稱陣的行列式為零(請(qǐng)自證)。即.注 方陣是很重要的一類矩陣，有它獨(dú)特的概念與性質(zhì)。關(guān)于方陣，我們已介紹了乘方運(yùn)算、對(duì)稱陣和反對(duì)稱陣的概念，本節(jié)的最后繼續(xù)再介紹幾個(gè)與方陣關(guān)聯(lián)的概念。五、方陣的行列式定義6 方陣A的元素位置不變構(gòu)成的行列式稱為方陣A

17、的行列式，記為或A. 注 設(shè)，則. 實(shí)際上，方陣的行列式若按其值分類就兩類：0,或非0. 若方陣的行列式 ¹ 0，則稱其為非奇異方陣，否則稱為奇異方陣。你能舉一些非奇異和奇異矩陣的例子嗎？，單位陣都是非奇異陣，對(duì)角線元素均不為零的對(duì)角陣和三角陣也都是非奇異陣。運(yùn)算規(guī)律 (轉(zhuǎn)置陣的行列式)； (數(shù)乘的行列式) ； (乘積的行列式) .注 性質(zhì)就是行列式的性質(zhì)1轉(zhuǎn)置性質(zhì)。 強(qiáng)調(diào) ，只是用 l 去乘行列式的某一行或列，則是用 l 遍乘的每一行或列！ 關(guān)于性質(zhì)強(qiáng)調(diào)幾點(diǎn)：10 只有兩個(gè)同階方陣相乘時(shí)，性質(zhì)猜成立，即，因?yàn)楹笳呔筒淮嬖冢?0 雖然，但；分塊下三角行列式30 由性質(zhì)立即可得乘方的行

18、列式性質(zhì)：.證 設(shè)A, B，令二階行列式，由第一章例10知 ； 另一方面通過(guò)行列式的運(yùn)算，還可將D變成一個(gè)分塊的副三角行列式，即要將D右下角的矩陣B變?yōu)榱憔仃嘜 ： ，要將B的第1列元素變成0，只需作運(yùn)算 ，要將B的第2列元素變成0，只需作運(yùn)算 ，,要將B的第n列元素變成0，只需作運(yùn)算 ，即作行列式運(yùn)算：，相應(yīng)地就有，這表明 ，又，所以，故結(jié)論成立。例9 由行列式各元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣即將放在位上注意E不可缺少 稱為A的伴隨矩陣。試證： . (*)展開定理最后的重要結(jié)論證 設(shè)A， 記(bij)，即(bij).即 ， 所以 ；同理可證 akj ). 注 在下節(jié)中會(huì)看到伴隨矩陣是一個(gè)與方陣相

19、關(guān)的重要概念，(*)式稱為伴隨矩陣的重要公式。§3 逆 矩 陣實(shí)數(shù)有四則運(yùn)算：，除加、減、乘之外還有除法，且可利用乘法定義除法：對(duì)任一非零的實(shí)數(shù)a，都存在唯一的實(shí)數(shù)，滿足，稱為a的逆元，并定義 .在矩陣?yán)碚撝?，我們已定義了加、減、乘法，且也有單位元的概念單位陣，那么我們能不能模仿實(shí)數(shù)運(yùn)算，給出矩陣的逆元概念，即對(duì)于任一矩陣A，有沒有矩陣使得。先看個(gè)引例。1、 引例 設(shè)有一個(gè)n個(gè)變量到n個(gè)變量的線性變換 ， (1)對(duì)應(yīng)用展開定理其系數(shù)矩陣為一n階方陣A，記X， Y ，則(1)可用矩陣乘法表示為 ，若，由克萊姆法則知， . 記 ，即有，其中 ， (2)(2)式表明，變量可用變量線性表示，

20、且這個(gè)表示式是唯一的。稱線性變換(2)是(1)的逆變換，記逆變換(2)的系數(shù)矩陣為B，則(2)可用矩陣乘法表示為. 我們知道線性變換與其系數(shù)矩陣構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)。下面的關(guān)鍵是看看線性變換(1)與它逆變換(2)的系數(shù)矩陣之間有什么關(guān)系？首先提醒一下：一組變量自身到自身的線性變換是恒等變換，它的系數(shù)矩陣是單位陣。因?yàn)?Þ ； 另一方面，又因?yàn)?Þ， Þ （）.但應(yīng)注意，得到這個(gè)等式是有限制條件的： A必須是方陣； ¹ 0. 除去其實(shí)際背景，由此抽象出逆陣的概念：2、 定義定義7 對(duì)于n階方陣A，若存在n階方陣B，使得，則稱矩陣A是可逆的，稱矩陣B是A的逆矩陣。注

21、 (唯一性)若A可逆，則A的逆陣是唯一的。因?yàn)槿鬊,C都是A的逆陣，即， 則 .所以逆陣是唯一的。既然唯一，就用一個(gè)符號(hào)記，記A的逆陣為. 并非每個(gè)方陣都是可逆的，如 A， 若A可逆， 設(shè)A-1， 則有 Þ 0 = 1， 故A不可逆。問(wèn)題： (存在性)方陣A滿足什么條件時(shí)可逆? (如何求)可逆時(shí)，怎樣求逆陣？3、 可逆的等價(jià)條件定理 n 階方陣A可逆的充要條件是，且可逆時(shí).證 “Þ”： 若A可逆 Þ Þ Þ ¹ 0.“Ü”： 若¹ 0，由伴隨矩陣重要公式知 ，由可逆陣定義知 . 注 定理不僅解決了逆陣的存在問(wèn)題，而

