振動理論基礎(chǔ)及激勵源分析

1、1第三章振動理論基礎(chǔ)及激勵源分析3.1振動系統(tǒng)的基本元件工程實際中，無論是動力機械或其他機器和結(jié)構(gòu)，都是由各部分之間可作相對運動的質(zhì) 最組成的。從振動分析的觀點看，即使是一臺很簡單的機器或結(jié)構(gòu)，也是由無限多個質(zhì)點組 成的。這些質(zhì)點Z間既有彈性，也有阻尼。因而，任何實際系統(tǒng)的質(zhì)量、彈性和阻尼都是連 續(xù)分布的。用質(zhì)點動力學(xué)的方法作系統(tǒng)分析時，必須用無窮多個微分方程來表示，這就很難 獲得解析解，更無法通過解析解討論其物理意義。即使在電子計算機高度發(fā)展并得到廣泛應(yīng) 用的今天，要采用數(shù)值解研究無窮多自由度系統(tǒng)的振動特性也是不可能的。所以，在分析機 器或結(jié)構(gòu)的振動待性時，必須抓住主要因素，略去一些次婆岡素

2、，把實際系統(tǒng)簡化和抽象成 離散的力學(xué)模型，這足振動分析的第-步。當(dāng)然，簡化的程度取決丁系統(tǒng)本身的復(fù)雜程度、 外界對它的作用形式和分析結(jié)果的精度要求等。簡化后力學(xué)模型的動力特性必須與原系統(tǒng)等 效。簡化后系統(tǒng)理論分析的結(jié)果還要經(jīng)過試驗驗證。把實際系統(tǒng)簡化成離散化模型時，可以把系統(tǒng)的質(zhì)量、彈性和阻尼恰當(dāng)?shù)丶?。例如?機器中彈性較小而質(zhì)量較人的構(gòu)件可以簡化成不計彈性的集中質(zhì)量，質(zhì)量較小而彈性較人的 構(gòu)件町以簡化成不計質(zhì)饋的彈簧，構(gòu)件之間阻尼較大的部分用不計質(zhì)量和彈件的阻尼器表 示。某些質(zhì)量、彈性和阻尼沒有明顯差別的構(gòu)件，也町以通過簡化前后系統(tǒng)動能、勢能和能 晟消庇不變的原則簡化。更般地,也町人為地把

3、構(gòu)件劃分成若干單兒.把單兀的質(zhì)眾凝聚 在某一位員作為集中質(zhì)量，而把單元的總彈性和總阻尼作為無質(zhì)量的彈性元件和阻尼元件與 集中質(zhì)最連接，從而把一個無窮多自由度的系統(tǒng)簡化成有限個自由度的系統(tǒng)。例圖3-1 (a)是通過彈性支承安裝的柴油發(fā)電機組，只討論機組對地面產(chǎn)生的動 壓力時，可以把整個機組的質(zhì)量集中在機組的重心處，機組作為一個集中質(zhì)量，彈性支承的 質(zhì)量9機組相比小得多，町以簡化成并聯(lián)的彈簧和阻尼器。這樣，機組就能簡化成如圖(b)所示的只作垂直方向振動的單自由度振動系統(tǒng)。圖1彈性安裝的柴油發(fā)電機組例J2圖3-2 (a)中，一臺柴油機彈性地安裝在非剛性的基礎(chǔ)上，分析系統(tǒng)在鉛垂方 向振動時，由于柴油機

4、與彈性支承相比，前者的質(zhì)量比后者人得多，而后者的彈性比前者人 得多，因此把柴油機作為一個集中質(zhì)量，把彈性支承作為并聯(lián)的彈性元件和阻尼元件。非剛 性基礎(chǔ)既有質(zhì)最又有彈性和阻尼，為了處理方便，工程上常常把基礎(chǔ)的質(zhì)最集中于質(zhì)心處作 為集中質(zhì)量，它的彈性和阻尼作為并聯(lián)的彈簧和阻尼器。這樣，柴油機非剛性基礎(chǔ)系統(tǒng) 就簡化成如圖3-2 (b)所示的二自由度系統(tǒng)。非剛性棊礎(chǔ)系統(tǒng)6 m.g2 m27/(b)振動系統(tǒng)離散化的力學(xué)模型由質(zhì)量元件、彈性元件和阻尼元件組成，它們是理想化的元 件。3 1.1.質(zhì)量或慣性元件圖A3質(zhì)戢元件=m x(3-1)質(zhì)量或慣性元件在振動系統(tǒng)的力學(xué)模型中抽彖成無彈性、不耗 能的剛體，當(dāng)

5、其速度改變時會導(dǎo)致動能的增加或減少，它是儲存動 能的元件，如圖33所示。若對質(zhì)量元件施加一個作用力它會 獲得與力尸皿方向相同的加速度壬，根據(jù)牛頓第二定律，作用在質(zhì)量元件上的力和加速度之 間的關(guān)系為#式中m是元件的質(zhì)量，它是元件慣性的度量。式中力、質(zhì)量和加速度的單位分別為N、kg 和 m/s2o對于角振動系統(tǒng)，質(zhì)量元件的慣性用它繞轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量J來描述，作用在元件上的力矩幾與元件的角加速度方之間的關(guān)系與式(31)類似，即(3-2)力矩、轉(zhuǎn)動慣量和角加速度的單位分別為Nm、kgm?和rad/sS(3-3)力對物體所做的功使得物體具有動能，人小等干力與沿力方向的位移的乘積。對于平 動.功和力、位移

