自動控制原理習(xí)題詳解2

1、自動控制原理習(xí)題詳解（下冊）配合自動控制原理夏超英主編，科學(xué)出版社。第六章 習(xí)題解答6-1證明無源超前校正環(huán)節(jié)最大超前相角為采用半對數(shù)坐標(biāo)時最大超前相角所對應(yīng)的頻率位于兩個轉(zhuǎn)折頻率的中間或等于零、極點乘積的平方根，即解：無源超前校正環(huán)節(jié)的頻率特性為相頻特性為根據(jù)三角函數(shù)的基本公式有從推出即得極值的必要條件證畢。6-2某單位反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計指標(biāo)為調(diào)節(jié)時間秒，超調(diào)量，斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。（a）試問系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的低頻段需要滿足什么要求？中頻段需要滿足什么要求？（b）在平面內(nèi)繪制出能滿足設(shè)計要求的系統(tǒng)主導(dǎo)極點所在的區(qū)域。解：（a）從靜態(tài)特性考慮，斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差，要求開環(huán)傳遞函數(shù)至少有1個

2、積分環(huán)節(jié)，速度誤差系數(shù)，即開環(huán)頻率特性的低頻段的斜率為，在低頻段特性或它的延長線上，或者開環(huán)傳遞函數(shù)至少有2個積分環(huán)節(jié)，開環(huán)頻率特性的低頻段的斜率為。從動態(tài)特性考慮，系統(tǒng)中頻段特性斜率為且占據(jù)一定的中頻寬度，調(diào)節(jié)時間秒，超調(diào)量，要求， ，取，則，轉(zhuǎn)換成對中頻段特性對幅值穿越頻率和相角裕度的要求為（b）在平面內(nèi)繪制出滿足設(shè)計要求的系統(tǒng)主導(dǎo)極點的區(qū)域如下圖所示。6-3某系統(tǒng)如圖6.53所示。圖6.53 習(xí)題6-3圖（a）要求系統(tǒng)對單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差，主導(dǎo)極點的阻尼比，調(diào)節(jié)時間秒（按誤差考慮），請在平面上繪制出滿足上述設(shè)計要求的閉環(huán)極點的可行區(qū)域，給出、應(yīng)滿足的條件。（b）設(shè)、，繪制三種情況下以

3、為可變參數(shù)的根軌跡。（c）設(shè)，確定滿足（a）中性能指標(biāo)時的取值。解：（a）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)，。主導(dǎo)極點的阻尼比，調(diào)節(jié)時間秒即，平面上滿足上述設(shè)計要求的閉環(huán)極點的可行區(qū)域如下圖所示。按題意要求得、應(yīng)滿足的條件為（b）時系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為繪制根軌跡的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為根軌跡在負(fù)實軸上，起始于開環(huán)極點，1條沿負(fù)實軸終止于開環(huán)零點，1條沿負(fù)實軸終止于，如下圖所示。時系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為繪制根軌跡的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為根軌跡起始于開環(huán)極點，1條終止于開環(huán)零點，1條沿負(fù)實軸終止于，整個負(fù)實軸都是根軌跡區(qū)段，根軌跡的復(fù)平面部分為半徑等于圓心在原點的圓的一部分。如下圖所示。時系統(tǒng)的閉環(huán)特

4、征方程為繪制根軌跡的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為根軌跡起始于開環(huán)極點，1條終止于開環(huán)零點，1條沿負(fù)實軸終止于，整個負(fù)實軸都是根軌跡區(qū)段，根軌跡的復(fù)平面部分為半徑等于圓心在原點的圓的一部分。如下圖所示。（c）設(shè)，代入（a）中得到的條件有得滿足（a）中性能指標(biāo)時的取值范圍為。6-4控制系統(tǒng)如圖6.54所示，圖中為參考輸入，為控制電壓，電容器上的電壓為輸出。圖6.54 習(xí)題6-4圖（a）求被控對象到輸出之間的傳遞函數(shù)。（b）選取四種調(diào)節(jié)器（）、（）、（）、（）之一，使成為系統(tǒng)閉環(huán)的一對共軛復(fù)數(shù)極點，畫出變化時系統(tǒng)閉環(huán)的根軌跡，求出取得上述閉環(huán)極點時的取值。解：（a）被控對象到輸出之間的傳遞函數(shù)為（b）采用比例

5、調(diào)節(jié)器時，系統(tǒng)的根軌跡1條從開環(huán)極點出發(fā)垂直向上，1條從開環(huán)極點出發(fā)垂直向下，不會通過點，所以不被采用。采用積分調(diào)節(jié)器或比例積分調(diào)節(jié)器時，除去負(fù)實軸上由原點極點出發(fā)的根軌跡外，從和出發(fā)的根軌跡都會向右偏，也不會通過點，所以也不被采用。所以，只能采用調(diào)節(jié)器，這時系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為令成為閉環(huán)根，則有比較系數(shù)有將代入前面的方程得到即。6-5圖6.55所示為鐘擺的角度控制系統(tǒng)，其中被控對象為阻尼為零的二階系統(tǒng)。圖6.55 習(xí)題6-5圖（a）試問控制器必須滿足什么條件，才能使系統(tǒng)為非條件穩(wěn)定系統(tǒng)？（b）選用常規(guī)調(diào)節(jié)器，使得系統(tǒng)對階躍擾動輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，此時系統(tǒng)還可以做到非條件穩(wěn)定嗎？（c）選用控制

6、器應(yīng)用根軌跡方法分析、和發(fā)生變化時對系統(tǒng)快速性、穩(wěn)定性的影響。答：（a）校正前系統(tǒng)的根軌跡從開環(huán)極點出發(fā)，分別沿正虛周軸或負(fù)虛軸趨于無窮。因此要使得系統(tǒng)的根軌跡在一開始就偏向左側(cè)，只能使用超前校正裝置。（c）要使得系統(tǒng)對階躍擾動輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，必須在校正裝置中引入積分作用，可供選擇的調(diào)節(jié)器有積分調(diào)節(jié)器、比例+積分調(diào)節(jié)器、以及比例+積分+微分調(diào)節(jié)器，然而這些調(diào)節(jié)器在低頻段都提供滯后的相角，這將導(dǎo)致系統(tǒng)是條件穩(wěn)定的，即選用常規(guī)調(diào)節(jié)器無法做到使系統(tǒng)是非條件穩(wěn)定的。（c）選用比例+積分+微分調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)所以速度輸入下的穩(wěn)態(tài)控制精度由決定。積分時間常數(shù)為無窮大時（即沒