22、且給出了一個(gè)求逆陣的方法：.推論 若存在B，使得(或)，則A可逆，且B =.證 由條件可得 Þ ¹ 0，由定理知A可逆，且有 ，同理可證的情形。 注 推論實(shí)際上是定義的簡(jiǎn)化形式，今后它完全替代了可逆的定義，再驗(yàn)證可逆時(shí)，只需驗(yàn)證滿足推論的條件：(或). 注意積累可逆的等價(jià)條件：A可逆 Û Û (或) Û ¹ 0 Û A是非奇異陣。4、 逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì) 可逆陣A的逆矩陣仍可逆，且； l ¹ 0時(shí)，可逆陣的數(shù)乘仍可逆，且 數(shù)l的逆元與A的逆陣的乘積； 若A、B為同階可逆矩陣，則仍可逆，且 逆陣的交換積； 可逆陣A的乘

23、方仍可逆，且 乘方的逆陣等于逆陣的乘方，記為； 可逆陣A的轉(zhuǎn)置仍可逆，且 求逆運(yùn)算與轉(zhuǎn)置運(yùn)算可交換； 可逆陣A的逆陣的行列式 逆陣的行列式等于原陣行列式的倒置。證 即證 的逆陣是A：按定義的簡(jiǎn)化形式只需證，這是顯然成立的。 同上只需證：. 由數(shù)乘結(jié)合律知：，故結(jié)論成立。 同理也應(yīng)用定義簡(jiǎn)化形式即可證得、和. A可逆， ¹ 0，且 Þ . 5、逆陣的求法舉例例1 求矩陣A的逆陣.解 .例2 求對(duì)角陣的逆矩陣。解 對(duì)角陣只有乘對(duì)角陣才能等于對(duì)角陣，故猜，直接用簡(jiǎn)化定義驗(yàn)證： ， .注 例1和例2可作為公式用，如，則A，B可逆，且. 關(guān)于對(duì)角陣的運(yùn)算有它自己特殊的性質(zhì)，例如：對(duì)角

24、陣與對(duì)角陣的乘積是對(duì)角元素對(duì)應(yīng)乘積構(gòu)成的對(duì)角陣。習(xí)題中也有介紹，應(yīng)注意總結(jié)積累。例3 求的逆矩陣。解 P.56 例10 自讀。注 三階以上矩陣用伴隨陣方法求逆陣除非有較多的元素為零，否則計(jì)算量很大，要計(jì)算n2個(gè)n-1階行列式和一個(gè)n階行列式。所以實(shí)際應(yīng)用價(jià)值不大，以后必須另找辦法解決逆陣的求法。 小結(jié)求逆矩陣方法，現(xiàn)有兩種方法：方法一 用伴隨陣求。主要應(yīng)用于二階矩陣和一些含零較多的矩陣中。方法二：用定義(簡(jiǎn)化形式)，如例2，主要用于與抽象矩陣的相關(guān)題目中。例如：例4 設(shè)方陣A滿足，證明A可逆，并求.證 Þ Þ A可逆，且. 利用逆陣，還可以解某些矩陣方程，例如例5(P.57

25、例11) 設(shè)，求矩陣X使?jié)M足 AXB = C .解 （分析：若A, B可逆，則用左乘上式，右乘上式，有） ， A, B可逆，且 ， ，.例6（編碼應(yīng)用）A B C D E F G H I J K L M N O1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15P Q R S T U V W X Y Z ! 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28Welcome!shanshida： 23 5 12 3 15 13 5 27 28 19 8 1 14 19 8 9 4 1將發(fā)送數(shù)字排成 6×3的矩陣: 。為增加破譯難度，收發(fā)雙方可

26、約定一個(gè)保密矩陣：，則.發(fā)送者將CA的18個(gè)數(shù)字按序發(fā)出，接收者將收到的數(shù)字排成6×3矩陣CA，再右乘A-1：CAA-1 = C.6、伴隨矩陣的性質(zhì)： 可逆 Û A可逆，且； ； ； ； .課后可自己試著證明。 §4 矩陣的分塊作用： 簡(jiǎn)化高階矩陣運(yùn)算； 簡(jiǎn)化矩陣運(yùn)算的表達(dá)形式。一、分塊矩陣的概念將矩陣用若干縱橫直線分成若干個(gè)小塊，每一小塊稱為矩陣的子塊(或子陣)，以子塊為元素形成的矩陣稱為分塊矩陣。例如A， 或.并也可稱為矩陣A的(i, j)塊。 注 分塊的方式不唯一。二、分塊矩陣的運(yùn)算1、線性運(yùn)算(加法與數(shù)乘) 設(shè)矩陣A, B為同型陣，且分塊方式相同，l,m為數(shù)，則 ，即對(duì)應(yīng)子塊作相應(yīng)的線性運(yùn)算。分開說(shuō)就是：加法是對(duì)應(yīng)子塊相加，數(shù)乘實(shí)用數(shù)遍乘。2、乘法運(yùn)算 設(shè)A為m´ l矩陣，B為l´ n矩陣，并分塊成， 其中A每行子塊的列數(shù)等于B每列子塊的行數(shù)，則 ，注 分塊陣能進(jìn)行乘法運(yùn)算要求兩條： A的列數(shù) =