6、之間的關(guān)系為W = Fmx對于角振動系統(tǒng).功和力矩、轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系為W =(3-4)通常情況卞，不同的研究目標(biāo)，對一個實際的振動系統(tǒng)建立其力學(xué)模型也有所不同， 一般應(yīng)根據(jù)研究目標(biāo)選擇合適的力學(xué)模型。一旦確定其研究模型，其系統(tǒng)的質(zhì)量或慣性元件 就很容易識別。例如肖討論圖34a所示的端部有一質(zhì)帛:塊的懸臂梁時，端部質(zhì)呈塊相比， 梁的質(zhì)呈町以忽略不計，此時系統(tǒng)的簡化結(jié)采如圖34b,這時，端部的質(zhì)屋是質(zhì)呈單尤， 彈簧反映梁的彈性。再考左如圖3-5a所示一多層建筑在水平地震波作用卜的例子，與樓板 相比.框架的質(zhì)量町以忽略不計.整個建筑物可以簡化成圖35b.每層樓板的質(zhì)最用不同#的質(zhì)量元件來表示，豎直方向

7、結(jié)構(gòu)件的彈性用不同的彈簧單元來表示。圖34端部帶集中質(zhì)量的懸臂梁（a）實際系統(tǒng)；（b）單自由度力學(xué)模型11110Q8Q8QOQ6OQQQQQ888O9N111Ml1叫x2(b)圖3芍多層建筑（a）實際系統(tǒng)：（b）多自由度系統(tǒng)力學(xué)模型3#在大多數(shù)實際問題中，其質(zhì)量單元并不是一個簡單的質(zhì)量塊，如圖3-4所示的懸臂梁結(jié) 構(gòu)，如果梁的質(zhì)崑相対于集中質(zhì)最塊不是小最，須將梁的分布質(zhì)最和集中質(zhì)量塊簡化為一個 等效質(zhì)量的單質(zhì)量系統(tǒng)。將具有多個集中質(zhì)量或分布質(zhì)量的系統(tǒng)簡化為具有一個等效質(zhì)屋 （或慣量）的單質(zhì)量（慣量）系統(tǒng)時，求等效質(zhì)量（或慣量）的方法是使等效前后系統(tǒng)的動 能相等。1. 幾個運動屬性相同的質(zhì)量塊由

8、一個剛性桿連在一起如圖3-6所示的系統(tǒng)中，質(zhì)量可忽略的剛性桿AOE能繞O點轉(zhuǎn)動，A、B兩端的質(zhì) 最分別為i耳和叫 端有一剛度為k的彈贊支承。剛性桿AO和B0部分的長度分別為1和圖A6彈簧一杠桿一質(zhì)雖:系統(tǒng)#21 o uf任意假設(shè)等效質(zhì)窩在桿中的位置.為簡化起見.假設(shè)等效質(zhì)量在處。對于桿只啟較小角位移的情況廠1%在垂直方向的速度町以用叫的速度表示，即另外(3-6)這兩個質(zhì)最塊的動能T為1 i A* 11T =嚴(yán)斗+ -n斤21J = -（n + 4鞏慶=亍叫戰(zhàn)利用式（3-6）和式（37）可得(3-8)2. 平動質(zhì)量和轉(zhuǎn)動質(zhì)耦合系統(tǒng)如圖3-7所示系統(tǒng)中，假設(shè)AOB 是質(zhì)量為m3的均質(zhì)、剛性細(xì)直角桿

9、， 它能繞0軸在水平面中作定軸轉(zhuǎn)動， 桿的A端和B端分別通過校鏈和質(zhì)® 町忽略的剛性桿與質(zhì)量元件U和M 相連，系統(tǒng)的其他參數(shù)和幾何尺寸如 圖。該系統(tǒng)的等效質(zhì)鼠既町以用一個 等效的平動質(zhì)量來代替，也町以用一 個等效的轉(zhuǎn)動慣量來代替。1）等效平動質(zhì)量若設(shè)g的位移為X】，m?的位移 為x?, 繞0點作定軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn) 角為0,它們的坐標(biāo)原點在系統(tǒng)處于 靜平衡時的位置，方向如圖3-7所示。 則 X = 0 a , X? = 2 0 a。整個系統(tǒng)的動能，也就是質(zhì)量叫、 m：和桿的動能為22 * -2 332 33(3-9)(3-15)#(3-15)#假設(shè) ,且£ = 03 , x2 =

10、 2 a ,則其等效質(zhì)屋為2）等效轉(zhuǎn)動慣最假設(shè) & =0,且玄=0| , ±2=2 0 8 » 則其等效轉(zhuǎn)動慣量(3-12)(3-13)(3-15)5(3-15)#例3-3圖38所示凸輪從動桿機構(gòu)利用一個軸的旋轉(zhuǎn)運動實現(xiàn)閥的往復(fù)運動。從動桿系統(tǒng) 由質(zhì)量為1%的推桿、質(zhì)量和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量分別為叫、J的搖臂、質(zhì)量為I幾的閥門和不 計質(zhì)量的閥門彈簧組成。求該機構(gòu)在位豐A點和C點的等效質(zhì)量。解：該結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量町以根據(jù)等效系統(tǒng)質(zhì)量的動能與原系統(tǒng)的動能來確定。當(dāng)推桿 有一個豎向位移X時，搖臂轉(zhuǎn)過的角度為，閥桿的向卜位移為瓦= qi2 = xiii，搖臂重心的向下位移為13 =