7、有積分項）系統(tǒng)的特征方程為對于任意和系統(tǒng)都是穩(wěn)定的，所以增大比例系數(shù)將提高系統(tǒng)的快速性，增大微分系數(shù)將增加系統(tǒng)的阻尼，提高穩(wěn)定性。有積分作用時，系統(tǒng)的特征方程為對于給定的和，從變化時繪制根軌跡的等價開環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)時，有兩個實根以，為例，從變化時的根軌跡如下圖所示，積分作用越強(qiáng)（積分時間常數(shù)越?。?，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性越不利。當(dāng)時，有一對共軛復(fù)根共軛復(fù)根的實部為。以，為例，從變化時的根軌跡如下圖所示。容易看出，增大時系統(tǒng)的快速性變好，但穩(wěn)定性變差；相反，增大時系統(tǒng)的穩(wěn)定性變好，快速性變差；積分作用增強(qiáng)時（積分時間常數(shù)變小時），對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)控制精度有利，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利。6-6力、轉(zhuǎn)矩的積分為速度、

8、轉(zhuǎn)速，速度、轉(zhuǎn)速的積分為位置、轉(zhuǎn)角，許多重要的運(yùn)動控制系統(tǒng)的被控對象可以描述為二重積分器傳遞函數(shù)，即用根軌跡法分析比例控制、比例微分控制和超前校正、幾種情況下閉環(huán)根軌跡的情況和閉環(huán)系統(tǒng)的性能。解：采用比例控制時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的根軌跡從出發(fā)，1條沿正虛軸趨向無窮遠(yuǎn)，1條沿負(fù)虛軸趨向無窮遠(yuǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。 采用比例微分控制時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的根軌跡從出發(fā)，1趨于開環(huán)零點，1條沿負(fù)實軸趨向無窮遠(yuǎn)，根軌跡的復(fù)平面部分為半徑為1，以開環(huán)零點為圓心的圓。如下圖所示。取不同值時，閉環(huán)極點為一對穩(wěn)定的共軛復(fù)根，或一對穩(wěn)定的實根，閉環(huán)零點等于開環(huán)零點，閉環(huán)系統(tǒng)的性能由閉環(huán)極點和零點

9、決定。選用超前校正時的根軌跡如下圖所示。選用超前校正時的根軌跡如下圖所示。選用超前校正時的根軌跡如下圖所示。可以看出，隨校正裝置超前作用的變?nèi)酰到y(tǒng)的根軌跡向右移動，實軸上的分離點由2個變?yōu)?個，再變?yōu)闆]有分離點，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。6-7在運(yùn)動控制系統(tǒng)中，二重積分的被控對象假設(shè)它為剛體且無摩擦，因而是最簡單的模型。在要求比較高的場合，例如在衛(wèi)星的姿態(tài)控制系統(tǒng)中，需要考慮太陽能板的柔性，在磁盤的讀寫機(jī)構(gòu)中，需要考慮支撐臂和讀寫頭的柔性等。在這些情況下，被控對象在二重積分的基礎(chǔ)上要增加一對復(fù)數(shù)極點和距離復(fù)數(shù)極點很近且自然振蕩頻率略低于復(fù)數(shù)極點的一對復(fù)數(shù)零點，這些復(fù)數(shù)零、極點的阻尼比一般都很低。

10、下面是某一衛(wèi)星控制系統(tǒng)被控對象的傳遞函數(shù)設(shè)超前校正裝置的傳遞函數(shù)為試用根軌跡法對變化時系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性進(jìn)行分析。解：校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為從變化時的根軌跡繪制如下。系統(tǒng)共有5條根軌跡，分別起始于開環(huán)極點，其中3條終止于開環(huán)零點，2條終止于無窮遠(yuǎn)處。終止于無窮遠(yuǎn)處的根軌跡的漸近線與正實軸的夾角和交點為實軸上的根軌跡區(qū)段為。開環(huán)被控對象的共軛極點靠近共軛零點，它們之間有兩條根軌跡。從開環(huán)極點出發(fā)的根軌跡的出射角為同理得從開環(huán)極點出發(fā)的根軌跡的出射角為即從開環(huán)極點出發(fā)終止于開環(huán)零點的根軌跡位于開環(huán)零點和開環(huán)極點的左側(cè)，從開環(huán)極點出發(fā)終止于開環(huán)零點的根軌跡位于開環(huán)零點和開環(huán)極點的左側(cè)。被控對

11、象的共軛極點和共軛零點靠的很近，且遠(yuǎn)離實軸上的分離點，忽略它們的影響，近似求得實軸上的分離點坐標(biāo)滿足即得分離點坐標(biāo)。分離點對應(yīng)的根軌跡增益為分離點對應(yīng)的根軌跡增益為根軌跡如下圖所示。閉環(huán)系統(tǒng)的一對共軛復(fù)根位于開環(huán)共軛零點附件，形成閉環(huán)偶極子，對系統(tǒng)閉環(huán)性能影響不大。根軌跡增益時，還有一閉環(huán)實根位于開環(huán)零點附件，形成閉環(huán)偶極子，對系統(tǒng)閉環(huán)性能影響也不大。根軌跡增益時，系統(tǒng)的閉環(huán)性能主要由分離點出來的兩條根軌跡上的閉環(huán)根決定。6-8某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)其動態(tài)性能已經(jīng)滿足要求，但速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差過大。試用根軌跡法和頻率特性法設(shè)計校正裝置，使系統(tǒng)的速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)，并對兩種設(shè)計方法

12、得到的結(jié)果進(jìn)行比較。解：因系統(tǒng)動態(tài)性能已經(jīng)滿足要求，但穩(wěn)態(tài)誤差大，故選用滯后校正。用根軌跡法設(shè)計滯后校正裝置的參數(shù)。校正前系統(tǒng)的特征方程為用試探法得到它的一個實根為，用綜合除法降階得到另外兩個根為，閉環(huán)傳遞函數(shù)沒有零點，顯然是系統(tǒng)的主導(dǎo)極點。校正前系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)，按設(shè)計要求應(yīng)提高倍。為此，取校正裝置傳遞函數(shù)的參數(shù)，同時將校正裝置的極點配置在原點附近的負(fù)實軸上，取，得校正裝置的傳遞函數(shù)為校正裝置在主導(dǎo)極點處引入的相角為滿足設(shè)計要求。加入滯后校正裝置后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的根軌跡增益維持不變，這樣有，即。最終得滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為用頻率特性法設(shè)計滯后校正裝置的參數(shù)。為此，繪制校正

