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文檔簡介

1、橢圓定理(又名:橢圓猜想)橢圓定理易亞蘇(關鍵詞:橢圓周長公式、橢圓周長定理、橢圓面積公式、橢圓面積定理等。 ) 圓完美的和諧,橢圓和諧的完美。一、橢圓第一定義橢圓第一定義:平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓,這兩個定點叫做橢圓的焦點, 兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。 橢圓第一定義的數學表達式: MF1+MF2=2a>F1F2(由于網上發(fā)文的遺憾,公式和符號略有缺陷,相信您能夠看懂。 )M為動點,F1、F2為定點,a為常數。在橢圓中,用a表示長半軸的長,b表示短半軸的長,且 a>b>0;2c 表示焦距。二、橢圓定理(一)橢圓定理I (

2、橢圓焦距定理)橢圓定理I:任意同心圓,小圓任意切線與大圓形成的弦等于以大圓半徑為長半軸長、小圓半徑為短半軸長的橢圓焦距。該橢圓中心在同心圓圓心,焦點在圓心以焦距一半為半徑的圓上。附圖:橢圓的奧秘圖解之一(焦距定理) (略)(二)橢圓定理n (橢圓第一常數定理)定義1: K1=2/(乃2), K1為橢圓第一常數。定義 2: f=b/a, f 為橢圓向心率( a>b>0) 。定義 3: T=K1+f , T 為橢圓周率。K1 的數值加上橢圓向心率f 的數值等橢圓定理H:橢圓是同心圓依照勾股定理和諧組合,橢圓第一常數于橢圓周率T 的數值。(三)橢圓定理出(橢圓第三常數定理) 橢圓具有三特

3、性,也稱橢圓三態(tài)。b 為半徑的圓內; b 為半徑的圓上; b 為半徑的圓外。表示,稱為橢圓單位。根據橢圓第一定義,a2=b2+c2,1、當橢圓b>c時,橢圓為向外膨脹型,其焦點在以2、當橢圓b=c時,橢圓為相對穩(wěn)定型,其焦點在以3、當橢圓b<c時,橢圓為向內收縮型,其焦點在以定義:任意橢圓長半軸的長a 為該橢圓單位,用且 a>b>0 ,則有 : b2+c2=1 (橢圓單位) 當b=c時,2b2=1 (橢圓單位),b=根號1/2 (橢圓單位)。定義: K3= 根號 1/2 , K3 為橢圓第三常數。橢圓定理出:橢圓第三常數K3與橢圓單位決定橢圓特性。當橢圓 b>c時

4、,橢圓向心率(f)大于橢圓第三常數(K3),橢圓離心率(e)小于橢圓第三常數(K3),橢圓為向外膨脹型;當橢圓 b=c時,橢圓向心率 (f)和橢圓離心率(e)都等于橢圓第三常數(K3),橢圓為相對穩(wěn)定型;當橢圓 b<c時,橢圓離心率(e)大于橢圓第三常數(K3),橢圓向心率(f)小于橢圓第三常數(K3),橢圓為向內收縮型。三、橢圓周長、面積計算公式和定理(一)橢圓周長計算公式橢圓周長公式:L=2兀b+4(ab)2兀»加上四倍的該橢圓長半軸長( a)橢圓周長定理:橢圓的周長等于該橢圓短半軸長為半徑的圓周長(與短半軸長(b)的差。(二)橢圓面積計算公式橢圓面積公式:S=7t ab橢

5、圓面積定理:橢圓的面積等于圓周率( 兀)乘該橢圓長半軸長(a)與短半軸長(b)的乘積。以上橢圓周長、面積公式中雖然沒有出現橢圓周率T ,但這兩個公式都是通過橢圓周率 T 推導演變而來。常數為體,公式為用。圓是同心圓依照勾股定理和諧組合。橢圓中有常數K1 和 K2 ,橢圓的常數與橢圓周長、面積計算公式,一個為體,一個為用。一、橢圓周長、面積計算公式根據橢圓第一定義,用 a 表示橢圓長半軸的長, b 表示橢圓短半軸的長,且a>b>0 。橢圓周長公式:L=2兀b+4(a-b)橢圓周長定理:橢圓的周長等于該橢圓短半軸長為半徑的圓周長(2兀加上四倍的該橢圓長半軸長(a)與短半軸長(b)的差。