11、 Xl/l, O系統(tǒng)的動能為T = +叫痔+ £叫吃+ 同+ +叫£（1）如果假設(shè)等效質(zhì)最的位置在A點，則其速度為=動能表達(dá)式為FJ1 1 2Tq =叫q%q(3-15)#令T與I；q相等，并注總到卜列關(guān)系:心=立九=y/h *，沢=b/h xt 4 =(3-16)(3-23)#(3-23)#jJ2 J2(3-17)叫q=叫+ +叫尹珥扌（2）類似地，如果假設(shè)等效質(zhì)量的位豐在。點，其速度為 =毛，其動能表達(dá)式為(3-18)(3-23)#(3-23)#令式（3-14）與式（3J8）相等,得jp p叫二叫 +古+叫廿叫吉(3-19)3. 彈性元件彈性元件在振動系統(tǒng)力學(xué)模型中抽彖

12、成無質(zhì)量而貝有 線性彈性的元件.它是儲存勢能的元件.如圖39所示。當(dāng)彈性元件的-端固定，而另-端受到力FJ乍用時，這-端圖A9彈性元件點沿作用力的方向有位移X 彈性元件受的力與位移之間有 如卜'關(guān)系F5=kx(3-20)式中k為彈性元件的剛度，單位是N/m。對角振動系統(tǒng).彈性元件的剛度為扭轉(zhuǎn)剛度人單位是Nm/rad.作用在彈性元件端點的扭矩T,與轉(zhuǎn)角8之間的關(guān)系與式（3-20）相似，即T嚴(yán)k.(3-21)式（3-20）中，X也就是彈簧的變形等于彈簧兩端的相對位移。根據(jù)式（3-20）,如果 用圖像來描述彈簧力F和彈簧變形x ZfuJ的關(guān)系，將得到一條直線。使彈簧變形的力所做 的功以變性能

13、或勢能的形式存儲下來，其表達(dá)式為U = lkx2實際的彈簧往往是非線性的，但一般來說在某一變形范圍內(nèi)仍滿足式（3二0）。超過某 一變形值后（圖310中的A點），應(yīng)力超過材料的屈服極限，力和變形之間的關(guān)系就星非 線性了。在許多應(yīng)用中，人們都假定彈簧只發(fā)生較小的變形，因而町以利用式（320）。即 使力和變形之間是如圖3-11所示的卄線性關(guān)系，人們也經(jīng)常用線性關(guān)系近似。為了說明如 何線性化，令F表示使彈簧處于靜平衡時的外力，x表示相應(yīng)的變形。如果使力F有一個 增量AF,相應(yīng)的變形增量記為Ax。對F + AF在靜平衡點才處作泰勒級數(shù)展開，即(3-23)#StressForce (F)比例極限后的非線性

14、圖DDeformation (x)圖All非線性彈性的線性化過程對于較小的變形增量高階導(dǎo)數(shù)項可以忽略不計，所以由式（323）得 F+AF = F（x，） +更業(yè)£注總到彈®F = F（x） , M可以寫成如下的形式：ZSF - kZSx(&)(3-24)(3-25)顯然，等效線性彈簧常數(shù)為"毛.為了簡單，可以利用式（325）,但有時由于這種近似帶來的謀差可能比較人。像梁這樣的彈性元件其作用也相當(dāng)于彈簧。例如，如圖3-4所示端部有集中質(zhì)最m的 懸臂梁，為了簡單，町以假設(shè)梁的質(zhì)呈柑對于集中質(zhì)最m町以忽略不計。根據(jù)材料力學(xué)的 結(jié)果，梁在自由端的靜變形為(3-26

15、)式中，V=mg是質(zhì)量塊的重量：E是楊氏模量；I是梁橫截面的慣性矩。所以梁的彈 簧常數(shù)是(3-27)7StressForce (F)(3-27)#StressForce (F)類似的，也町以得到其他不同邊界梁的彈簧常數(shù)。(3-27)#在許女實際的應(yīng)用中，經(jīng)常遇到兒個線性彈簧同時使用的情況。這些彈簧町以用一個等效彈 簧來代替，下面給出詳細(xì)的討論。1。并聯(lián)彈簧為了推到并聯(lián)彈贊的等效剛度，考慮圖312 (a)所示的兩個彈簧并聯(lián)的情況。設(shè)在某個載荷W的作用下，系統(tǒng)產(chǎn)生靜變形d“，如圖3-12 (b)所示。此時系統(tǒng)的受力如圖3-12(c)所示，此時的靜力平衡關(guān)系為W=t名+ k心(3-28)如果等效彈簧

16、的剛度用匕表示，則此時的靜力平衡關(guān)系為Wm/%(3-29)由式(3-28)和式(3-29)得匕 % + 1勺(3-30)不難看出，如果是11個彈簧剛度分別為匕環(huán)K的彈簧并聯(lián)的情況，等效剛度為+ + +£(3-31)圖3-12并聯(lián)彈費2。串聯(lián)彈簧(3-32)(3-33)為了推導(dǎo)串聯(lián)彈簧的等效剛度，考慮如圖313 (a)所示的兩個彈簧串聯(lián)的情況。設(shè)在 載荷W的作用卜，兩個彈簧的伸長量分別為§和如圖3-13 (b)所示。顯然兩個彈簧靜 變形的總量為名 4 +坊由于兩個彈簧承受的載荷均為W,故可得如圖313 (c)所示的平衡關(guān)系W = KA1w.kJ等效彈簧的剛度還是用匕表示，則對