13、前系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的伯德圖如下圖中的、所示。從伯德圖看出校正前幅值交接頻率，相角裕度，它已經(jīng)滿足系統(tǒng)動態(tài)特性的要求。為將系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)提高倍，取滯后校正裝置中的，后一個轉(zhuǎn)折頻率，于是前一個轉(zhuǎn)折頻率。這樣，加入滯后校正裝置后，系統(tǒng)中頻段以及高頻段特性和校正前基本一樣，維持原動態(tài)特性基本不變。容易看出，根軌跡法和頻率特性法設(shè)計的結(jié)果是相似的。6-9設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試設(shè)計串聯(lián)超前校正裝置的參數(shù)，使系統(tǒng)在單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差，相角裕度，幅值交接頻率。解：取，繪制系統(tǒng)校正前的伯德圖如下圖所示。采用超前校正裝置預(yù)選校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率，從校正前系統(tǒng)的伯德圖中得到，得超前校正裝置的參

14、數(shù)為超前校正裝置的傳遞函數(shù)為驗算校正后系統(tǒng)的相角裕度為滿足設(shè)計要求。6-10某單位反饋火炮指揮儀伺服系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為若要求系統(tǒng)最大輸出轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)/分，輸出位置的容許誤差小于。（a）確定滿足上述系統(tǒng)指標(biāo)的最小值，計算值下系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。（b）在前向通路中串接超前校正裝置計算校正后系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度，說明超前校正對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。解：（a）最大輸出轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)/分，即，即得斜坡輸入為，校正前系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)為按題意要求，所以靜態(tài)指標(biāo)要求的最小值為。取，繪制系統(tǒng)校正前的伯德圖如下圖所示。從伯德圖看出，系統(tǒng)的幅值穿越頻率，相角裕度，幅值裕度。（b）加入串接超前校正裝置后系統(tǒng)的開環(huán)傳

15、遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)校正后的伯德圖如下圖所示。從伯德圖看出，校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率，相角裕度，幅值裕度，與校正前相比快速性和穩(wěn)定性都得到了明顯改善。6-11某溫度控制系統(tǒng)被控對象的傳遞函數(shù)為（a）試決定的取值和滯后校正裝置的參數(shù)，使系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)，相角裕度。（b）試決定的取值和超前校正裝置的參數(shù)滿足與（a）中同樣的性能指標(biāo)。（c）比較（a）、（b）所得系統(tǒng)的閉環(huán)動特性和靜特性。解：（a）根據(jù)題意，取，繪制系統(tǒng)的伯德圖如下圖所示?？紤]的設(shè)計裕量，從校正前系統(tǒng)的伯德圖有時，。設(shè)校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率，滯后校正裝置的后一個轉(zhuǎn)折頻率，得滯后校正裝置的參數(shù)，滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的伯德圖

16、如下圖所示。從校正后系統(tǒng)的伯德圖看出校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率，相角裕度，滿足設(shè)計要求。（b）同樣取，設(shè)計超前校正裝置的參數(shù)。預(yù)選校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率，從校正前系統(tǒng)的伯德圖中得到，得超前校正裝置的參數(shù)為超前校正裝置的傳遞函數(shù)為驗算校正后系統(tǒng)的相角裕度為不滿足設(shè)計要求。進(jìn)一步取，從校正前系統(tǒng)的伯德圖中得到，得超前校正裝置的參數(shù)為超前校正裝置的傳遞函數(shù)為驗算校正后系統(tǒng)的相角裕度為滿足設(shè)計要求。（c）兩種校正方案系統(tǒng)的靜態(tài)特性相同，穩(wěn)定性相近，但滯后校正系統(tǒng)的快速性較校正前降低，超前校正后系統(tǒng)的快速性較校正前提高。6-12某伺服系統(tǒng)被控對象的傳遞函數(shù)為（a）試決定的取值和無源滯后校正裝置的參數(shù)，使

17、系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)，相角裕度。（b）試問選用一階無源超前校正網(wǎng)絡(luò)是否可以達(dá)到與（a）同樣的設(shè)計指標(biāo)？解：（a）根據(jù)題意，取，繪制系統(tǒng)的伯德圖如下圖所示?？紤]的設(shè)計裕量，從校正前系統(tǒng)的伯德圖有時，。設(shè)校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率，滯后校正裝置的后一個轉(zhuǎn)折頻率，得滯后校正裝置的參數(shù)，滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的伯德圖如下圖所示。從校正后系統(tǒng)的伯德圖看出校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率，相角裕度，滿足設(shè)計要求。（b）同樣取，設(shè)計超前校正裝置的參數(shù)。預(yù)選校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率，從校正前系統(tǒng)的伯德圖中得到，得超前校正裝置的參數(shù)為超前校正裝置的傳遞函數(shù)為驗算校正后系統(tǒng)的相角裕度為不滿足設(shè)計要求。進(jìn)一步取，從

18、校正前系統(tǒng)的伯德圖中得到，得超前校正裝置的參數(shù)為超前校正裝置的傳遞函數(shù)為驗算校正后系統(tǒng)的相角裕度為仍不滿足設(shè)計要求。因為此時已經(jīng)很大，故使用超前校正無法滿足設(shè)計要求。6-13設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（a）若要求校正后系統(tǒng)的相角裕度，幅值裕度為，速度誤差系數(shù)，試設(shè)計串聯(lián)超前校正裝置；（b）若要求校正后系統(tǒng)的相角裕度為，幅值裕度，速度誤差系數(shù)，試設(shè)計串聯(lián)滯后校正裝置。解：（a）取，繪制校正前系統(tǒng)的伯德圖如下圖所示。從伯德圖得，。選取校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率，從校正前系統(tǒng)的伯德圖中得到，得超前校正裝置的參數(shù)為超前校正裝置的傳遞函數(shù)為驗算校正后系統(tǒng)的相角裕度為不滿足設(shè)計要求。進(jìn)一步取，從校正前系

19、統(tǒng)的伯德圖中得到，得超前校正裝置的參數(shù)為超前校正裝置的傳遞函數(shù)為驗算校正后系統(tǒng)的相角裕度為驗算校正后系統(tǒng)的幅值裕度，為此繪制系統(tǒng)校正后的伯德圖如下圖所示。從伯德圖得相角穿越頻率，故滿足設(shè)計要求。（b）取，繪制校正前系統(tǒng)的伯德圖如下圖所示?？紤]的設(shè)計裕量，從校正前系統(tǒng)的伯德圖有時，。設(shè)校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率，滯后校正裝置的后一個轉(zhuǎn)折頻率，得滯后校正裝置的參數(shù)，滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的伯德圖如下圖所示。從校正后系統(tǒng)的伯德圖看出校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率，相角裕度，相角穿越頻率，幅值裕度，滿足設(shè)計要求。6-14某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（a）試設(shè)計串聯(lián)滯后校正裝置的參數(shù)和系統(tǒng)的可調(diào)增

