人口指數(shù)增長(zhǎng)模型和Logistic模型

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上根據(jù)美國(guó)人口從1790年到1990年間的人口數(shù)據(jù)（如下表），確定人口指數(shù)增長(zhǎng)模型和Logistic模型中的待定參數(shù)，估計(jì)出美國(guó)2010年的人口，同時(shí)畫(huà)出擬合效果的圖形。表1 美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年 份1790180018101820183018401850人口(×106)3.95.37.29.612.917.123.2年 份1860187018801890190019101920人口(×106)31.438.650.262.976.092.0106.5年 份193019401950196019701980人口(×106)123.2131.71

2、50.7179.3204.0226.5提示：指數(shù)增長(zhǎng)模型：Logistic模型：解：模型一:指數(shù)增長(zhǎng)模型。Malthus 模型的基本假設(shè)下，人口的增長(zhǎng)率為常數(shù)，記為r，記時(shí)刻t的人口為 ，（即為模型的狀態(tài)變量）且初始時(shí)刻的人口為，因?yàn)橛杉僭O(shè)可知 經(jīng)擬合得到：程序：t=1790:10:1980;x(t)=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ;y=log(x(t);a=polyfit(t,y,1)r=a(1),x0=exp(a(2

3、)x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x(t),'r',t,x1,'b')結(jié)果：a = 0.0214 -36.6198r= 0.0214x0= 1.2480e-016所以得到人口關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為：，其中x0 = 1.2480e-016，輸入：t=2010;x0 = 1.2480e-016;x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t)= 598.3529。即在此模型下到2010年人口大約為598.3529 。模型二：阻滯增長(zhǎng)模型（或 Logistic 模型） 由于資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用，人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率會(huì)下降，假設(shè)人

4、口的增長(zhǎng)率為 x 的減函數(shù)，如設(shè)，其中 r 為固有增長(zhǎng)率 (x 很小時(shí) ) ，為人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）， 于是得到如下微分方程： 建立函數(shù)文件curvefit_fun2.mfunction f=curvefit_fun2 (a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a(2)*(t-1790);在命令文件main.m中調(diào)用函數(shù)文件curvefit_fun2.m % 定義向量（數(shù)組）x=1790:10:1990;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 92 106.5 123.2 1

5、31.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4;plot(x,y,'*',x,y); % 畫(huà)點(diǎn)，并且畫(huà)一直線把各點(diǎn)連起來(lái)hold on; a0=0.001,1; % 初值% 最重要的函數(shù)，第1個(gè)參數(shù)是函數(shù)名（一個(gè)同名的m文件定義），第2個(gè)參數(shù)是初值，第3、4個(gè)參數(shù)是已知數(shù)據(jù)點(diǎn)a=lsqcurvefit('curvefit_fun2',a0,x,y); disp('a=' num2str(a); % 顯示結(jié)果% 畫(huà)圖檢驗(yàn)結(jié)果xi=1790:5:2020;yi=curvefit_fun2(a,xi);plot(xi,yi,'

6、r');% 預(yù)測(cè)2010年的數(shù)據(jù)x1=2010;y1=curvefit_fun2(a,x1)hold off運(yùn)行結(jié)果：a=311.9531 0.y1 =267.1947其中a(1)、a(2)分別表示中的和，y1則是對(duì)美國(guó)美國(guó)2010年的人口的估計(jì)。第二題：?jiǎn)栴}重述：一垂釣俱樂(lè)部鼓勵(lì)垂釣者將釣上的魚(yú)放生，打算按照放生的魚(yú)的重量給與鼓勵(lì)，俱樂(lè)部只準(zhǔn)備了一把軟尺用于測(cè)量，請(qǐng)你設(shè)計(jì)按照測(cè)量的長(zhǎng)度估計(jì)魚(yú)的重量的方法。假定魚(yú)池中只有一種鱸魚(yú)，并且得到8條魚(yú)的如下數(shù)據(jù)（胸圍指魚(yú)身的最大周長(zhǎng)）：身長(zhǎng)(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量(g)76548211627

7、374821389652454胸圍(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6問(wèn)題分析：鱸魚(yú)的體重主要與魚(yú)的身長(zhǎng)、胸圍有關(guān)系。一般來(lái)說(shuō)，鱸魚(yú)的胸圍越大，魚(yú)的體重會(huì)越重，身長(zhǎng)越長(zhǎng)，體重也越重。但魚(yú)的胸圍與身長(zhǎng)之間又有些必然的聯(lián)系，共同影響?hù)~(yú)的體重。建模的目的是尋求鱸魚(yú)體重與身長(zhǎng)、胸圍之間的數(shù)量規(guī)律模型假設(shè)：1、鱸魚(yú)的身長(zhǎng)越長(zhǎng)體重越重，體重與身長(zhǎng)存在正相關(guān)關(guān)系；2、鱸魚(yú)的胸圍越大體重也越重，體重與胸圍存在正相關(guān)的關(guān)系；3、鱸魚(yú)的胸圍、身長(zhǎng)互相影響，共同作用鱸魚(yú)的體重；4、鱸魚(yú)的形態(tài)近似為與胸圍等周長(zhǎng)與身長(zhǎng)等高的圓柱體。符號(hào)說(shuō)明：鱸魚(yú)的身長(zhǎng)鱸魚(yú)的胸圍鱸魚(yú)的體重模型的建立及