17、于同樣的靜變形，有如卜靜力平衡關(guān)系：W= k,/,(3-34)由式(3-33)和式(3-34)得(3-35)把式(3-35)中的4和帶入到式(3-36) uf得對丁多個彈簧串聯(lián)的情況，仃(3-36)(3-37),K«22k!«11IVW 2(c)圖A13串聯(lián)彈賞在某些應(yīng)用中，彈贊會與諸如滑輪、杠桿、齒輪等剛體連接。此時.等效彈贊剛度可以 利用能量等效的原則確定，見例1-5。例34圖3-14所示為貨運卡車的懸掛系統(tǒng)，其中包含3個并聯(lián)的彈簧。如果螺旋彈賞 材料的剪切彈性模量為G-80xl09N/m2,有效圈數(shù)為5,簧圈的平均直徑為D-20aii,簧線 直徑為d2an,求懸掛系統(tǒng)

18、的等效剛度。圖3J4貨運卡車的懸掛系統(tǒng)解：毎一個彈簧的剛度為k=- = 4xl04(N/m)此公式可以從一般的機械設(shè)計手冊或材料力學(xué)教材中查到。rh于3個相同彈簧 是并聯(lián)關(guān)系，所以等效彈費剛度為：k -3k- 3x4x10* - 1.2xlON/m)例3-5#解：需要把軸的兩段按串聯(lián)彈贊考慮。根據(jù)圖3-15,軸的任意截面所承受的扭矩都是 等于作用在推進器匕的外力矩T,所以這兩段的彈性可以看成是串聯(lián)關(guān)系。兩段的剛度分別 為：G歡覓-勵3兒25 5255xlO<(N.m/rad)GJ“ G>r(D：s-d；J由于這兩個彈簧式串聯(lián)關(guān)系，由式(336)得匕=上_= 6 5997xlO

19、9;(Nm/rad)k + k?例3-6如圖3-16 (a)所示，卷揚機的卷筒固定在f梁的端部，其上繞著鋼絲繩。求 懸垂鋼絲繩的長度為1時系統(tǒng)的等效剛度。假設(shè)鋼絲繩凈橫截而的II徑為d,梁和鋼絲繩材 料的楊氏模量為E。圖3J6卷揚機卷筒解:梁的彈簧剛度為F(nal，)Eat1(E 1)承受軸向載荷的鋼線繩的彈贊剛度為(E2)如圖316 (b)所示，由于鋼絲繩和懸臂梁承受同樣的載荷，所以可把它們看成是串聯(lián) 的彈贊，如圖316 (c)所示。故它們的等效彈簧剛度為1114b)41K；=k；+K = E + 7dyE或(E3)E( <at3d2例37圖317 (a)是一起重機的示意圖。吊臂AB是

20、等截面的鋼桿，長度為10m,橫 截而的面積為2500mrf o起吊重物W并處于靜止?fàn)顟B(tài)，鋼拉索CDEBF橫截面的而積為 lOOnn? o求該系統(tǒng)在豎直方向的等效彈簧剛度。11(a)(b)圖3-17起重機解：利用實際系統(tǒng)與等效系統(tǒng)的勢能相等求等效彈簧剛度。起覓機的底座可以看成是剛 性的，并認(rèn)為吊臂和拉索分別固定在A點和F點。忽略CDEB段鋼索的影響，認(rèn)為朿物W 通過B作用于系統(tǒng)，如圖3-17 （b）所示。與點B在豎直方向的位移X對應(yīng)，彈簧2 （用臂）和彈簧1 （拉索）產(chǎn)生的變形分別為 馬-xcos45', - xco<90 - 6）。拉索FB的長度斤滿足1/ = 32 + 10j-

21、2x3x10cos135 = 151 426由此得k 12 3055m角度8滿足如下關(guān)系：1/ + 32 - 2xl1 x3cos= 103由此得8S& 0.8184, & 35.0736根據(jù)式（312）,剛度為人和耐的兩個彈簧所存儲的全部勢能為U = ；k（xcos45 ）2 +乂cos（90 - 0）2（E 1 ） 式中1 6822xlO<(N/m)5.1750 xlON/m)#由于豎直方向的等效彈贊產(chǎn)生的變形為x.故等效彈簧的勢能為(E2)令J =得系統(tǒng)的等效彈簧剛度為= 26 4304xl0<(N/ni)在許多實際系統(tǒng)中，振動系統(tǒng)的能最會逐漸轉(zhuǎn)化為熱能或噪聲

22、。由于能呈的減少，響應(yīng) （例如系統(tǒng)的位移）會逐漸的減弱。使振動系統(tǒng)的能量逐漸變?yōu)闊崮芑蛟肼暤臋C理用系統(tǒng)的 阻尼來描述。盡管轉(zhuǎn)換成的熱能或噪聲相對來說比較小的，但考慮阻尼的影響對準(zhǔn)確預(yù)測系 統(tǒng)的振動響應(yīng)也是非常的碗要的。一般是假設(shè)阻尼器既沒有質(zhì)最也沒有彈性，并且阻尼力只 存在阻尼器的兩端有相對速度的情形。在實際系統(tǒng)中要確切的說明引起叭尼的原內(nèi)是很困難 的，因此阻尼器常被模型化為以下幾種類型。（1）粘性阻尼。粘性阻尼是振動分析中最常用的阻尼模型。當(dāng)機械系統(tǒng)在流體介質(zhì)例 如空氣、氣體、水和油中振動時，由流體產(chǎn)生的粘性阻力會造成物體能最損耗。在這種情況 卜，丿、，損耗的能量取決于許多因素，例如振動體的