20、益，使系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)，相角裕度。（b）試設(shè)計串聯(lián)超前校正裝置的參數(shù)和系統(tǒng)的可調(diào)增益，滿足與（a）中相同的性能指標(biāo)。（c）比較校正后兩系統(tǒng)的性能。解：（a）根據(jù)靜態(tài)設(shè)計要求取，繪制校正前系統(tǒng)的伯德圖如下圖所示?？紤]的設(shè)計裕量，從校正前系統(tǒng)的伯德圖有時，。設(shè)校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率，滯后校正裝置的后一個轉(zhuǎn)折頻率，得滯后校正裝置的參數(shù)，滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的伯德圖如下圖所示。從校正后系統(tǒng)的伯德圖看出校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率，相角裕度，滿足設(shè)計要求。（b）仍取，設(shè)計超前校正裝置的參數(shù)。預(yù)選校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率，從校正前系統(tǒng)的伯德圖中得到，得超前校正裝置的參數(shù)為超前校正裝置的傳遞函

21、數(shù)為驗算校正后系統(tǒng)的相角裕度為不滿足設(shè)計要求。進(jìn)一步取，從校正前系統(tǒng)的伯德圖中得到，得超前校正裝置的參數(shù)為超前校正裝置的傳遞函數(shù)為驗算校正后系統(tǒng)的相角裕度為滿足設(shè)計要求。（c）兩種校正方案系統(tǒng)的靜態(tài)特性相同，穩(wěn)定性相近，但滯后校正系統(tǒng)的快速性較校正前降低，超前校正后系統(tǒng)的快速性較校正前提高。6-15已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用頻率特性法決定校正裝置，保持系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)控制精度不變，相角裕度，幅值交接頻率。解：繪制校正前系統(tǒng)的伯德圖如下圖所示。從伯德圖看出，校正前系統(tǒng)的幅值穿越頻率，相角裕度，屬于快速性和穩(wěn)定性都不足的情況，故應(yīng)選取超前校正。預(yù)選校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率，從校正前系統(tǒng)的伯德圖

22、中得到，得超前校正裝置的參數(shù)為超前校正裝置的傳遞函數(shù)為驗算校正后系統(tǒng)的相角裕度為不滿足設(shè)計要求。進(jìn)一步取，從校正前系統(tǒng)的伯德圖中得到，得超前校正裝置的參數(shù)為超前校正裝置的傳遞函數(shù)為驗算校正后系統(tǒng)的相角裕度為滿足設(shè)計要求。6-16已知單位反饋控制系統(tǒng)的對象和校正裝置都是最小相位環(huán)節(jié)，對數(shù)幅頻特性曲線分別如圖6.56中的和所示。（a）寫出校正后各系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。（b）分析各校正裝置對系統(tǒng)的校正作用，并比較其優(yōu)缺點。（a） （b）（c）圖6.56 習(xí)題6-16圖解：（a）圖（a）所示系統(tǒng)校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為圖（b）所示系統(tǒng)校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為圖（c）所示系統(tǒng)校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為（b）圖（a

23、）所示校正裝置是滯后校正，校正后系統(tǒng)的靜態(tài)特性不變，穩(wěn)定性提高，快速性降低，抗干擾性能提高。圖（b）所示校正裝置是超前校正，校正后系統(tǒng)的靜態(tài)特性不變，穩(wěn)定性和快速性都有所提高，抗干擾性能降低。圖（c）所示校正裝置是滯后-超前校正，校正后系統(tǒng)的靜態(tài)特性、穩(wěn)定性和快速性都有所提高，抗干擾性能降低。6-17某控制系統(tǒng)如圖6.57所示。圖6.57 習(xí)題6-17圖（a）取調(diào)節(jié)器設(shè)計其中的參數(shù)、和，使系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量，調(diào)節(jié)時間秒（按誤差計算）。（b）現(xiàn)要求系統(tǒng)對斜坡輸入無靜差，加速度誤差系數(shù)，同時保持（a）中對系統(tǒng)動特性的要求基本不變（頻率特性曲線的中頻段和（a）中的重合），設(shè)計調(diào)節(jié)器的參數(shù)、和，與（

24、a）中的設(shè)計相比較，系統(tǒng)對高頻干擾噪聲的抑制能力是增強(qiáng)了還是減弱了？解：（a）按題意要求，閉環(huán)傳遞函數(shù)為無零點的二階系統(tǒng)，故取，則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為令，得，。（b）（a）中校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其對數(shù)幅頻特性如下圖曲線所示。同樣，取調(diào)節(jié)器的參數(shù)，則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)題意中的靜特性要求取，得校正后系統(tǒng)的低頻段特性為令得為調(diào)節(jié)器校正后幅頻特性低頻段特性與（a）中特性曲線相交點的頻率值，故取調(diào)節(jié)器參數(shù)。這樣得到調(diào)節(jié)器為校正后系統(tǒng)的幅頻特性如上圖中曲線所示。從幅頻特性曲線看出，與（a）相比較，系統(tǒng)對高頻干擾噪聲的抑制能力減弱了。6-18設(shè)某隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求在最大指令速度/秒時系

25、統(tǒng)的跟蹤位置滯后不超過，校正后系統(tǒng)主導(dǎo)極點的阻尼比，無阻尼自然振蕩頻率。（a）試問應(yīng)用無源超前校正所能達(dá)到的最大速度誤差系數(shù)等于多少？（b）應(yīng)用根軌跡法設(shè)計滯后-超前校正調(diào)節(jié)器的參數(shù)。（c）根據(jù)時域和頻域性能指標(biāo)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系得到頻域設(shè)計指標(biāo)，試用頻率特性法設(shè)計滯后-超前校正裝置，并與（b）中的結(jié)果相比較。解：（a）系統(tǒng)希望的主導(dǎo)極點為，繪制系統(tǒng)校正前的根軌跡如下圖。希望的主導(dǎo)極也繪制在圖中，顯然應(yīng)該采取超前校正以使根軌跡向左移動。在超前校正中，PD（比例+微分）調(diào)節(jié)器能使速度誤差系數(shù)達(dá)到最大，校正后系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為令希望的主導(dǎo)極點為閉環(huán)的一對共軛復(fù)根，有比較兩邊各項系數(shù)有得，。所以采用超前校