8、求解：（一）、鱸魚(yú)體重與身長(zhǎng)模型的確立為了研究鱸魚(yú)身長(zhǎng)與體重的關(guān)系，我們利用已測(cè)量的數(shù)據(jù)，取出身長(zhǎng)及體重的數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件畫(huà)出散點(diǎn)圖，如下：從圖形上看，鱸魚(yú)的體重與身長(zhǎng)可能是二次函數(shù)關(guān)系，我們利用多項(xiàng)式擬合的方法，得到： (1)根據(jù)擬合的函數(shù)，我們畫(huà)出擬合圖：從擬合圖上看，大部分原始數(shù)據(jù)在擬合函數(shù)附近，說(shuō)明用二次函數(shù)擬合的效果較好，下面利用得出的函數(shù)對(duì)魚(yú)的體重進(jìn)行估計(jì)，用相對(duì)誤差檢驗(yàn)擬合度，得到下表：表一、鱸魚(yú)體重實(shí)際值與估計(jì)值對(duì)比及誤差表身長(zhǎng)（cm)31.832.132.135.936.836.843.845.1重量（g)48248245465273776511621389擬合值（

9、g）466.6479.9479.9674.4727.3727.31228.81339.4相對(duì)誤差（%）3.20.445.73.444.935.753.570.86從表中的數(shù)據(jù)，我們可以得出鱸魚(yú)體重的實(shí)際值與估計(jì)值的相對(duì)誤差不大，說(shuō)明用二次函數(shù)擬合鱸魚(yú)身長(zhǎng)與體重的關(guān)系式可行的。（二）、鱸魚(yú)體重與胸圍的模型確立 僅僅考慮鱸魚(yú)胸圍對(duì)體重的影響，我們采用與模型一相同的方法，先畫(huà)出鱸魚(yú)體重與胸圍的散點(diǎn)圖：從圖形上看，鱸魚(yú)體重與胸圍可能成線性關(guān)系，利用多項(xiàng)式擬合的方法，我們得到鱸魚(yú)體重與胸圍的函數(shù)表達(dá)式： (2)根據(jù)擬合函數(shù)（2），畫(huà)出胸圍與體重關(guān)系的擬合圖：利用擬合函數(shù)及實(shí)際數(shù)據(jù)，求出實(shí)際值與擬合值得相

10、對(duì)誤差表：表二、鱸魚(yú)體重實(shí)際值與估計(jì)值對(duì)比及誤差表胸圍（cm）21.321.621.622.924.824.827.931.8重量（g)48248245465273776511621389擬合值（cm）462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相對(duì)誤差（%）4.131.607.866.556.392.507.982.81從鱸魚(yú)胸圍與體重的擬合圖，及表二中的數(shù)據(jù)，我們可以得出用線性函數(shù)擬合胸圍與體重的關(guān)系擬合程度高，鱸魚(yú)體重的實(shí)際值與估計(jì)值的相對(duì)誤差不大，說(shuō)明用線性函數(shù)擬合鱸魚(yú)身長(zhǎng)與體重的關(guān)系式可行的。（三）、建立體重與身長(zhǎng)、胸圍相互影響的模型實(shí)際情況下，鱸魚(yú)的體重不可能只由身長(zhǎng)、胸圍單方面影響，因此考慮建立身長(zhǎng)、胸圍共同作用體重的模型。此模型的建立是基于假設(shè)，（4），即：鱸魚(yú)的體態(tài)用與胸圍等周長(zhǎng)，與身長(zhǎng)等高的圓柱形來(lái)近似。因?yàn)閳A柱體的體積等于底面積乘高，底面積可以用周長(zhǎng)表示：.因此可以分析得出.又物體質(zhì)量等于密度與體積的乘積，因此只需根據(jù)數(shù)據(jù)求出密度即可。于是身長(zhǎng)、胸圍與體重的關(guān)系可以表示為：，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)系數(shù)的求解。根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件求解，得到： 0.0327 （3）因此， （4）利用得出的函數(shù)對(duì)魚(yú)的體重進(jìn)行估測(cè)并列如下表：表三、重量估計(jì)值及相對(duì)誤差重量（g)765482116