23、人小和形狀、流體的粘性和振動頻率以及振動體的速度等。在粘性阻尼中，阻尼力與振動體的速度人小成正比。最典型的粘性阻尼 的例子包括滑動而之間的油膜、活塞氣缸周用的流體繞流、流體通過一個小孔以及軸承與滾 珠之間的油膜等。（2）庫侖或者干摩擦阻尼。此時阻尼力人小是常數(shù)，但是方向與振動體的相對運動方 向相反。這是因為相互摩擦的兩個面都是干的或欠潤滑的。（3）材料阻尼（固體阻尼，滯后阻尼）。當(dāng)材料產(chǎn)生變形時，能量就會被材料吸收和消 耗。當(dāng)產(chǎn)生變形時，材料的內(nèi)部平面之間會產(chǎn)生滑移或錯位，因而內(nèi)部平面之間的相互摩擦 就會引起能量的損耗。當(dāng)一個具有材料阻尼的物體振動時，其應(yīng)力-應(yīng)變曲線是如圖3-18（a） 所示

24、的滯后回線。該回路所H；l成的面枳確定了由于阻尼的作用，單位體積的物體在-個循壞 中所損失的能量。13#圖318彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變滯回曲線1. 粘性阻尼的結(jié)構(gòu)粘性阻尼器町以看成是有兩塊間距為h的平行板組成的，兩板之間充滿了粘性系數(shù)為“ 的流體介質(zhì)（如圖3-19所示）。讓一個平板固定，另一個平板以速度u沿所在平面運動。緊 臨運動版的流體層的速度為u ,而和固疋板皿£觸的流體以不動。中間流層的速度假設(shè)從0 到u呈線性變化。由粘性流體的牛頓定律，距固定板為y的液體層的切應(yīng)力為"“也（3-38）dy其中，du/dyu/h是速度的梯度。從運動板的下表面開始的切力或阻力F為(3-39)

25、圖,19充満黏性流體的半行板英中，A為運動板的面積，并且(3-40)稱為阻尼常數(shù)。如果一個阻尼器是非線性的，一般是利用線性化的方法把阻尼力表示為工作速度的線性 函數(shù).就像處理非線性彈簧一樣。此時的等效阻尼常數(shù)為(3-41)dF c- dv2. 幾個阻尼器的組合當(dāng)幾個阻尼器以并聯(lián)或串聯(lián)的形式出現(xiàn)時，町采用類似于處理幾個質(zhì)最的等效質(zhì)最或兒 個彈簧的等效剛度的方法，用一個等效阻尼器來代替。(3-42)考慮圖3J0 （a）所示阻尼并聯(lián)的情況，其等效阻尼為c<=E c>i- 1|(EEE15#圖3 20 a）串聯(lián)阻尼b）并聯(lián)阻尼考慮圖3二0 （b）所示阻尼串聯(lián)的情況，其等效阻尼為(343)例

26、38 個軸承可以近似看作是兩個平板被一層潤滑薄膜分開，如圖3J1所示。當(dāng)使 用潤滑油SAE30潤滑時，軸承可以提供400N的阻力，并板之間的相對速度為Khs。若 板的面積為0 1卅，假定板之間的距離為1】，潤滑油SAE30的絕対粘度為50x1曠雷恩（eyn） （英制動力粘度單位,lreyn=0 3445Pa.s ）o求軸承中的間隙。圖321油膜軸承平枚示總圖解：由于阻力F町以表達(dá)為F = cu的形式，其中C為阻尼常數(shù)，U為速度，故有(E 1 )Fc 40(Ns/mu把軸承模型化為一個平板類型的陰尼器阻尼常數(shù)由式(3-40)給出:(E2) h代入己知數(shù)據(jù)，式(E2)變?yōu)椤? 3445x0 1c

27、= 40 =h或h- 0 86125mm(E 3)例39建立圖322中緩沖器的阻尼常數(shù)表達(dá)式。CylinderViscousPiston(b)PistonCylinder圖,22活塞式紐沖器解：緩沖器的阻尼常數(shù)町由粘性流體流動的切應(yīng)力方程和流體流動速率方程來確定。如 圖3二2所示，一個緩沖器活塞的直徑為D,氏度為1,在充滿粘性系數(shù)為“的油缸中以速 度運動。令活塞和油缸之間的間隙為d,如圖3-22 (b)所示，在距運動表面為y處的速 度利切應(yīng)力分別為u和r，在(y+ dy)處的速度和切應(yīng)力相應(yīng)的分別為(u- du)和(c+dt)。du前 的號表明y朝缸壁方向增人時速度在減小。該微小圓環(huán)上的粘性阻

28、力為但切應(yīng)力為dut = 一“ dy其中,號與速度減小的方向是一致。將式(E2)帶入式(E1),有d'uF = -rDldy-j-作用在活塞上的力將引起活塞兩端壓力差，為P 4P因此，作用在活塞兩端的壓力為(El)E2)(E3)(E4)4Pp(/rDdy)-旳其中，*Ddy為介于y和(y+dy)之間的壞形面積。如果假設(shè)平均速度在流體運動方向上 是均勻分布的，在式(E3)和式(E5)中給出的力必須相等，這樣就得到4P .廠応 dbdb 4P一dy xDldy“一r 或 一 -,Dd7歹 心“(E5)(E6)對上式枳分兩次，并且考慮邊界條件。=-出”2=0|口，得到2P-嘰(河V)7吩)流