26、正所能達(dá)到的最大速度誤差系數(shù)等于，此時閉環(huán)系統(tǒng)的3個極點為，1個閉環(huán)零點為。顯然是閉環(huán)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點。超前校正不能滿足的靜態(tài)特性設(shè)計要求，故應(yīng)采用滯后-超前校正。（b）應(yīng)用根軌跡法設(shè)計滯后-超前校正調(diào)節(jié)器的參數(shù)。根據(jù)靜態(tài)誤差要求，確定系統(tǒng)開環(huán)可調(diào)增益。系統(tǒng)希望的閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點為，由此確定校正網(wǎng)絡(luò)需要產(chǎn)生的超前相角為確定校正裝置超前部分的參數(shù)，由于校正裝置滯后部分的零極點在原點附件，遠(yuǎn)離閉環(huán)主導(dǎo)極點，固有做如下圖所示，圖中調(diào)整使邊與實軸平行，延長和與實軸相交得到兩點和。根據(jù)余弦定理有再應(yīng)用正弦定理有因此得到從 解出和。校正裝置滯后部分的參數(shù)應(yīng)使得選取，驗算有滿足要求。故得滯后-超前校正調(diào)節(jié)器的

27、傳遞函數(shù)為（c）解：將閉環(huán)主導(dǎo)極點振蕩頻率和阻尼比的設(shè)計要求，轉(zhuǎn)換成對開環(huán)頻率特性幅值交接頻率和相角裕度的設(shè)計要求，得按的設(shè)計要求，繪制校正前系統(tǒng)的伯德圖如下圖所示。圖6.36 例6.12系統(tǒng)的伯德圖從對數(shù)幅頻特性的漸近曲線看出幅值交接頻率，得，屬于快速性有余量，不穩(wěn)定性的情況，應(yīng)使用滯后超前校正。選擇未校正系統(tǒng)幅頻特性曲線由變?yōu)榈慕唤宇l率作為校正網(wǎng)絡(luò)超前部分的交接頻率，這樣得到從校正前幅頻特性曲線上讀取過，的點，做的斜線，交線于，于是有得。將上述結(jié)果代入校正裝置的傳遞函數(shù)有校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為令考慮到，故有得。最終得到滯后-超前校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為校正網(wǎng)絡(luò)和校正后系統(tǒng)的伯德圖如上圖中的

28、曲線、所示，經(jīng)校驗，滿足設(shè)計要求。（c）所得結(jié)果與（b）中的相接近。6-19某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（a）設(shè)計滯后校正環(huán)節(jié)的參數(shù)，使閉環(huán)系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)，相角裕度。（b）校驗（a）中的設(shè)計結(jié)果，是否能夠做到對于頻率小于幅值為的正弦指令信號，穩(wěn)態(tài)誤差小于，對于頻率大于的測量噪聲信號，至少衰減到？解：（a）根據(jù)題意取，繪制校正前系統(tǒng)的伯德圖如下圖所示?？紤]的設(shè)計裕量，從伯德圖看出時，。設(shè)計滯后校正裝置的參數(shù)，得。即得滯后校正裝置的傳遞函校正后系統(tǒng)的伯德圖如下圖所示。從伯德圖看出校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率，相角裕度，滿足設(shè)計要求。（b）從校正后系統(tǒng)的伯德圖可以看出，從輸入到誤差的閉環(huán)傳遞函數(shù)滿

29、足即對于頻率小于幅值為的正弦指令信號，正弦穩(wěn)態(tài)誤差的幅值小于，滿足穩(wěn)態(tài)誤差的設(shè)計要求。從校正后系統(tǒng)的伯德圖還有，時，從測量噪聲到系統(tǒng)輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)滿足即大于的測量噪聲對系統(tǒng)輸出的影響可以衰減到，滿足衰減到的設(shè)計要求。6-20某單位反饋系統(tǒng)被控制對象的是最小相位的，對數(shù)幅頻特性如圖6.58所示。圖6.58 習(xí)題6-20圖（a）設(shè)，設(shè)計調(diào)節(jié)器及參數(shù)，使校正后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，開環(huán)對數(shù)幅頻特性中頻段的斜率為倍頻程，幅值交接頻率，高頻段為倍頻程，繪制校正后系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性和調(diào)節(jié)器的對數(shù)幅頻特性。（b）若測量噪聲的頻率大于，試問校正后它對系統(tǒng)輸出的影響被衰減了多少倍？（c）校正后系統(tǒng)的穩(wěn)定性有何變

30、化？快速性有何變化？靜特性有何變化？解：（a）根據(jù)設(shè)計要求，校正后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)有2個積分環(huán)節(jié)，加速度誤差系數(shù)，即低頻段的對數(shù)幅頻特性曲線的斜率為倍頻程，對數(shù)幅頻特性曲線高度為。中頻段的對數(shù)幅頻特性曲線的斜率為倍頻程，和低頻段對數(shù)幅頻特性曲線交于處。高頻段與原對數(shù)幅頻特性曲線平行，為倍頻程。校正后系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性和調(diào)節(jié)器的對數(shù)幅頻特性如下圖中和所示。調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)為是PI調(diào)節(jié)器。（b）測量噪聲作用下系統(tǒng)的方框圖如下圖所示。因為在高頻段，故有時，于是得到，即測量噪聲對系統(tǒng)輸出的影響至少被衰減到了倍。（c）從頻率特性看出，與校正前相比較，校正后系統(tǒng)的相角裕度減小，幅值穿越頻率提高，所以系

31、統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，超調(diào)量增加，快速性提高。在靜特性方面，校正前無法跟蹤拋物線輸入，校正后可以跟蹤拋物線輸入，穩(wěn)態(tài)性能提高。6-21某單位反饋系統(tǒng)對象的傳遞函數(shù)為式中為可調(diào)增益。設(shè)計要求系統(tǒng)的超調(diào)量，上升時間秒。（a）若取，串聯(lián)調(diào)節(jié)器應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點，判斷是否可以達(dá)到設(shè)計要求。（b）取，串聯(lián)超前校正同樣用根軌跡法分析系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點，判斷是否可以達(dá)到設(shè)計要求。（c）取，將（b）中的串聯(lián)超前校正改為反饋校正，取分析系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點，估算系統(tǒng)的動態(tài)性能。（d）三種設(shè)計都可以做到階躍輸入下無靜差嗎？系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)各是多少？解：按設(shè)計要求，超調(diào)量，上升時間秒，系統(tǒng)閉環(huán)主導(dǎo)極點應(yīng)滿