6、橢圓面積公式:S=7t ab橢圓面積定理:橢圓的面積等于圓周率( 兀)乘該橢圓長半軸長(a)與短半軸長(b)的乘積。二、橢圓常數由來及周長、面積公式推導過程(一)發(fā)現橢圓常數常數在于探索和發(fā)現。橢圓三要素:焦距的一半( c),長半軸的長(a)和短半軸的長(b)。橢圓三要素確定任意兩項就確定橢圓。橢圓三要素其中兩項的某種數學關系決定橢圓周長和面積。橢圓的周長取值范圍:4a<L<2Tta(1)橢圓周長猜想:L=(2兀-4a)T(2)T 是猜想的橢圓周率。將( 1 )等式與(2)等式合并,得:4a<(2 兀-4a)T<2 皿(3)根據不等式基本性質,將不等式(3)同除(2兀-

7、4a),有:4a/(2 憑4a) <T<2 兀 a /(2-4a) a(4)簡化表達式( 4) :2/( -2)<T< 兀 /(-2)定義:K1=2/(乃2); K2=tt /( -2)計算 K1 、 K2 的值會發(fā)現K1 、 K2 是兩個非常奇特的數:K1 =1.75193839388411 K2 = 2.75193839388411 橢圓第二常數: K2=K1+1橢圓常數的發(fā)現過程描述簡單,得來卻要復雜得多。(二)橢圓周長公式推導長期以來我們只用橢圓離心率e=c/a 來描述橢圓, 卻忽視了橢圓 a 與 b 的關系。 定義: 橢圓向心率為 f , f=b/a 。根據橢

8、圓第一定義,橢圓向心率f ,有 0<f<1 的范圍。K1+f<K2 的數學關系正是橢圓周長計算時存在的數學關系。定義: T=K1+f ,將此等式代入等式( 2 )則有:L=(2 兀-4a)T=2( -2)a(K1+f)=2(憑2)a(2/( -2)+b/a)=2兀 b+-ba橢圓周長計算公式:L=2兀b+4(a-b)(三)橢圓面積公式推導橢圓面積的取值范圍:0<S<ti a2(5)(由于網上發(fā)文的遺憾,公式和符號略有缺陷,相信您能夠看懂。如:上式中兀a劾兀乘a的二次方。)橢圓面積猜想:Sf a2T(6)T 是猜想的橢圓面積率。將( 5 )等式與( 6)等式合并,得

9、:0< % a2T< % a2(7)根據不等式基本性質,將不等式(7)同除兀a2則有:0<T<1??傻茫篠=Tt a2T=a2(K+f)(8)在等式(8)中K=0 , f=b/a ,代入等式中:S= tt a2b/a= 兀 ab橢圓面積計算公式:S=tt ab關于橢圓定理中的 T=k1+f 問題易亞蘇橢圓定理一文中有: 定義1: K1=2/( tt-2), K1為橢圓第一常數。 定義2: f=b/a, f為橢圓向心率(a>b>0)。定義 3: T=K1+f , T 為橢圓周率”。有聰明的網友提出 “定義: T=k1+f 沒有依據 ” ,現就此問題作出如下分析

10、說明。(1)在橢圓常數K1 、 K2 的由來與周長、面積公式推導中,有 “T 是猜想的橢圓周率” ,并 “定義:T=K1+f”(橢圓定理中也有此定義,見上) 。 橢圓常數 K1 、 K2 的由來與周長、面積公式推導中還有表達式:2/( -2)<T< % /( -2)。定義:K1=2/(兀-2); K2=tt /( -2)。這樣定義理當無可非議。那么, K1<T<K2 ,因為 k2=k1 1,也可以說 T 是 k1 到 k1+1 之間的數,數學表達式為: k1<T<k1+1 。對于具體橢圓而言 k1<T<k1+f , f 為橢圓向心率, f=b/a