29、過間隙的流體的流最Q 口J以通過對流過活塞的流體的流速積分得到，枳分上卜限分別 為y= 0和y= d ,則Q. ： uxrDdy xD(E7)(E8).6尼1“ 2 J流體每秒流過間隙的體積必須等于每秒活塞排出的體枳。這樣活塞的速度q將等于這個 流量除以活塞面積，即(E9)由式(E.9)和式(E 8)可知(E 10)34卜對4?令P這樣阻尼常數(shù)C就為(E 11)韻“剳例3-10如圖3-23 (a)所示，一個精密銃床山4個防振支架支撐，每個支架的彈性和阻尼分別町以用一個彈贊和一個粘性阻尼器模擬，如圖323 (b)所示。找出用防振支架的彈簧常數(shù)比和阻尼常數(shù)c,表示的機床支承系統(tǒng)的等效彈簧常數(shù)匕和等

30、效阻尼常數(shù)。19解：4個彈簧和4個阻尼器受力如圖323 （c）所示。假設(shè)質(zhì)心G在4個彈簧和4個阻 尼器的對稱中心處。注意到所令的彈簧右相同的位移X,所有的阻尼有相同的相對速度乂， 其中X和x分別表示質(zhì)心G的位移和速度。作用在彈簧上的力臨和作用在阻尼器上的力耳 可以表示成聯(lián) “1十.3.4（E ）令作用在彈簧和阻尼器上所有力的介力分別為F,和片（見圖323（d）。這樣力平衡方 程可以表示為(E2)其中，F(xiàn),+F4-W> W表示作用在銃床上的總的豎直力（包括慣性力）。從圖323 （d）可知(E3)(E4)F. Mlt韻將式(E 1)和式(E3)代入式(E2),并注意到l = k,q=c(i

31、= l,2,3,4),則匕 T+kj+kj + kk注意：如果質(zhì)心G不是在4個彈簧和4個阻尼的對稱中心處.那么第】個彈簧產(chǎn)生一個 為爲(wèi)的位移，第】個阻尼器產(chǎn)生一個為務(wù)的速度，其中耳和芻是與銃床質(zhì)心的X和玄有關(guān)系 的量。這樣一來，式（E1）和式（E4）需要做適當(dāng)?shù)男薷摹?.2簡諧運動振動町以是有規(guī)律的車復(fù)自己的運動例如單擺的運動，也町以無規(guī)律地運動，如汽車 在凹凸不平的地而上行駛時的上下運動。能夠在相等的時間間隔后重復(fù)口C的運動，稱為周 期運動。周期振動可用如下關(guān)系式表示(3-44)x(t) = x(t+nr) 11 = b 2, 3,式（344）表明，經(jīng)過相同的時間r后，系統(tǒng)不斷重復(fù)過去的運動

32、。式中的r稱為運動的周期。 簡諧振動是最簡單的周期振動，它是指機械系統(tǒng)的某個運動量（位移、速度或加速度）(3-45)(3-46)按時間的正弦或余弦兩數(shù)規(guī)律變化的振動.如圖3二4所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為式中：A為振幅.表示物體離開平衡位置的最大位移；r為周期。若用t+nr（n = 1,2,3,.）代替式（3-45）中的仁所得的X值不變，故每隔時間r,運動就完全重復(fù)一 次.所以r是振動的周期。令69= 27i/r = 2h f ,則式（3-45） 寫成卜面的形式x= Asin(69t+ 0)式中：血為圓頻率或角頻率：f為頻率：cot +（p稱為相位角而°稱為初相位，Wt = 0時 的相位，表

33、示振動物體的初始位置。從式（345）或式（346）可以看出，簡諧振動町由下而三個參數(shù)唯一確定：振幅、周 期（圓頻率或頻率）和初相位。如果式（3-46）表示物體的位移，那么它的速度V和加速度a分別是位移X對時間的一階導(dǎo)數(shù)X和二階導(dǎo)數(shù)文，即(347)(3-48)V= X= Aft?COS ( 69t+ 0)= A69SD1 ( 69t+0+兀/2 )a = x = -Acer sin (cot +(p)= Aar sin (ot +(p+ n)比較式（346）、式（3-47）和式（3-48）,町以看出：當(dāng)物體的位移是簡諧函數(shù)時.它 的速度和加速度也是簡諧函數(shù)，它們與位移的頻率和同；速度的相位超前位

34、移為兀/2,而 加速度的相位超前位移為71 O把式（3-46）兩邊分別乘以ft/,然后與式（3-43）相加，町得(3-49)X+ 692X= 0式（349）是簡諧運動方程式。簡諧運動也町用其他方式表示，矢量表示和復(fù)數(shù)表示是分析研究振動問題時常用的兩種 方法。如圖3-25所示，簡諧振動可以用模為A的旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸X上的投影來表示。矢最 的起始位置與水平軸的夾角為°,矢量以等角速度血旋轉(zhuǎn)時，在任瞬時欠量與水平軸的 夾角為Qt + 0,它在X軸匕的投影即為式（346）。簡諧振動也町用復(fù)數(shù)表示，如圖3-26所示，模為A的矢量起始位置與實軸的夾 角為0,它以等角速度血沿逆時針方向在復(fù)平面中繞