32、足如下圖所示。（a）使用串聯(lián)調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為從變化時系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。時，用試湊的方法得到一個閉環(huán)實根，應(yīng)用綜合除法得到另外兩個閉環(huán)極點。閉環(huán)零點和閉環(huán)極點組成閉環(huán)偶極子，對閉環(huán)性能的影響忽略不計，閉環(huán)極點的阻尼比阻尼振蕩頻率故能夠達(dá)到設(shè)計要求。（b）使用串聯(lián)調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為從變化時系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。時，用試湊的方法得到一個閉環(huán)實根，應(yīng)用綜合除法得到另外兩個閉環(huán)極點。閉環(huán)極點的阻尼比阻尼振蕩頻率雖能滿足對閉環(huán)共軛極點的要求，但閉環(huán)零點和閉環(huán)極點不能組成閉環(huán)偶極子，閉環(huán)零點對閉環(huán)性能的影響不能忽略，超調(diào)量達(dá)，不能達(dá)到設(shè)計要求。（c）將（b）中的串聯(lián)超前校正改為反饋

33、校正，并取反饋通路的傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)以及從變化時系統(tǒng)的根軌跡同（b）。時，閉環(huán)根，同（b）。閉環(huán)根的阻尼比阻尼振蕩頻率滿足對閉環(huán)共軛極點的要求，因為閉環(huán)零點和閉環(huán)極點離虛軸的距離較閉環(huán)極點遠(yuǎn)倍以上，對系統(tǒng)性能的影響不大，是系統(tǒng)的主導(dǎo)極點，故系統(tǒng)能夠達(dá)到設(shè)計要求。（d）三種設(shè)計都可以做到階躍輸入下無靜差，速度誤差系數(shù)分別為，。6-22某控制系統(tǒng)如圖6.59所示，圖中，若要求校正后系統(tǒng)在單位斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，階躍輸入下的超調(diào)量，調(diào)節(jié)時間秒，試確定反饋校正裝置的形式與參數(shù)。圖6.59 習(xí)題6-22圖解：系統(tǒng)為局部反饋校正方案，按靜態(tài)特性的要求取，校正前系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為反饋內(nèi)

34、環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制校正前系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如下圖中曲線所示。從得。于是有從得幅值交接頻率。中頻寬幅值交接頻率前后的兩個轉(zhuǎn)折頻率分別為據(jù)此，繪制希望的頻率特性如下圖中曲線所示，圖中，。時，希望的幅頻特性曲線和校正前的開環(huán)幅頻特性曲線不重合，故有，。和時，校正后開環(huán)傳遞函數(shù)的幅頻特性曲線和校正前的重合，有，幅頻特性曲線由其在時的特性曲線向低頻和高頻兩邊自然延伸得到，如下圖所示。根據(jù)上面得到的幅頻特性曲線，有得6-23對圖6.60（a）所示的串聯(lián)校正系統(tǒng)和（b）所示的局部反饋校正系統(tǒng)，校正前系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的對數(shù)幅頻特性如（c）中的曲線所示，校正后系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如（c）中的曲線所示

35、。 （a） （b）（c）圖6.60 習(xí)題6-23圖（a）求校正前系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。（b）求串聯(lián)校正裝置的傳遞函數(shù)和局部反饋校正裝置的傳遞函數(shù)。（c）計算校正前后系統(tǒng)的相角裕度，說明校正后系統(tǒng)靜特性、快速性、穩(wěn)定性的變化。解：（a）校正前系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（b）校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為于是得串聯(lián)校正裝置的傳遞函數(shù)為對于局部反饋校正，從所給頻率特性曲線有，時，校正后開環(huán)傳遞函數(shù)的幅頻特性曲線和校正前的不重合，有局部反饋環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)的幅頻特性，。和時，校正后開環(huán)傳遞函數(shù)的幅頻特性曲線和校正前的重合，有， ，局部反饋環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)的幅頻特性由上面得到的在時的特性向低頻和高頻兩邊自然延伸得到，如

36、下圖所示。由上面得到的特性，得局部反饋環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)為于是有6-24某復(fù)合校正控制系統(tǒng)如圖6.61所示，要求閉環(huán)回路過阻尼，系統(tǒng)在斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零，試確定的取值和前饋補(bǔ)償裝置的傳遞函數(shù)。圖6.61 習(xí)題6-24圖解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為繪制根軌跡的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為實軸上的根軌跡區(qū)段為，其中區(qū)段上有分離點，分離點坐標(biāo)滿足，即有解（不在根軌跡上，舍去）。根據(jù)根軌跡的模值條件，分離點對應(yīng)的根軌跡增益為即，得系統(tǒng)過阻尼的取值范圍為。要使系統(tǒng)斜坡輸入下無無靜差，要求閉環(huán)傳遞函數(shù)分子、分母多項式的兩個常數(shù)項和和兩個的1次冪的系數(shù)相等，于是有，即6-25某復(fù)合控制系統(tǒng)如圖6.

37、62所示。圖中為補(bǔ)償裝置的傳遞函數(shù)，為測速發(fā)電機(jī)及分壓電位器的傳遞函數(shù)，為可測量擾動。如果，試確定和的取值以及，使系統(tǒng)輸出量完全不受擾動的影響，且階躍響應(yīng)的超調(diào)量、峰值時間秒。圖6.62 習(xí)題6-25圖解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為即根據(jù)設(shè)計要求，指令階躍響應(yīng)的超調(diào)量、峰值時間秒，有，得，。要使系統(tǒng)的輸出量完全不受擾動的影響，須令即6-26紙機(jī)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為當(dāng)系統(tǒng)比例調(diào)節(jié)的增益時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，出現(xiàn)持續(xù)振蕩，振蕩周期為秒，試用Zeigler-Nichols整定方法確定調(diào)節(jié)器的參數(shù)。解：由題意知，臨界增益，振蕩響應(yīng)周期秒，故用Zeigler-Nichols方法確定的調(diào)節(jié)器參數(shù)為，第七章 習(xí)題

38、解答7-1已知下列時間函數(shù)，設(shè)采樣周期為秒，求它們的變換。（a）（b）（c）（d）（e）（f）解：（a）根據(jù)域微分定理有（b）因為所以（c）根據(jù)時域位移定理有（d）根據(jù)復(fù)域位移定理有（e）根據(jù)復(fù)域位移定理有（f）根據(jù)復(fù)域位移定理有7-2已知的拉氏變換為下列函數(shù)，設(shè)采樣周期為秒，求它們的變換。（a）（b）（c）（d）（e）（f）解：（a）（b）（c）（d）（e）（f）7-3求下列函數(shù)的反變換。（a）（b）（c）解：(a) （b）(c)7-4已知時，為如下所示的有理分式則有以及式中時，。（a）試證明上面的結(jié)果。（b）設(shè)應(yīng)用（a）的結(jié)論求、。解：（a）設(shè)顯然有以及式中時，。上式即時，。證畢。（b）設(shè)