11、 , 0<f<1 。 (a>b>0) (參見橢圓定理 )。因為 0<f<1 ,所以 k1<T<k1+1 與 T=K1+f 有同樣的代數內含。所謂“同樣的代數內含”是思維數學。由橢圓定義,a>b>0,因為f=b/a,即0<f<1。當b接近0時,橢圓接近雙直線,其長度近似于 4a;當b接近a 時,橢圓接近圓,其周長近似于2兀小當b在。與a之間變化時,形狀為橢圓,其周長為L=2兀b+4b)。以下作簡要分析,如果把橢圓的a作為橢圓單位,那么f=B(橢圓單位),B = b/a (橢圓單位),其中0<B<1 ,也即 0&l

12、t;f<1。T=k1+f , k1<T<k1+1 或 k1<T<k2 ,即是 2/( -2)<T< 兀/( -2)。注: 橢圓單位的概念很重要, 切記并體會其內含! 在橢圓定理 短文中首次提出了 “橢圓單位 ”的概念, “定 義:任意橢圓長半軸的長a 為該橢圓單位,用 A 表示,稱為橢圓單位” 。其實 T=k1+f 的定義既是從橢圓中的代數內含關系推理而來,也是基于 “橢圓單位” 的思考而來。(2)研究橢圓時筆者發(fā)現了 K1 、 K2 兩個非常奇特的數:K1 =1.75193839388411 K2 =2.75193839388411 這兩個奇特的數里

13、包含了怎兀是圓周率,f=b/a是0至ij 1之間的小數,那么對于橢圓來說T=k1+f是一個也包含了兀的特定數,所以定義T為橢圓周率"。橢圓周率與圓周率不同,圓周率是固定的值兀,橢圓周率是變化的值T=k1+f , 它隨橢圓 b 與 a 的比值變化而變化。 從某種意義上說圓是橢圓的范圍, 由于橢圓定義了 a>b>0 ,所以只能稱 “圓是橢圓的范圍 ” ,而不能稱圓是特殊的橢圓。但是在研究橢圓時以橢圓 a 為半 徑的圓起到了很好的參考,所以筆者在橢圓定理中對圓和橢圓這兩種幾何圖形,只能發(fā)出 “圓完美的 和諧,橢圓和諧的完美”這樣的感嘆。(3)筆者認為任何科學研究的方法都基于:

14、1 、發(fā)現特殊現象; 2 、提出假設或猜想; 3 、利用假設或猜想做出結論;4 、對結論進行檢驗。橢圓定理就是基于這四點寫出的短文。筆者認為論文不在長短,而在其價值。當今的橢圓理論是不完整的(比如只有近似的橢圓周長計算公式,缺少標準的橢圓周長計算公式)那么 “橢圓理論 ” 的依據還需要靠發(fā)現來完善。任何科學的原始依據從哪里來?從發(fā)現來。對特殊現象的發(fā)現加以總結,通過檢驗就可以成為理論;理論升華就是科學,科學也是理論依據的源泉。(4)橢圓周長無疑在 4a<L<2Tta范圍變化,并與f=b/a值存在某種對應的關系,其核心就是T=k1+f。橢圓里的B(B = b/a橢圓單位)從0到1的平

15、滑變化,必然導致其橢圓周長的平滑變化。橢圓是平滑的閉合曲線,其周長與 f=b/a 的變化有著必然的對應變化數學關系。 所以筆者在 橢圓定理 中要定義 f 為橢圓向心率, f=b/a , (a>b>0)。如果引用橢圓單位,則4VL<2兀(橢圓單位)。在橢圓定理短文中有 “后附橢圓的奧秘橢圓周長、面積驗算公式表” ,可惜網上尚未能表示出“驗算公式表”,相信您用Excel可以很容易作出驗算公式表”,并可以對橢圓周長計算公式L=2兀b+4(a-b)進行序列的直觀檢驗。橢圓周長計算公式L=2兀b+4(ab)中雖然沒有出現橢圓周率T,但這個公式是通過橢圓周率T 推導演變而來。常數為體,公