35、0點旋轉(zhuǎn)，欠量OP的復(fù)數(shù)表達(dá)式為Z= A cos(evt + (p) + i sin (cot + (p)(3-50)根據(jù)歐拉公式e" =cos& + isin&,則式(3-50)可改寫成(3-51)z = Ae“3+©比較式(3-50)與式(3-51) nf知簡諧振動x是復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量在虎軸匕的投影，即x= Asin (勁 + 0)= ImZ = Iin Ael(wt+a，) (3-52)以后的敘述中，對復(fù)數(shù)表達(dá)式不作特殊說明時，即表示取其虛部。1簡諧振動的迭加同一物體在同一方向上同時發(fā)生兩個簡諧振動，那么這一物體最終表現(xiàn)的振動形式就是它們綜合的結(jié)果。一般地

36、，當(dāng)這兩個簡諧振動頻率相同時，町設(shè)這兩個簡諧振動為Xj = AfSt(3-53)(3-54)(3-55)X, = A. e"w) 它們綜合的結(jié)果町用復(fù)數(shù)相加或欠量疊加的方法得到，即x= X + X? = Ae'3R)其中A=+ A + 2 A A cos©.A> sin(D(p = arctanA + A cos cp(3-56)(3-57)町以看到，兩個同頻率的簡諧振動之和仍然是同頻率的簡諧振動。當(dāng)兩個簡諧振動的頻率不相同時，他們之和就不再是簡諧振動。討論下面的情況 = Xq sin cox tX2 = Xg siii(w21那么CDX 一COX + 69x

37、=x+x=2x(1 cos t sill-2 2當(dāng)與69?相差很小時，設(shè)(Dx- CO2 = 8 (D .COX +692 = 69,則有 (O LXq cos t sint式(3-58)可看成是一正弦函數(shù)(3-58)其頻率為ty/2(a® ),其可變振幅為2XQCOS(呦2)t,如圖1-5所示.這種振動稱為拍振，拍頻= 3a)/lit,拍的周期為In(3-59)更一般的情況為X利X?的振幅和初相位都不同，同學(xué)町以作為課后練習(xí)。3.3諧波分析前而已經(jīng)提到，簡諧振動是最簡單的周期振動。實際問題中遇到更多的是非簡諧的周期 振動，而任意周期振動都可以通過諧波分析分解成一系列簡諧振動的疊加。

38、設(shè)一個周期振動函數(shù)F(t),它的周期為r,它滿足下列條件：函數(shù)在一個周期內(nèi)連續(xù) 或者只有有限個間斷點，而且間斷點上函數(shù)左右極限都存在；在-個周期內(nèi)函數(shù)只有有限個 極人極小值，F(xiàn)(t)就町以表示成卜面的形式a 0 二F (t )-( a n cos n 69 2 n-l+ bn sill n t )(3-60)式中(稱為基頻)a0 = |jjF (t)dtan = j F (t) cos n 69 dtbn = j F (t) sill n co. dt根據(jù)前而的討論，同頻率的簡諧振動可以合成為一個簡諧振動，式(1-17)也可以表示 為a 0(t) = 7T+XAn 血(njt + 久)2 n

39、= l(3-61)式中(pd = aic tanan25把An和0口與血Z間的變化關(guān)系用圖形表示如圖1-6所示，這種圖形稱為頻譜，它們 是離散的垂線。(a)幅頻特性(b)相頻特性圖3-28任總周期撮動函數(shù)的頻譜3.4簡諧與周期激勵源：轉(zhuǎn)子系統(tǒng)、連桿不平衡力系統(tǒng)在激勵力作用下的響應(yīng)是振動學(xué)所關(guān)心的一個主要問題。為了解決這個問題，就必 須對系統(tǒng)運動方程進行求解。選擇那種方法來對方程進行求解取決于激勵力和系統(tǒng)本身的特 性。本節(jié)將對激勵力的特性及產(chǎn)生的原因進行詳細(xì)的介紹。振動激勵町以分為兩大類，一類是初始激勵，一類是力或力矩的激勵。從本質(zhì)上看，這 兩種激勵的區(qū)別并不這么明顯，初始速度實質(zhì)上也是也町以看

40、成個外加脈沖力所引起的。 但從對方程的解得方法上，這種區(qū)分還是很有必要的。對于初始激勵卜的響應(yīng)，是求解系統(tǒng) 運動微分方程的通解，而對于強迫激勵卜的響應(yīng)，是求解系統(tǒng)運動微分方程的通解。初始激勵包括初始位移和初始速度。由于初始位移和速度的存在，系統(tǒng)分別具有初始勢 能和動能。對初始*件的響應(yīng)，我們稱之為自由振動，對于保守系統(tǒng)，該運動會一直保持下 去。對于非保守系統(tǒng)，由于阻尼的存在，系統(tǒng)能量得到持續(xù)減少，運動衰減，直至停止。在 實際工程中，所右的系統(tǒng)都是非保守系統(tǒng)，即使那些假設(shè)的保守系統(tǒng)。只不過該系統(tǒng)的能最 耗散很慢。因此，所右因為初始條件而引起的運動瑕終都會停止卜來。基于此，初始激勵引 起的響應(yīng)被稱