39、應(yīng)用關(guān)系式有7-5試用部分分式法、冪級數(shù)法和留數(shù)法，求下列函數(shù)的反變換。（a）（b）（c）（d）解：（a）部分分式法冪級數(shù)法留數(shù)法（b）部分分式法冪級數(shù)法留數(shù)法（c）部分分式法冪級數(shù)法留數(shù)法（d）部分分式法冪級數(shù)法留數(shù)法7-6用變換法求下面的差分方程并與用迭代法得到的結(jié)果、相比較。解：差分方程兩邊變換得到即迭代法得到結(jié)果是相同的。7-7求傳遞函數(shù)為（a）（b）的部件的脈沖傳遞函數(shù)。解：（a）查表得于是得到（b）查表得于是得到7-8試應(yīng)用終值定理確定下列函數(shù)的終值。（a）（b）解：（a）在單位圓外和單位圓上除點外沒有極點，故可以應(yīng)用終值定理，有（b）在單位圓外和單位圓上沒有極點，故可以應(yīng)用終值定

40、理，有7-9圖7.48中為零階保持器的傳遞函數(shù)，即試證明圖7.48 習(xí)題7-9圖解：證明證畢。7-10一階保持器的輸入輸出波形如圖7.49所示。在一階保持器中，當(dāng)時，輸出是前兩個采樣時刻采樣值和外推得到的直線，即圖7.49 習(xí)題7-10圖假設(shè)輸入是時的單位脈沖函數(shù)，繪制一階保持器的輸出波形，求一階保持器的傳遞函數(shù)。解：假設(shè)輸入是時的單位脈沖函數(shù)，一階保持器的輸出波形如下根據(jù)上面給出的單位脈沖輸入下一階保持器的輸出波形，得到脈沖響應(yīng)的表達(dá)式為傳遞函數(shù)等于脈沖響應(yīng)的拉氏變換，即7-11設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖7.50所示，試求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。（a）（b）圖7.50 習(xí)題7-11圖解：對圖（a）所示系統(tǒng)

41、，環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)，有對圖（b）所示系統(tǒng)，環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān)，有7-12試求圖7.51閉環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)或。（a）（b）（c）圖7.51 習(xí)題7-12圖解：對圖（a）所示系統(tǒng)有即有兩邊變換有即化簡得到即對圖（b）所示系統(tǒng)有即有兩邊采樣有兩邊變換有化簡得到對圖（c）所示系統(tǒng)有即有化簡得到7-13設(shè)有單位反饋誤差采樣的離散系統(tǒng)，連續(xù)部分的傳遞函數(shù)為輸入，采樣周期秒。試求：（a）輸出變換。（b）采樣瞬時的輸出響應(yīng)。（c）輸出響應(yīng)的終值。解：（a）查表求得開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)輸入，輸出變換為（b）用綜合除法得到（c）從系統(tǒng)響應(yīng)看出系統(tǒng)不穩(wěn)定，故無法得到終值。7-14試

42、判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（a）已知閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程為（b）已知閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程為（c）已知誤差采樣的單位反饋離散系統(tǒng)，采樣周期，開環(huán)傳遞函數(shù)解：（a）特征方程有單位圓外的根，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。（b）構(gòu)造行列的朱利表有，但，故系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。（c）系統(tǒng)的開環(huán)脈沖函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為做變換有出現(xiàn)負(fù)的系數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。7-15采樣系統(tǒng)如圖7.52所示，采樣周期秒。圖7.52 習(xí)題7-15圖（a）繪制時系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡圖，求分離點坐標(biāo)。（b）根據(jù)閉環(huán)根軌跡圖，求系統(tǒng)穩(wěn)定時的取值范圍。解：（a）采樣周期秒，系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為實軸上的根軌跡區(qū)段為，復(fù)平面上的根軌跡為圓，圓心在開環(huán)零點，半徑為

43、。因此得到分離點坐標(biāo)為。用MATLAB命令繪制的根軌跡圖如下圖所示。（b）系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為做變換有系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為得到。7-16離散時間系統(tǒng)如圖7.53所示，采樣周期s。（a）求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)（b）求系統(tǒng)穩(wěn)定時的取值范圍。（c）當(dāng)，時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖7.53 習(xí)題7-16圖解：（a）因為故控制算法的脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為（b）系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為做變換得到得系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為（C）時，系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)為所以時穩(wěn)態(tài)誤差為7-17采樣系統(tǒng)如圖7.54所示，采樣周期秒。圖7.54 習(xí)題7-17圖（a）求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。（b）設(shè)，求使閉環(huán)特征根在平面原點時和的取值。

44、（c）求此時系統(tǒng)階躍響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)誤差。解：（a）被控對象的脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為（b）時有令閉環(huán)特征方程得，。（c）此時閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為單位階躍下的響應(yīng)為故得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為、，穩(wěn)態(tài)誤差。7-18采樣系統(tǒng)如圖7.55所示，采樣周期秒（），求使閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)圖7.55 習(xí)題7-18圖解：被控對象的脈沖傳遞函數(shù)為被控對象脈沖傳遞函數(shù)的零點和極點都在單位圓內(nèi)，所以可以用控制器的極點和零點和它們對消。要使得閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)應(yīng)為令得到7-19離散時間控制系統(tǒng)如圖7.56所示，其中采樣周期，。圖7.56 習(xí)題7-19圖（a）求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳

45、遞函數(shù)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。（b）確定閉環(huán)系統(tǒng)為穩(wěn)定時的取值范圍。（c）求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：（a）系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為將代入整理得系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)（b）特征方程做變換有要使系統(tǒng)穩(wěn)定應(yīng)滿足得。（c）根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，有以及于是有7-20已知離散系統(tǒng)如圖7.57所示，采樣周期秒。當(dāng)時，要使穩(wěn)態(tài)誤差小于，求的值。圖7.57 習(xí)題7-20圖解：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為特征方程做變換得到系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為即得系統(tǒng)穩(wěn)定時的取值范圍為。系統(tǒng)速度誤差系數(shù)要使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)使。綜合上述條件得的取值范圍為。7-21某離散時間系統(tǒng)如圖7.58所示，采樣周期秒，控制算法的差分方

46、程描述為。圖7.58 習(xí)題7-21圖（a）求使系統(tǒng)為穩(wěn)定的的取值范圍。（b）求當(dāng)，時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。（c）為使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是單調(diào)無振蕩的，的取值范圍等于多少？解：（a）因為故控制算法的脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為做變換得到得系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為（b）時，系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)為所以時穩(wěn)態(tài)誤差為（c） 從變化時，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡的在平面上的部分是一個圓，圓心位于平面的原點，半徑為因此，在處是根軌跡的分離點，分離點對應(yīng)的根增益為得。時，閉環(huán)的根在正實軸上單位圓內(nèi)，這時系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是單調(diào)無振蕩的。7-22采樣控制系統(tǒng)如圖7.59所示，采樣周期秒，數(shù)字調(diào)節(jié)器為調(diào)節(jié)器，即圖7.