16、式為用。(5)當今尚無標準的橢圓周長計算公式是基礎科學中的遺憾之一,現在科學中所使用的橢圓周長都是近似值,這也是科學的遺憾之一,所以研究橢圓周長計算公式是十分有意義的。筆者認為一個公式的對與錯,既有意義也沒有意義,因為科學是發(fā)展的,科學是循序漸進的過程??茖W探索的過程是寂寞而愉快的,但我們要認識到今天的正確不代表明天的正確,如果沒有這樣的觀念,科學也就難于進步。 10 的負 50 次方對古人而言除了代表0 沒有其他的意義,然而10 的負 50 次方對現代人而言可以代表0 ,也可以不代表0 。隨著科學技術的提高, 10 的負 N 次方的意義也在發(fā)生變化。宇宙之浩大,用橢圓周長的近似公式去研究宇宙

17、,今天不出問題,明天必定要出大問題。人類對宇宙的認識從神話到科學、從主觀到客觀是不以個人的意志為轉移的,科學發(fā)展到今天,我們更要具有科學發(fā)展觀。®:A=3LRr=/4XBXd橢圓周長:工=況面積3:2棄期,乂如楠圓林體積:甘=4/3abc。任一部分橢圓面積2= 一口描畫方程:一T十r- = 1 =' y橢圓周長精確周長£ =4aE(ei -) =4a卜J1 一靖乳口卜,康2_其中:£為橢圓的離心率,居=止a為第二類究金橢圓積分,近似周長L 0兀,5(0+ &)-、石可(一)橢圓周長計算公式橢圓周長公式:L=2兀b+4(ab)2兀D加上四橢圓周長定理

18、:橢圓的周長等于該橢圓短半軸長為半徑的圓周長( 倍的該橢圓長半軸長(a)與短半軸長(b)的差。(二)橢圓面積計算公式橢圓面積公式:S=x ab橢圓面積定理:橢圓的面積等于圓周率(另乘該橢圓長半軸長(a)與短半軸長(b)的乘積。以上橢圓周長、面積公式中雖然沒有出現橢圓周率 但這兩個公式都是通過橢 圓周率T推導演變而來。常數為體,公式為用。近似 L=,(4ab 兀八2+15b2)(1+MN) ( M=4/Vl-5 、N=(a-b)/a)A9 )近似 L=兀 Q(1+3h/(10+ v34)(1+MN) ( Q=a+b、H=(a-b)/(a+b)A2、M=22/7 甜、 M=(a-b)/a)A33.

19、697、)標準 L = Q兀(1+衿2/4+八八4/4八3+八八6/4八4+5A2*八8/4八7+7A2*八10/4八8)(h = (a-b)/(a+b), Q=a+b,)幾何圖形及計算公式查詢11平面圖形名稱符號周長C和面積S止方形C= 4aa一邊長-2S= a長方形a和b-邊長C= 2(a+b)S= ab1a,b,c 三邊長h a邊上的高S= ah/2s一周長的T= ab/2 - sinC-用形A,B,C 內角=s(s-a)(s-b)(s-c)1/2其中s =(a+b+c)/2=a2sinBsinC/(2sinA)四邊形d,D 對角線長S= dD/2 sin aa 對角線夾角平行四邊a,b

20、 一邊長S= ah形h a邊的局=absin aa 兩邊夾角1菱形a 一邊長“一夾角S= Dd/2D長對角線長=a?sin ad短對角線長a和b上、卜底梯形長h高S= (a+b)h/2 =mhmi中位線長圓r 半徑 d直徑C=兀 d= 2 71rS=兀 r2=兀 d2/4扇形r一扇形半徑C= 2r + 2 71rx (a/360)a一圓心角度數S=兀 r2 x (a/360)l 弧長一2 一,b 弦長 h矢高 r 半徑S= r /2 (兀 a /180-sina )=r arccos(r-h)/r - (r-h)(2rh-h)弓形=兀 a r /360 -b/2 -=r(l-b)/2 + bh/2r 2-(b/2) 21/2“一

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