41、為瞬態(tài)響應(yīng)。和初始激勵相對應(yīng)的是強迫激勵。激勵力的變化可以是有規(guī)律的，如旋轉(zhuǎn)機械的夫衡引 起的離心激勵力，也可以無規(guī)律地運動，如凹凸不平的地面對汽車的激勵作用。激勵力人小 能夠在相等的時間間隔后重復(fù)的激勵，稱為周期激勵。周期激勵町用如卜關(guān)系式表示F(t) = F(t + nT) n =2, 3,(3-62)式(3-62)表明，經(jīng)過相同的時間r后，系統(tǒng)不斷重復(fù)過去的運動。式中的r稱為運動的周期。 例3-11圖3-29所示為一對心曲柄滑塊機構(gòu)，曲柄以角速度=100rad/s作等速回轉(zhuǎn) 運動。曲柄長度r = 50.8nnn ,質(zhì)心與其回轉(zhuǎn)中心A朿合。連桿長度1 = 203mm,連桿質(zhì)心 S?在較鏈B

42、、C的連線上，到較鏈的B的距離BS：= 50.8iiMn,連桿質(zhì)量叫=1.36kg，対其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣l：J2=0.0102kg.m.滑塊質(zhì)in = 0.907kg ,其質(zhì)心與餃鏈C重合.繪出擺動力隨曲柄位置角久變化的惜況。-1010000000-1010000尸陰000-yBXB0001Frbx000-101000FrbA = v000-10100Frcx00yB - ys2殆一 Xbys2 一 yc00Fr6J/0000-1000FrDy叫©00000-110LMd.0 如圖329b所示。根據(jù)受力圖建立其平衡方程(3-63)b(»)圖3-29曲柄連桿機構(gòu)及其受力分析解：繪

43、出各桿的受力圖,將曲柄的運動周期分成180等份，対每隔2。的180個離散位置分別求解方程，町得狡鏈在 轉(zhuǎn)速為時由于連桿的不平衡引起的對基礎(chǔ)的周期性的激勵力，結(jié)果如圖330所示。27#圖3-30曲柄連桿機構(gòu)因不平衡引起的周期性激勵力合力矩#簡諧激勵是放簡單的周期激勵，它足按時間的正弦或余弦函數(shù)規(guī)律變化的激勵，如圖 329所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為29#(3-64)x = A sin Qt + A cos cot = Asiii(<wt + 0式中：血為隕1頻率或角頻率，單位為弧度每秒：A為諧波激勵力幅度，0為相位.且分別 為(3-65)(3-66)a=Ja' + a；f舛aic tail

44、 A.和簡諧運動一樣，簡諧激勵也采用欠量表示和復(fù)數(shù)表示。機器中轉(zhuǎn)子質(zhì)心與旋轉(zhuǎn)中心不覓合（即偏心）引起的離心力，是機械設(shè)備中（如氣輪 機、鼓風(fēng)機和電動機等）坡陽見的諧波激勵源乙這種不平衡的任，丫致機器振動們超 差，引起軸承、聯(lián)軸器等部件過早損壞。如圖3-30所示為旋轉(zhuǎn)機械存在不平衡時系統(tǒng)力學(xué) 模型的簡圖。其中，機器的質(zhì)量為M ,轉(zhuǎn)子質(zhì)量為ill,偏心距為e,轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角速度為0。 不平衡激勵力為me co2 siiiwt <>對于這種只有單個不平衡質(zhì)量的旋轉(zhuǎn)機械，理論上可采用«5 ml 左2圖3-32旋轉(zhuǎn)機械不平衡激勵力圖3-31所示為一雙圓盤旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，在兩盤的匕、P,兩點上

45、有一質(zhì)量為m質(zhì)量塊.兩盤 的距離為L, Pt. P2兩點在弧度上相差180°。該系統(tǒng)引起的不平衡力為0,但會產(chǎn)生一個不 平力距，大小為meLsint o對于這類不平衡，只有采用動平衡才能進行平衡。#圖3-33人冇對稱質(zhì)獻的旋轉(zhuǎn)軸3.5工程復(fù)雜激勵源：非周期、隨機激勵現(xiàn)實系統(tǒng)中，大多數(shù)激勵力的大小和方向并不是周期性地隨時間變化。這種不隨時間周 期性變化的H其人小又是時間換數(shù)的激勵力稱為非周期激勵力。現(xiàn)實生活中最簡單的非周期 變化的激勵力是脈沖力。如圖3-34所示，非周期激勵力也稱為任意激勵力。一般情況卜， 非周期激勵力都町用一個時間的函數(shù)來表示。即使是如圖334所示的激勵力，也可以通過

46、 不同時刻的脈沖力組合來函數(shù)表示。圖3-34非周期激帥力非周期、周期和諧波這三類激勵町采用一個確定的時間函數(shù)來描述，對于這一類激 勵，我們稱之為確定性激勵。在自然界與工程中，存在一人類誘發(fā)機械或結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動的激 勵源，諸如不平整的路面、飛機噴氣噪聲、強風(fēng)中的湍流、湍流邊界層及地怠地而運動等。 這些激勵源貝有一個共同的特點是隨機性，即不能用確定性的時間函數(shù)與（或）空間坐標(biāo)的 函數(shù)描述它們，而只能用概率或統(tǒng)計的方法去描述它們。這類振源統(tǒng)稱為隨機激勵源。隨機 激勵力的人小雖然町以通過測量獲得，但不同時間測量的結(jié)果不同，其大小是不町預(yù)測的。 圖3-35所示為一隨機激勵力。圖3-34隨機激勵3.6利用MATLAB求解的例了例3-11利用MATLAB繪出下列函數(shù)：(El)x(t)= A »0 <t <rr以及它的傅里葉級數(shù)展開sinat + sinlai + -sin3at |