47、59 習(xí)題7-22圖（a）試寫出被控對象的脈沖傳遞函數(shù)和系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。（b）為使成為系統(tǒng)閉環(huán)的一對共軛極點，給出應(yīng)滿足的條件。（c）應(yīng)用（b）中給出的條件求出和的取值。解：（a）被控對象的脈沖傳遞函數(shù)為調(diào)節(jié)器的脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（b）得到期望的閉環(huán)極點，應(yīng)滿足的相角條件和幅值條件分別為（c）從相角條件有得，故。將結(jié)果代入到幅值條件有得，于是有，。7-23脈沖傳遞函數(shù)分母多項式的階次與分子多項式的階次之差稱為它的相對階次。一個離散環(huán)節(jié)如果它當(dāng)前拍的輸出只是當(dāng)前拍和過去拍輸入，以及過去拍輸出的函數(shù)，這個環(huán)節(jié)就稱為是因果的。顯然，當(dāng)脈沖傳遞函數(shù)的相對階數(shù)，它代表的環(huán)節(jié)就是因

48、果的。實際中被控對象的脈沖傳遞函數(shù)都是因果的。在圖7.60所示的采樣控制系統(tǒng)中，設(shè)串聯(lián)調(diào)節(jié)器和反饋調(diào)節(jié)器都是因果的，試證明系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的相對階數(shù)總大于等于被控對象的相對階數(shù)。圖7.60 習(xí)題7-23圖解：將脈沖傳遞函數(shù)改寫成如下形式式中，和表示的多項式，表示傳遞函數(shù)的相對階數(shù)。將控制器、被控對象、反饋通路的脈沖傳遞函數(shù)都表示成上面的形式，有則閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為顯然，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的相對階數(shù)等于，。7-24采樣控制系統(tǒng)如圖7.61所示，采樣周期秒，試設(shè)計數(shù)字調(diào)節(jié)器，實現(xiàn)（a）階躍輸入下的最小拍控制。（b）斜坡輸入下的最小拍控制。（c）拋物線輸入下的最小拍控制。（d）最小拍設(shè)計只適用于被

49、控對象的脈沖傳遞函數(shù)為最小相位的情況，用根軌跡方法解釋其原因。圖7.61 習(xí)題7-24圖解：被控對象的脈沖傳遞函數(shù)為它是最小相位脈沖傳遞函數(shù)。（a）階躍輸入下的最小拍控制器為（b）斜坡輸入下的最小拍控制器為（c）拋物線輸入下的最小拍控制器為（d）如果有不穩(wěn)定的零、極點之間的對消，對消的零、極點對應(yīng)退化為一點的閉環(huán)根軌跡，即閉環(huán)必然有不穩(wěn)定的特征根，這將導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。7-25 被控對象環(huán)節(jié)如圖7.62所示。圖7.62 習(xí)題7-25圖（a）試求它的脈沖傳遞函數(shù)。（b）給定采樣周期、幾組參數(shù)值，驗證（a）中得到的脈沖傳遞函數(shù)的零點都是在單位圓內(nèi)的。（c）證明對于任意的、，（b）中的結(jié)論總是對的。

50、解：（a）開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為查表得（b）略。（c）脈沖傳遞函數(shù)的零點為令則有當(dāng)時，為型的極限，易得。當(dāng)時，。此外，還有時即，單調(diào)升。所以即零點都在單位圓內(nèi)。證畢。7-26采樣控制系統(tǒng)如圖7.63所示，采樣周期秒。（a）試設(shè)計數(shù)字調(diào)節(jié)器使閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。（b）對（a）中得到的設(shè)計，求脈沖傳遞函數(shù)，說明系統(tǒng)響應(yīng)階躍輸入是有紋波的。（c）重新設(shè)計，使系統(tǒng)響應(yīng)階躍輸入是無紋波的。圖7.63 習(xí)題7-26圖解：對象的脈沖傳遞函數(shù)令系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)有（b）到的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為不是的多項式的形式，響應(yīng)無法在有限拍內(nèi)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，是有紋波系統(tǒng)（c）要實現(xiàn)無紋波設(shè)計，因為要使得是的多項式的形式，要求將的所

51、有零點作為它的因子。被控對象有一拍滯后，因此也必以作為它的因子，故設(shè)另外，到的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為首項為的的階多項式，它必須包含的分母作為因子，故設(shè)因此得到即比較系數(shù)得到，。最后得到第八章 習(xí)題解答8-1考慮并回答下面的問題：（a）在確定非線性元件的描述函數(shù)時，要求非線性元件不是時間的函數(shù)，并要求有斜對稱性，這是為什么？（b）什么樣的非線性元件是無記憶的？什么樣的非線性元件是有記憶的？它們的描述函數(shù)各有什么特點？（c）線性元件的傳遞函數(shù)與非線性元件的描述函數(shù)，有什么是相同的？有什么是不同的？線性元件可以有描述函數(shù)嗎？非線性元件可以有傳遞函數(shù)嗎？（d）非線性系統(tǒng)線性部分的頻率特性曲線與非線性元件的負(fù)倒描述函數(shù)曲線相交時，系統(tǒng)一定能產(chǎn)生穩(wěn)定的自激振蕩嗎？解：（a）描述函數(shù)法只能用來研究非線性定常系統(tǒng)的特性，這要求非線性元件的特性不隨時間發(fā)生變化。在用描述函數(shù)法研究非線性系統(tǒng)的自振特性時，要求在正弦輸入下非線性特性的輸出沒有直流分量，這要求非線性元件的特性是斜對稱的。（b）一般情況下用代數(shù)方程描述的非線性特性是無記憶的，根據(jù)非線性環(huán)節(jié)當(dāng)前的輸入就